不等式证明中的断想

不等式证明中的断想

例1：有一道题目，(a，b>0)，让判断下列不等式是不是恒成立，其中有一个不等式是(a^3+b^3 ge 2ab^2)

【分析】(a^3+b^3 ge 2ab^2Longleftrightarrow a^3-ab^2+b^3-ab^2ge 0Longleftrightarrow(a-b)(a^2+ab-b^2)ge 0)

当(a>b>0)时，(a^2-b^2+ab>0)显然成立，

当(0<a<b)时，(a-b<0)，故关键是证明代数式((a^2+ab-b^2))的正负，

考虑到(a，b>0)，((a^2+ab-b^2))的正负(Longleftrightarrow cfrac{a^2+ab-b^2}{b^2})的正负。

可以令(cfrac{a}{b}=x)，再改为判断(x^2+x-1)的正负，

从而可以利用(f(x)=x^2+x-1)函数的图像来判断，

从图像可以看出，代数式(x^2+x-1)的可正、可负、可零；

故((a^2+ab-b^2))可正、可负、可零；原不等式不是恒成立。

【引申】判断不等式(a^3+b^3ge ab^2+a^2b)是不是恒成立。

(a^3+b^3ge ab^2+a^2bLongleftrightarrow (a-b)(a^2-b^2)ge 0)

当(a，b>0)时，恒成立；

当(a，bin R)时，不恒成立；

例2：当(a>b>0)时，(a^3+b^3>2a^2b)恒成立，是假命题。

【法1】：赋值法，令(a=3)，(b=2)；

则(a^3+b^3=27+8=35)，(2a^2b=36)，故不成立；

【法2】：作差法，

(a^3+b^3-2a^2b=(a^3-a^2b)+(b^3-a^2b))

(=a^2(a-b)-b(a^2-b^2)=(a-b)(a^2-ab-b^2))

(=(a-b)cdot b^2cdot [cfrac{a^2}{b^2}-cfrac{ab}{b^2}-cfrac{b^2}{b^2}])

(=(a-b)cdot b^2cdot [(cfrac{a}{b})^2-cfrac{a}{b}-1])

令(cfrac{a}{b}=t>1)，令(g(t)=t^2-t-1=(t-cfrac{1}{2})^2-cfrac{5}{4}(t>1))

令(g(t)=0)，解得(t=cfrac{1pmsqrt{5}}{2})，开口向上，

即当(tin (1，cfrac{1+sqrt{5}}{2}))时，(g(t)<0)，

当(t=cfrac{1+sqrt{5}}{2})时，(g(t)=0)，

当(t>cfrac{1+sqrt{5}}{2})时，(g(t)>0)，

即当(t>1)时，(g(t))的值可负，可零，可正，

故(a^2-ab-b^2>0)不能恒成立，故当(a>b>0)时，(a^3+b^3>2a^2b)不恒成立。

【法3】均值不等式，？

【法4】导数法，？