程序框图习题

两种循环结构

• 当型循环：先判断后循环，条件满足时执行循环；

• 直到型循环：先循环后判断，条件满足时终止循环；

常用变量

• 1、计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如(i=i+1)，往往初值(i=0)，如果是奇数或者偶数的递增，则使用(i=i+2)；

• 2、累加变量：用来计算数据之和，如(S=S+i)，往往初值(S=0)

• 3、累积变量：用来计算数据之积，如(p=p imes i)，往往初值(p=1)

• 4、注意程序框图知识和数列中的求和如裂项法的结合，和统计、概率(古典概型和几何概型)、分段函数、 不等式、函数定义域、值域、最值问题的结合，和逻辑推理等的结合。

典例剖析

例1【题文】如右图所示，若该程序框图输出的结果是(8)，则判断框内(m)的取值范围是多少？((42，56])。

分析：

(R_1)：(0 < m?)，是，(S=0+2)，(k=2)

(R_2)：(2<m?)，是，(S=2+4)，(k=3)

(R_3)：(6<m?)，是，(S=2+4+6)，(k=4)

(R_4)：(12<m?)，是，(S=2+cdots+8)，(k=5)

(R_5)：(20<m?)，是，(S=2+cdots+10)，(k=6)

(R_6)：(30<m?)，是，(S=2+cdots+12)，(k=7)

(R_7)：(42<m?)，是，(S=2+cdots+14)，(k=8)

(R_8)：(56<m?)，否，输出(k=8)。

例2【题文】如图所示的程序框图中，若(f(x)＝x^2－x＋1，g(x)＝x＋4)，且(mleq h(x))恒成立，则(m)的最大值是(　　)

A．4 (hspace{3cm}) B．3 (hspace{3cm}) C．1 (hspace{3cm}) D．0

分析：由题目和程序框图可知，(f(x) = egin{cases}f(x)，f(x)ge g(x)\ g(x)，f(x)< g(x) end{cases})

(=egin{cases}x^2-x+1 &-1leq x leq 3\ x+4 &x<-1,x>3 end{cases})，求函数(h(x)_{min}=3)，故选(B).

例3【题文】已知函数(f(x)＝x^2－ax)的图像在点(A(1，f(1)))处的切线与直线(x＋3y＋2＝0)垂直，执行如图所示的程序框图，则输出的(k)值是________．

考点：算法框图，函数在点处的切线，裂项相消法，算法和函数、数列的交汇

分析：本题目的考点比较多，需要先计算出(a=-1)，从而(f(x)=x^2+x=x(x+1))，
所以程序框图中的(S=S+cfrac{1}{f(x)})，而(cfrac{1}{f(x)}=cfrac{1}{x}-cfrac{1}{x+1}).

同时还考察了真分数的性质(cfrac{a}{b}<cfrac{a+1}{b+1}(a<b)).

解答如下：

(R_1)：(0>cfrac{5}{6})，否，(k=1)，(S=0+1-cfrac{1}{2}=cfrac{1}{2})；

(R_2)：(cfrac{1}{2}>cfrac{5}{6})，否，(k=2)，(S=1-cfrac{1}{2}+cfrac{1}{2}-cfrac{1}{3}=cfrac{2}{3})；

(R_3)：(cfrac{2}{3}>cfrac{5}{6})，否，(k=3)，(S=cfrac{3}{4})；

(R_4)：(cfrac{3}{4}>cfrac{5}{6})，否，(k=4)，(S=cfrac{4}{5})；

(R_5)：(cfrac{4}{5}>cfrac{5}{6})，否，(k=5)，(S=cfrac{5}{6})；

(R_6)：(cfrac{5}{6}>cfrac{5}{6})，否，(k=6)，(S=cfrac{6}{7})；

(R_7)：(cfrac{6}{7}>cfrac{5}{6})，是，输出(k=6)。

例4【题文】已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD(n，m)，其结果为n除以m的余数，例如MOD(8，3)＝2.下面是一个算法的程序框图，当输入的值为36时，则输出的结果为(　　)

A．4 (hspace{3cm}) B．5 (hspace{3cm}) C．6 (hspace{3cm}) D．7

分析：

例5【题文】执行程序框图(图略)，得到分段函数(f(x) = egin{cases}x^3， &xleq 1 \ 3x-3， &1&lt;xleq 3\ cfrac{1}{x}， &x>3 end{cases})，若要使输入的(x)值与输出的(y)值相等，则这样的(x)值的个数是（4）个。

分析：本题就是求解分段函数方程(f(x)=x)，转化为以下三个条件组求解即可。

将分段函数方程(f(x)=x)等价转化为以下三个混合组(含有等式和不等式的组)

(egin{cases} &xleq 1 \ &x^3=xend{cases})或(egin{cases} &1&lt;xleq 3 \ &3x-3=xend{cases})或(egin{cases} &x>3 \ &cfrac{1}{x}=xend{cases})

解得(x=0或x=pm 1或x=cfrac{3}{2})，故这样的(x)值有4个。

例6【题文】执行右边的程序框图，如果输入的(a=-1)，则输出的(S)=【 】

$A.2$ $B.3$ $C.4$ $D.5$

分析：由于(a=-1)，则
(R_1)：(1leq 6)，是，(S=-1)，(a=1)，(k=2)

(R_2)：(2leq 6)，是，(S=1)，(a=-1)，(k=3)

(R_3)：(3leq 6)，是，(S=-2)，(a=1)，(k=4)

(R_4)：(4leq 6)，是，(S=2)，(a=-1)，(k=5)

(R_5)：(5leq 6)，是，(S=-3)，(a=1)，(k=6)

(R_6)：(6leq 6)，是，(S=3)，(a=-1)，(k=7)

(R_7)：(7leq 6)，否，输出(S=3)。

例7
【题文】如图所示的程序框图是为了求出满足(3^n-2^n>1000)的最小偶数(n)，那么在(Diamond)和(Box)两个空白框中，可以分别填入

$A.A>1000和n=n+1$ $B.A>1000和n=n+2$

$C.Aleq 1000和n=n+1$ $D.Aleq 1000和n=n+2$

分析：有题目可知(A=3^n-2^n)，一开始肯定是要循环的，故需要填写的判断条件应该是(A>1000)的反面，也就是(Aleq 1000)，又因为判断的只是偶数，故计数条件是(n=n+2)，结合这些选D。

例8【题文】根据下面的程序框图，当输入的(x=2016)时，输出的(y=)【】
A、(28) (hspace{2cm}) B、(10) (hspace{2cm}) C、(4) (hspace{2cm}) D、 (2)

分析：本题目选B。具体解答过程看下面的程序演示：

感悟反思：1、这是我第一次用javascript实现的程序框图题目。给自己点个赞；

例9【2017宝鸡市二检文科第9题】(程序框图+解对数不等式组)执行如图所示的程序框图，若输出(i)的值是5，则输入的(t)的取值范围是【】

$A.(-infty，27)$ $B.(3，27)$ $C.[3，27)$ $D.[27，54)$

分析：第一次循环，当(i=1)时，不能退出循环，由于是将(log_3t)赋值给了(t)，故下一步判断应为(log_3tge 0)，而不是(tge 0)，此时(i=3)

第二次循环，当(i=3)时，也不能退出循环，同上，应有(log_3(log_3t)ge 0)，此时(i=5)

第三次循环，当(i=5)时，应该退出循环，同上，应有(log_3[log_3(log_3t)]< 0)，此时输出(i=5)

故要求得(t)的范围，必须满足如下的不等式组，

(egin{cases}log_3tge 0\log_3(log_3t)ge 0\log_3[log_3(log_3t)]< 0end{cases})

求解(log_3tge 0=log_31)得到(tge 1①)；

求解(log_3(log_3t)ge 0=log_31)得到(tge 3②)；

求解(log_3[log_3(log_3t)]< 0=log_31)得到(3 < t <27③)；

求交集得到(3 < t < 27)，故选B。

解后反思：

1、 熟练掌握对数不等式组的解法。每解决一个对数不等式，都需要从单调性和定义域两个角度来限制，

比如求解不等式(log_3[log_3(log_3t)]< 0)，

从定义域的角度来限制，必须满足每一个真数都大于零，

即(egin{cases}t>0\log_3t>0\log_3(log_3t)>0end{cases})，即(egin{cases}t>0\log_3t>0=log_31\log_3(log_3t)>log_31end{cases})，

即(egin{cases}t>0\t>1\log_3t>1end{cases})，即(egin{cases}t>0\t>1\t>3end{cases})

故从定义域的角度得到(t>3)

从单调性的角度来限制，需要先将常数对数化，目的是为了利用单调性，将真数位置的整体降到一般位置，

即先变形为(log_3[log_3(log_3t)]< log_31)，则由单调性得到(log_3(log_3t)]<1)，

即(log_3(log_3t)]<1=log_33)，

即(log_3t<3=log_327)，即从单调性角度得到，(t<27)

综上，不等式(log_3[log_3(log_3t)]< 0)的解集为(3 < t < 27)。

• 2018宝鸡市三检理科数学第15题，程序框图和古典概型的结合