和差角公式的证明

差的余弦

关于(cos(alpha-eta)=cosalpha coseta+sinalpha sineta)的证明思路：

• 思路一：复数法

• 思路二：两点间距离公式

• 思路三：余弦定理

• 思路四：向量方法

向量方法的证明过程

如图所示的单位圆，我们先看两个角都是锐角((alpha>eta))的情形；

角(alpha)和(eta)的终边分别交单位圆于点A和B，则根据三角函数的定义可知，(A(cosalpha，sinalpha))、(B(coseta，sineta))；

则有(overrightarrow{OA}=(cosalpha，sinalpha))，(overrightarrow{OB}=(coseta，sineta))；

由向量的內积定义可知，(overrightarrow{OA}cdot overrightarrow{OB}=|overrightarrow{OA}||overrightarrow{OB}|cos<overrightarrow{OA}，overrightarrow{OB}>=cos(alpha-eta))

又由向量的內积的坐标运算可知，(overrightarrow{OA}cdot overrightarrow{OB}=cosalpha coseta+sinalpha sineta)

则有(cos(alpha-eta)=cosalphacdot coseta+sinalphacdot sineta)

当两个角是其他情形时，(alpha-eta)和上面的情形相比，会相差(2kpi(kin Z))，则由诱导公式可知，仍然满足(overrightarrow{OA}cdot overrightarrow{OB}=|overrightarrow{OA}||overrightarrow{OB}|cos<overrightarrow{OA}，overrightarrow{OB}>=cos(alpha-eta))

故仍有(cos(alpha-eta)=cosalphacdot coseta+sinalphacdot sineta)，证毕。

公式关系

• 用(cos(alpha-eta)=cosalphacdot coseta+sinalphacdot sineta)证明(cos(alpha+eta))

由于公式中的(alpha、etain R)，则可以用(-eta)替换上式中的(eta)，得到

(cos(alpha-(-eta))=cosalphacdot cos(-eta)+sinalphacdot sin(-eta))，即

(cos(alpha+eta)=cosalphacdot coseta-sinalphacdot sineta)，证毕。

• 用(cos(alpha-eta)=cosalphacdot coseta+sinalphacdot sineta)证明(sin(alpha+eta))

(sin(alpha+eta)=cos[cfrac{pi}{2}-(alpha+eta)]=cos[(cfrac{pi}{2}-alpha)-eta])

(=cos(cfrac{pi}{2}-alpha)cdot coseta+sin(cfrac{pi}{2}-alpha)cdot sineta=sinalpha coseta+cosalpha sineta)

即(sin(alpha+eta)=sinalpha coseta+cosalpha sineta)

例说使用

公式的正向使用

如(sin(alpha+eta)=sinalpha coseta+cosalpha sineta)，我们用两个单角(alpha)和(eta)的正弦和余弦值的代数式，就可以计算两角和的正弦(sin(alpha+eta))

公式的逆向使用

如(cosalphacdot coseta+sinalphacdot sineta=cos(alpha-eta))，

公式的变形使用

比如分式形式的公式，(tan(alpha+eta)=cfrac{tanalpha+taneta}{1-tanalphacdot taneta})，我们对其做变形，

还可以这样用(tan(alpha+eta)cdot (1-tanalphacdot taneta)=tanalpha+taneta)

如果将其放置到斜三角形中，由(A+B+C=pi)可知(C=pi-(A+B))，则有(tan(A+B)=-tanC)

代入上式则有(tan(A+B)cdot (1-tanAcdot tanB)=tanA+tanB)，

即(-tanCcdot (1-tanAcdot tanB)=tanA+tanB)，

整理则有(tanA+tanB+tanC=tanAcdot tanB cdot tanC)。

公式的灵活使用

比如求值(cfrac{1-tan15^{circ}}{1+tan15^{circ}}=cfrac{tan45^{circ}-tan15^{circ}}{1+tan45^{circ}cdot tan15^{circ}}=tan30^{circ}=cfrac{sqrt{3}}{3})

常用结论

• (tanA+tanB+tanC=tanAcdot tanB cdot tanC)。

• ((1+tan22^{circ})cdot (1+tan23^{circ})=2) ^[1]

引申：((1+ an A)(1+ an B)=2)，其中(A+B=cfrac{pi}{4})；

证明思路

graph TD A[向量数量积坐标运算] --> B["核心公式cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB"] click A "https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/6185575.html" "This is a tooltip for a link" click B "https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/6185575.html" "This is a tooltip for a link" B --"用-B替换B"--> C["cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB"] subgraph C --"令A=B"--> F["cos2A=cos^2A-sin^2A
=2cos^2A-1=1-2sin^2A"] end B --互余+诱导--> D["sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB"] subgraph D --"令A=B"--> E["sin2A=2sinAcosA"] D --"用-B替换B"--> G["sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB"] end

graph LR J[接上图] J --> K["sin(A-B)"] J --> L["cos(A-B)"] K--相-->M["tan(A-B)"] L--除-->M M--"-B替换B"-->N["tan(A+B)"] N--"令A=B"-->O["tan2A"] linkStyle 1 stroke:#ff3,stroke-2px;

典例剖析

例1【2019长沙模拟】已知(P)，(Q)是圆心在坐标原点(O)的圆上的两点，分别位于第一和第四象限，且点(P)的纵坐标为(cfrac{4}{5})，点(P)的横坐标为(cfrac{5}{13})，则(cosangle POQ)=___________.

分析：由题可知，点(P(cfrac{4}{5}，cfrac{3}{5}))，点(Q(cfrac{5}{13}，-cfrac{12}{13}))，

则(cosangle xOP=cfrac{4}{5})，(sinangle xOP=cfrac{3}{5})，

(cosangle xOQ=cfrac{5}{13})，(sinangle xOQ=-cfrac{12}{13})，

(cosangle POQ=cos(angle xOP-angle xOQ)=cdots =-cfrac{33}{65})

解后反思：本题目容易出现这样的错误；(cosangle POQ=cos(angle xOP+angle xOQ)=cfrac{56}{65})

例2【2020届宝鸡市质量检测1理科数学第15题】在( riangle ABC)中，(angle ABC=90^{circ})，(AB=4)，(BC=3)，点(D)在线段(AC)上，若(angle BDC=60^{circ})，则(BD)=，(cosangle CBD)=。

分析：由题可知，(sinC=cfrac{4}{5})，(cosC=cfrac{3}{5})，

在( riangle BCD)中，由正弦定理可知，(cfrac{BD}{sinC}=cfrac{3}{sin60^{circ}})，解得(BD=cfrac{8sqrt{3}}{5})；

(cosangle CBD=cos[pi-(angle BDC+angle ACB)]=-cos(angle BDC+angle ACB)=-cos60^{circ}cdot cosangle ACB+)(sin60^{circ}cdot sinangle ACB)(=-cfrac{3}{10}+cfrac{4sqrt{3}}{10}=cfrac{4sqrt{3}-3}{10}).

解后反思：如果利用余弦定理求解(AD)，再用正弦定理求解(sinangle ABD)，利用(cos angle CBD=sinangle ABD)，从而求得(cos angle CBD)，这样的运算会很复杂。这个题目的求解也从另一个角度说明了公式(cos(alpha+eta))存在的必要性。

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1. ( an(22^{circ}+23^{circ})=cfrac{tan22^{circ}+tan23^{circ}}{1-tan22^{circ}cdot tan23^{circ}})，即(1=cfrac{tan22^{circ}+tan23^{circ}}{1-tan22^{circ}cdot tan23^{circ}})
   即(1-tan22^{circ}cdot tan23^{circ}=tan22^{circ}+tan23^{circ})，即(1=tan22^{circ}cdot tan23^{circ}+tan22^{circ}+tan23^{circ})，
   即(2=1+tan22^{circ}cdot tan23^{circ}+tan22^{circ}+tan23^{circ})，即(2=（1+tan22^{circ})(1+ tan23^{circ}))， ↩︎