前言
对2022年高考全国卷乙卷的数学题目尝试进行多角度的解析,以期提升学生的思维能力,廓清思维的盲点。
真题解析
分析:由于 \(V_{O-ABCD}=\dfrac{1}{3}\times S_{ABCD}\times h\),由于底面 \(ABCD\) 的四个顶点均在球 \(O\) 的球面上,则当 \(S_{ABCD}\) 达到最大时,\(h\) 达到最小,而当 \(h\) 达到最大时,\(S_{ABCD}\) 达到最小,说明 \(h\) 和 \(S_{ABCD}\) 之间有内在的关联,需要让二者的关系达到某种平衡,\(V_{O-ABCD}\) 才能取到最大值。此时常用的策略是让某个变量临时固定,让另外一个变量变化,不妨令 \(h\) 暂时固定,来看 \(S_{ABCD}\) 的变化情况,这样题目就突破了难点。
解析: 设该四棱锥底面为四边形 \(ABCD\), 它所在小圆半径为 \(r\),又设其对角线夹角为 \(\alpha\),
则 \(S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}\cdot AC\cdot BD\cdot\sin\alpha\) [1]
\(\leqslant \dfrac{1}{2}\cdot AC\cdot BD\)当 \(\alpha=\cfrac{\pi}{2}\) 时,此时四边形的对角线互相垂直,则四边形就变形为菱形,\(\leqslant\dfrac{1}{2}\cdot(\cfrac{AC+BD}{2})^2=\dfrac{1}{2}\cdot(\cfrac{2r+2r}{2})^2=2r^{2}\) \(AC\) 和 \(BD\) 的最大值是小圆的直径,当两条对角线相等时,菱形就变形为正方形。,
(当且仅当四边形 \(ABCD\) 为正方形时等号成立)
即当四棱锥的顶点 \(O\) 到底面 \(ABCD\) 所在小圆距离[ 即四棱锥的高 ]一定时, 底面 \(ABCD\) 面积的最大值为 \(2r^{2}\),
又由题目四棱锥的顶点为 \(O\),底面的四个顶点均在球 \(O\) 的球面上,则 \(r^{2}+h^{2}=1\),
则 \(V_{O-ABCD}=\dfrac{1}{3}\times S_{ABCD}\times h=\dfrac{1}{3}\cdot2r^{2}\cdot h\)\(=\)\(\dfrac{\sqrt{2}}{3}\sqrt{r^{2}\cdot r^{2}\cdot 2h^{2}}\)此处的变形详析:\(\cfrac{\sqrt{2}}{3}\times r^2\times\sqrt{2}h\)\(=\)\(\cfrac{\sqrt{2}}{3}\times \sqrt{r^2\cdot r^2\cdot 2h^2}\)
\(\leqslant\dfrac{\sqrt{2}}{3}\sqrt{\left(\dfrac{r^{2}+r^{2}+2h^{2}}{3}\right)^{3}}=\dfrac{4\sqrt{3}}{27}\) [2]
当且仅当 \(r^{2}=2h^{2}\) ,且 \(r^2+h^2=1\),即 \(h=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) 时等号成立,故选: \(C\) .
解析:因为函数 \(f(x)=\ln|a+\dfrac{1}{1-x}|+b\) 为奇函数, 所以其定义域关于原点对称 .
由 \(a+\dfrac{1}{1-x}\neq 0\) [3] ,分式化为整式得到此处的分式化为整式的变形就显得非常关键,因为只有这样才能产生两个因式相乘不等于零的形式,才有可能满足定义域关于原点对称。对思维的考查凸显的非常明显,所以我感觉这个题目命制的相当成功。,\((1-x)(a+1-ax)\neq 0\),
由上式中 \(1-x\neq 0\) 显然能得到 \(x\neq 1\),
故由 \(a+1-ax\neq 0\) 应该得到 \(x\neq -1\) 才能满足其定义域关于原点对称,
由 \(a+1-ax=0\)能得到 \(x=\dfrac{a+1}{a}\),令\(x=-1\),即\(\dfrac{a+1}{a}=-1\) ,解得: \(a=-\dfrac{1}{2}\),
此时函数的定义域为 \((-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,+\infty)\), 再由 \(f(0)=0\) 可得 \(b=\ln 2\).
即 \(f(x)=\ln|-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{1-x}|+\ln 2=\ln|\dfrac{1+x}{1-x}|\),在定义域内满足 \(f(-x)=-f(x)\), 符合题意 .
故 \(a=-\dfrac{1}{2}\), \(b=\ln 2\).
(1). 证明: \(2a^{2}=b^{2}+c^{2}\);
证法一: 由于 \(\sin C\sin(A-B)\)\(=\)\(\sin B\sin(C-A)\)此处的三角函数的变换方向的选择和确定就显得非常重要,此时既可以考虑将 \(\sin(A-B)\) 和 \(\sin(C-A)\) 打开,变化为四个三项乘积的形式,再思考使用正弦定理。,可以转化为
\(\sin C\sin A\cos B-\sin C\cos A\sin B=\sin B\sin C\cos A-\sin B\cos C\sin A\),
由正弦定理可得 \(ac\cos B-bc\cos A=bc\cos A-ab\cos C\),即 \(ac\cos B=2bc\cos A-ab\cos C\),
由余弦定理可得 \(ac\dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}=2bc\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}-ab\dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\),
即证得 \(2a^{2}=b^{2}+c^{2}\)。
证法二: 由于 \(\sin C\sin(A-B)\)\(=\)\(\sin B\sin(C-A)\)此处的三角函数的变换方向的选择和确定就显得非常重要,也可以做替换 \(\sin C=\sin(A+B)\), \(\sin B=\sin(C+A)\),替换后由于呈现出对称的特点,我们大约能看到展开后可能有平方差公式的应用。更多体验,请参阅三角变换的方向总结,
则有 \(\sin(A+B)\sin(A-B)\)\(=\)\(\sin(C+A)\sin(C-A)\).
打开,得到 \((\sin A\cos B+\cos A\sin B)(\sin A\cos B-\cos A\sin B)\)
\(=\)\((\sin C\cos A+\cos C\sin A)(\sin C\cos A-\cos C\sin A)\),
整理得到,\(\sin^2A\cos^2B-\cos^2A\sin^2B=\sin^2C\cos^2A-\cos^2C\sin^2A\),
移项整理,\(\sin^2A(\cos^2B+\cos^2C)=\cos^2A(\sin^2B+\sin^2C)\),
即 \(\sin^2A(\cos^2B+\cos^2C)-(1-\sin^2A)(\sin^2B+\sin^2C)=0\),
即 \(\sin^2A(\cos^2B+\sin^2B+\cos^2C+\sin^2C)-(\sin^2B+\sin^2C)=0\)
即 \(2\sin^2A=\sin^2B+\sin^2C\),角化边得到,
\(2a^2=b^2+c^2\),证毕。
(2). 若 \(a=5\), \(\cos A=\dfrac{25}{31}\), 求 \(\triangle ABC\) 的周长。
解: 由于\(a=5\), \(\cos A=\dfrac{25}{31}\)由已知条件我们就可以针对 \(a\) 边使用余弦定理,这样只需要求解出 \(b+c\) 的值即可;又由于 \(b^2\)\(+\)\(c^2\)\(=\)\((b+c)^2\)\(-\)\(2bc\),故需要首先计算 \(2bc\) 的值;,这样由余弦定理,
得到,\(a^2=b^2+c^2-2bc\cdot\cos A\),即 \(2bc\cdot\cos A=b^2+c^2-a^2\),
即 \(2bc\cdot\dfrac{25}{31}=2a^2-a^2=a^2=25\),即 \(2bc=31\),
又由于 \(2a^2=b^2+c^2=(b+c)^2-2bc\),即 \((b+c)^2=2a^2+2bc=50+31=81\),
故 \(b+c=9\),则 \(\triangle ABC\) 的周长 \(l_{\triangle ABC}=5+9=14\)。
(1). 若 \(A=2B\),求 \(C\);
解:由于 \(A=2B\),则可知 \(C=\pi-3B\)此处结合内角和定理,应该想到 \(C\) 也能用 \(B\) 来表达,这样就实现了变量集中,便于后续的计算。,
又由题目 \(\sin C\sin(A-B)\)\(=\)\(\sin B\sin(C-A)\),将 \(A=2B\)代入左端,
得到 \(\sin C\sin(2B-B)\)\(=\)\(\sin B\sin(C-A)\),
即 \(\sin C\sin B\)\(=\)\(\sin B\sin(C-A)\),约去 \(\sin B\),
得到 \(\sin C=\sin(C-A)\),将 \(A=2B\) 和 \(C=\pi-3B\) 代入右端,
得到 \(\sin C=\sin(\pi-3B-A)=\sin(\pi-5B)=\sin 5B\),
解三角方程 \(\sin C=\sin 5B\),得到 \(C=5B\),(舍去 \(C+5B=\pi\)),
由内角和定理可知,\(2B+B+5B=\pi\),解得 \(B=\dfrac{\pi}{8}\),
故 \(C=5B=\dfrac{5\pi}{8}\) .
〔解后反思〕:本题目若使用余弦定理的方式求解 \(C\) ,运算会很麻烦,还不一定能求解成功。
(2). 证明: \(2a^{2}=b^{2}+c^{2}\);
证法一: 由于 \(\sin C\sin(A-B)\)\(=\)\(\sin B\sin(C-A)\)此处的三角函数的变换方向的选择和确定就显得非常重要,此时既可以考虑将 \(\sin(A-B)\) 和 \(\sin(C-A)\) 打开,变化为四个三项乘积的形式,再思考使用正弦定理。,可以转化为
\(\sin C\sin A\cos B-\sin C\cos A\sin B=\sin B\sin C\cos A-\sin B\cos C\sin A\),
由正弦定理可得 \(ac\cos B-bc\cos A=bc\cos A-ab\cos C\),即 \(ac\cos B=2bc\cos A-ab\cos C\),
由余弦定理可得 \(ac\dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}=2bc\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}-ab\dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\),
即证得 \(2a^{2}=b^{2}+c^{2}\)。
证法二: 由于 \(\sin C\sin(A-B)\)\(=\)\(\sin B\sin(C-A)\)此处的三角函数的变换方向的选择和确定就显得非常重要,也可以做替换 \(\sin C=\sin(A+B)\), \(\sin B=\sin(C+A)\),替换后由于呈现出对称的特点,我们大约能看到展开后可能有平方差公式的应用。更多体验,请参阅三角变换的方向总结,
则有 \(\sin(A+B)\sin(A-B)\)\(=\)\(\sin(C+A)\sin(C-A)\).
打开,得到 \((\sin A\cos B+\cos A\sin B)(\sin A\cos B-\cos A\sin B)\)
\(=\)\((\sin C\cos A+\cos C\sin A)(\sin C\cos A-\cos C\sin A)\),
整理得到,\(\sin^2A\cos^2B-\cos^2A\sin^2B=\sin^2C\cos^2A-\cos^2C\sin^2A\),
移项整理,\(\sin^2A(\cos^2B+\cos^2C)=\cos^2A(\sin^2B+\sin^2C)\),
即 \(\sin^2A(\cos^2B+\cos^2C)-(1-\sin^2A)(\sin^2B+\sin^2C)=0\),
即 \(\sin^2A(\cos^2B+\sin^2B+\cos^2C+\sin^2C)-(\sin^2B+\sin^2C)=0\)
即 \(2\sin^2A=\sin^2B+\sin^2C\),角化边得到,
\(2a^2=b^2+c^2\),证毕。
(1). 证明: 平面 \(BED\) \(\perp\) 平面 \(ACD\);
分析:证明面面垂直的题目,常常需要先转化为线面垂直来完成,此时就需要确定一条直线 这条直线就在给定的两个平面内来找,一般寻找确定的顺序是,先找边界线[三角形的平面就是三角形的边],再找中线、中位线、角平分线、高线等这些比较特殊的直线,最后考虑没有这些特殊的直线时,是不是可以做出这些直线,和一个平面 这个平面就是要证明的两个平面中的一个,当你确定了所要的直线的来源平面后,此时的平面就是另外一个平面。,当确定好直线和平面后,就需要在这个平面内找两条直线,然后证明这两条来自平面内的直线分别和前面提到的直线都垂直,从而问题转化为线线垂直,而证明线线垂直时,就能用到初中和高中的相关知识了。
分析过程思维导图:
证明过程思维导图:
〖证明〗:由于 \(AD=CD\), \(E\) 是 \(AC\) 的中点, 所以 \(AC\perp DE\)[线线垂直],
在 \(\triangle ADB\)和 \(\triangle CDB\)中,由于 \(\left\{\begin{array}{l}AD=CD\\BD=BD\\\angle ADB=\angle CDB\end{array}\right.\), 所以 \(\triangle ADB\cong\triangle CDB\)[SAS],
所以 \(AB=CB\), \(E\) 是 \(AC\) 的中点, 故 \(AC\perp BE\)[线线垂直],
[注意,当上述的垂直关系你若写成 \(DE\perp AC\) 和 \(BE\perp AC\),则此时我们往往会转换视角,将上述的垂直关系转换为 \(AC\perp DE\) 和 \(AC\perp BE\),便于我们梳理线面垂直的5个条件]
由于 \(DE\cap BE=E\), \(DE\), \(BE\subset\) 平面 \(BED\),
所以 \(AC\perp\) 平面 \(BED\)[线面垂直],
由于 \(AC\subset\) 平面 \(ACD\), 所以平面 \(BED\perp\) 平面 \(ACD\)[面面垂直].
(2). 设 \(AB=BD=2\), \(\angle ACB=60^{\circ}\), 点 \(F\) 在 \(BD\) 上, 当 \(\triangle AFC\) 的面积最小时, 求三棱锥 \(F\)\(-\)\(ABC\) 的体积.
分析:由题目可知当 \(\triangle AFC\) 的面积最小时, \(S_{\triangle AFC}=\cfrac{1}{2}\cdot AC \cdot EF\),\(AC\)已是定值,故取决于 \(EF\) 最小,而点 \(F\) 是 \(BD\) 上的动点,那它何时最小呢,此时一般考虑其特殊位置,分别可能是 \(EF\) 为 \(\triangle BED\) 的高线,中线,角平分线。
解析:依题意 \(AB=BD=BC=2\), \(\angle ACB=60^{\circ}\), 三角形 \(ABC\) 是等边三角形,
所以 \(AC=2\), \(AE=CE=1\), \(BE=\sqrt{3}\),
由于 \(AD=CD\), \(AD\perp CD\), 所以三角形 \(ACD\) 是等腰直角三角形, 所以 \(DE=1\),
\(DE^{2}+BE^{2}=BD^{2}\), 所以 \(DE\perp BE\),
又由于 \(DE\perp BE\),\(DE\perp AC\), \(AC\cap BE=E\), \(AC\),\(BE\subset\) 平面 \(ABC\),所以 \(DE\perp\) 平面 \(ABC\).
由于 \(\triangle ADB\cong\triangle CDB\), 所以 \(\angle FBA=\angle FBC\),
由于 \(\left\{\begin{array}{l}BF=BF\\\angle FBA=\angle FBC\\AB=CB\end{array}\right.,\) 所以, \(\triangle FBA\cong\triangle FBC\),
所以 \(AF=CF\), 所以 \(EF\perp AC\),
由于 \(S_{\triangle AFC}=\frac{1}{2}\cdot AC \cdot EF\),所以当 \(EF\) 最短时从直线 \(BD\) 外的一点 \(E\) 向直线所作的线段中,只有垂线段最短,故接下来我们需要过点 \(E\) 做 直线 \(BD\) 的垂线段。, 三角形 \(AFC\) 的面积取得最小值.
过 \(E\) 作 \(EF\perp BD\), 垂足为 \(F\),
在 \(Rt\triangle BED\) 中, \(\cfrac{1}{2} \cdot BE \cdot DE=\cfrac{1}{2}\cdot BD\cdot EF\) ,
解得 \(EF=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\),所以 \(DF=\sqrt{1^{2}-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\cfrac{1}{2}\),
\(BF=2-DF=\cfrac{3}{2}\) ,所以 \(\cfrac{BF}{BD}=\cfrac{3}{4}\)
过 \(F\) 作 \(FH\perp BE\), 垂足为 \(H\), 则 \(FH//DE\), 所以 \(FH\perp\) 平面 \(ABC\),
且 \(\cfrac{FH}{DE}=\cfrac{BF}{BD}=\cfrac{3}{4}\),所以 \(FH=\cfrac{3}{4}\),
所以 \(V_{F-ABC}=\cfrac{1}{3}\cdot S_{\triangle ABC}\cdot FH=\cfrac{1}{3}\times\cfrac{1}{2}\times 2\times\sqrt{3}\times\cfrac{3}{4}=\cfrac{\sqrt{3}}{4}\).
样本号\(i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 总 和 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
根部横截面积\(x_{i}\) | \(0.04\) | \(0.06\) | \(0.04\) | \(0.08\) | \(0.08\) | \(0.05\) | \(0.05\) | \(0.07\) | \(0.07\) | \(0.06\) | \(0.6\) |
材积量 \(y_{i}\) | \(0.25\) | \(0.40\) | \(0.22\) | \(0.54\) | \(0.51\) | \(0.34\) | \(0.36\) | \(0.46\) | \(0.42\) | \(0.40\) | \(3.9\) |
并计算得 \(\sum_\limits{\mathrm{i}=1}^{10}x_{\mathrm{i}}^{2}=0.038\), \(\sum_\limits{\mathrm{i}=1}^{10} y_{\mathrm{i}}^{2}=1.6158\), \(\sum_\limits{\mathrm{i}=1}^{10} x_{\mathrm{i}} y_{\mathrm{i}}=0.2474\),
附: 相关系数 \(r=\dfrac{\sum_\limits{i=1}^{n}\left(x_{\mathrm{i}}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_\limits{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2} \sum_\limits{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}}\),\(\sqrt{1.896} \approx 1.377\) .
(1). 估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;
审题:“估计该林区这种树木的相关数据”,是说我们需要先求解样本的数字特征,然后用样本 [\(10\)棵树木] 的数字特征来估计总体 [ 该林区的这种树木 ] 的数字特征,从而我们需要首先计算样本的数字特征,这是其一;同时关键词 “这种树木平均一棵的根部横截面积”,即是求样本[树木根部横截面积]的平均值,即求解 \(\bar{x}\),同理,“平均一棵的材积量”应该是求材积量的平均值,到此,题目求解思路清晰了:
解析:由于该林区的 \(10\) 棵树木的根部横截面积的平均值为 \(\bar{x}\)\(=\)\(\dfrac{0.6}{10}\)\(=\)\(0.06\)(\(m^2\)),材积量平均值为 \(\bar{y}\)\(=\)\(\dfrac{3.9}{10}\)\(=\)\(0.39\)(\(m^3\)),由此估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积约为 \(0.06\) \(m^2\),平均一棵的材积量约为 \(0.39\) \(m^3\) ;
(2). 求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到 \(0.01\));
分析:2022届高考学子下考后的第一句话就是,题目给的相关系数公式用不上。其实命题人更想考查的是学生对数学公式的灵活使用情况,想强迫你知道\(\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}\)\(=\)\(\sum\limits_{i=1}^n{x_iy_i}-n\bar{x}\bar{y}\), \(\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-\bar{x})^2}=\sum\limits_{i=1}^n{x_i^2-n\bar{x}^2}\),详推;如果我们备考复习仅仅定位在给定公式,我们只要会使用的层次,那么对于考查数学公式的灵活应用层次的题目,自然就束手无策了。相反的,如果我们突破了公式这个层面,剩下的就仅仅是运算考查了,请注意,本题目的运算也是挺难的。
解析: \(r=\dfrac{\sum_\limits{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_\limits{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}\sum_\limits{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}}\),
\(=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n{x_iy_i}-n\bar{x}\bar{y}}{\sqrt{\sum_\limits{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}\sqrt{\sum_\limits{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}}\) \(=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n{x_iy_i}-n\bar{x}\bar{y}}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n{x_i^2-n\bar{x}^2}}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n{y_i^2-n\bar{y}^2}}}\)
\(=\dfrac{0.2474-10\times0.06\times0.39}{\sqrt{0.038-10\times0.06^2}\sqrt{1.6158-10\times0.39^2}}\)
\(=\dfrac{0.2474-0.234}{\sqrt{0.038-0.036}\sqrt{1.6158-1.521}}\) \(=\dfrac{0.0134}{\sqrt{0.002}\times\sqrt{0.0948}}\)
\(=\dfrac{0.0134}{\sqrt{0.0001896}}\) \(=\dfrac{0.0134}{\sqrt{1.896}\times\sqrt{10^{-4}}}\)
\(\approx\dfrac{0.0134}{1.377\times10^{-2}}\) \(=\dfrac{1.34}{1.377}\approx0.97\)
(3). 现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 \(186m^{2}\)。 已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比。 利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值。
分析:关键词 “已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比”,则此时需要用到比例,关键是分析清楚参与构成比例的几个量,应该有 树木的材积量平均值,根部横截面积平均值,还有 所有这种树木的根部横截面积总和,最后一个就是待求解的量,将其设出来,就可以了。
解析:设这种树木的总材积量为 \(Y\),则由树木的材积量与其根部横截面积近似成正比,
可得到 \(\dfrac{0.06}{0.39}=\dfrac{186}{Y}\),解得 \(Y=1209\) \(m^3\),故该林区这种树木的总材积量的估计值约为 \(1209\) \(m^3\)。
(1) . 当 \(a=0\) 时, 求 \(f(x)\) 的最大值;
解析:本小问基本没有其他的求解思路,就是求导,判断单调性,确定最大值;
当 \(a=0\) 时, \(f(x)=-\cfrac{1}{x}-\ln x\), \(x>0\),
则 \(f^{\prime}(x)\)\(=\)\(\cfrac{1}{x^{2}}-\cfrac{1}{x}\)\(=\)\(\cfrac{1-x}{x^{2}}\)此处,为了判断 \(f'(x)\) 的正负,你甚至可以只利用分子函数 \(y\)\(=\)\(1\)\(-\)\(x\) \((\)\(x\)\(>\)\(0\)\()\) 的图像快速判断,更多情形,请参阅导数法判断函数单调性的策略,
当 \(x\in(0,1)\) 时, \(f^{\prime}(x)>0\), \(f(x)\) 单调递增;
当 \(x\in(1,+\infty)\) 时,\(f^{\prime}(x)<0\), \(f(x)\) 单调递减;
所以 \(f(x)_{\max}=f(1)=-1\);
(2) . 若 \(f(x)\) 恰有一个零点, 求 \(a\) 的取值范围 ;
分析:本题目属于:已知函数只有一个零点,求参数的取值范围问题;这类题目由我们的高考备考经验可知,最起码有两个求解途径:其一,分离参数法,其二,分类讨论法;高考实战中一般建议第二个思路,是基于分步骤得分和有效利用第一问的考量,而且你要是注意研究这类的高考和模考题目,基本都是走思路二的路子。
解析:\(f(x)=ax-\cfrac{1}{x}-(a+1)\ln x\), \(x>0\),
则 \(f^{\prime}(x)\)\(=\)\(a+\cfrac{1}{x^{2}}-\cfrac{a+1}{x}\)运算到此,接下来常用的变形就是通分,对分子进行因式分解,这样的变形按理说,在初中就应该非常熟练,变形的目的就是为了便于判断分子的正负,此时分母常常就是正数,不需要重点考虑的;\(=\)\(\cfrac{(ax-1)(x-1)}{x^{2}}\)对于像 \(ax^2-(a+1)x+1\) 类的因式分解,你其实应该很熟练的。主要用到十字相乘法;,
[此处思维走向的判断:由于导函数是分式函数,其分母恒为正,此时我们只想知道分子的正负,从而快速判断原函数的增减,以便于能做出原函数的大致图像,从图像上判断函数是否仅有一个零点,基于此,我们需要对参数分类讨论如下,此时你可以更好的利用含参数的二次函数的图像来判断],编者按。
\(1^{\circ}\) 当 \(a \leq 0\) 时, \(ax-1 \leq 0\), 所以当 \(x \in(0,1)\) 时,\(f^{\prime}(x)>0\), \(f(x)\) 单调递增,
当 \(x \in(1,+\infty)\) 时, \(f^{\prime}(x)<0\), \(f(x)\) 单调递减;
所以 \(f(x)_{\max}=f(1)=a-1<0\), 此时函数无零点, 不合题意;
[ 括号中为辅助理解说明,具体作答时不用写到试卷上,单调性配图说明参考图像, 当\(a\leqslant0\)时,导函数的分子图像如图所示,我们只关注 \(x>0\) 那一段,很显然能看出来导函数的正负。;原函数图像说明根据所求得的单调性,我们可以做出原函数的大致图像, 由图像很显然能看出来,此时函数没有零点; ]
\(2^{\circ}\) 当 \(0<a<1\) 时, \(\cfrac{1}{a}>1\), 在 \((0,1)\) 和 \(\left(\cfrac{1}{a},+\infty\right)\) 上, \(f^{\prime}(x)>0\), \(f(x)\) 单调递增;
在 \(\left(1, \cfrac{1}{a}\right)\) 上, \(f^{\prime} (x)<0\), \(f(x)\) 单调递减;
又 \(f(1)=a-1<0\), 当 \(x\) 趋近正无穷大时, \(f(x)\) 趋近于正无穷大,
所以 \(f(x)\) 仅在 \(\left(\cfrac{1}{a},+\infty\right)\) 有唯一零点, 符合题意;
[ 括号中为辅助理解说明,具体作答时不用写到试卷上,单调性配图说明参考图像, 当\(0<a<1\)时,导函数的分子图像如图所示,我们只关注 \(x>0\) 那一段,很显然能看出来导函数的正负。;原函数图像说明根据所求得的单调性,我们可以做出原函数的大致图像, 由图像很显然能看出来,此时函数有唯一零点; ]
\(3^{\circ}\) 当 \(a=1\) 时, \(f^{\prime}(x)=\cfrac{(x-1)^{2}}{x^{2}}\geq 0\),
所以 \(f(x)\) 单调递增, 又 \(f(1)=a-1=0\), 所以 \(f(x)\) 有唯一零点, 符合题意;
[ 括号中为辅助理解说明,具体作答时不用写到试卷上,单调性配图说明参考图像, 当\(a=1\)时,导函数的分子图像如图所示,我们只关注 \(x>0\) 那一段,很显然能看出来导函数的正负。;原函数图像说明根据所求得的单调性,我们可以做出原函数的大致图像, 由图像很显然能看出来,此时函数有一个零点; ]
\(4^{\circ}\) 当 \(a>1\) 时, \(\cfrac{1}{a}<1\), 在 \(\left(0, \cfrac{1}{a}\right)\) 和 \((1,+\infty)\) 上, \(f^{\prime}(x)>0\),\(f(x)\) 单调递增;
在 \(\left(\cfrac{1}{a}, 1\right)\) 上, \(f^{\prime}(x)<0\), \(f(x)\) 单调递减;
此时 \(f(1)=a-1>0\),又 \(f\left(\cfrac{1}{a^{n}}\right)=\cfrac{1}{a^{n-1}}-a^{n}+n(a+1)\ln a\),
则当 \(n=1\)时, \(f(\cfrac{1}{a})=1-a+(a+1)\ln a>0\)由于 \(f(a)>0\),\((\cfrac{1}{a},1)\) 上单调递减,故可知 \(f(\cfrac{1}{a})>0\),如果还有疑惑,你还可以取值验证,比如令\(a=e\),则 \(f(\cfrac{1}{e})\)\(=\)\(1\)\(-\)\(e\)\(+\)\((e+1)\)\(\ln\)\(e\)\(>\)\(0\),
当 \(n\) 趋近正无穷大时, \(f\left(\cfrac{1}{a^{n}}\right)\) 趋近负无穷, 所以 \(f(x)\) 在 \(\left(0, \cfrac{1}{a}\right)\) 有一个零点, 在 \(\left(\cfrac{1}{a},+\infty\right)\) 无零点,
[ 括号中为辅助理解说明,具体作答时不用写到试卷上,单调性配图说明参考图像, 当\(a\leqslant0\)时,导函数的分子图像如图所示,我们只关注 \(x>0\) 那一段,很显然能看出来导函数的正负。;原函数图像说明根据所求得的单调性,我们可以做出原函数的大致图像, 由图像很显然能看出来,此时函数有一个零点; ]
所以 \(f(x)\) 有唯一零点, 符合题意;
综上, \(a\) 的取值范围为 \((0,+\infty)\) .
〖解后反思〗啰嗦几句,当然你也可以采用分离参数的方法,变形得到 \(a=\cfrac{\ln x+\frac{1}{x}}{x-\ln x}\),然后利用导数判断函数 \(g(x)=\cfrac{\ln x+\frac{1}{x}}{x-\ln x}\)的单调性,从而利用单调性得到大致函数图像,由图像得到参数的取值范围。
(1). 写出 \(l\) 的直角坐标方程;
解析: 由 \(\rho\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)+m=0\) 可得,
\(\rho\left(\sin \theta \cos \dfrac{\pi}{3}+\cos \theta \sin \dfrac{\pi}{3}\right)+m=0\),即 \(\rho\left(\dfrac{1}{2} \sin \theta+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta\right)+m=0\),
则 \(\dfrac{1}{2} y+\dfrac{\sqrt{3}}{2} x+m=0\),故 \(l\) 的直角坐标方程为: \(\sqrt{3}x+y+2m=0\) .
(2). 若 \(l\) 与 \(C\) 有公共点, 求 \(m\) 的取值范围。
分析:本问题属于已知直线与曲线的位置关系求参数的取值范围问题,常见的思路是利用 \(\Delta\) 求解,但是若曲线是用参数方程刻画的,则此时往往不能使用判别式法。
解法1:由\(x=\sqrt{3} \cos 2t\),\(\cos2t=1-2\sin^{2}t\) ,
得 \(x=\sqrt{3}\left(1-2\sin^{2}t\right)=\sqrt{3}\left[1-2\left(\dfrac{y}{2}\right)^{2}\right]=\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}y^{2}\),
即曲线 \(C\) 的直角坐标方程为 \(x=\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}y^{2}\),联立 \(\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}y^{2}\\\sqrt{3} x+y+2 m=0\end{array}\right.\),
消去 \(x\)由于自变量 \(x\) 和 \(y\) 的最高次数是不一样的,故消去 \(x\) 和消去 \(y\) 的难易程度是不一样的;,整理得到,\(3y^{2}-2y-4m-6=0\),
即 \(3y^{2}-2y-6=4m\),又由于 \(y=2\sin t\),则 \(-2\leq y \leq 2\),
到此转化为 \(4m=3y^{2}-2y-6\) \((-2\leq y \leq 2)\) 方程有解的问题,
此时需要求解二次函数 \(z=3y^{2}-2y-6\) \((-2\leq y\leq 2)\) 的值域,
由于二次函数 \(z=3y^{2}-2y-6\) \((-2\leq y\leq 2)\)的值域为 \(-\dfrac{19}{3} \leq z \leq 10\) ,
故有 \(-\dfrac{19}{3} \leq 4 m \leq 10\) ,即 \(-\dfrac{19}{12} \leq m \leq \dfrac{5}{2}\) ,
故 \(m\) 的取值范围是 \(-\dfrac{19}{12} \leq m \leq \dfrac{5}{2}\).
〔解后反思〕:1. 估计好多学生会纠结为什么利用 \(\Delta\geqslant 0\) 求解的思路是错误的,对此我们进一步说明如下,由于 \(3y^{2}\)\(-\)\(2y\)\(-\)\(4m\)\(-\)\(6\)\(=\)\(0\),则 \(\Delta=4+4\times3\times(6+4m)\geqslant0\),解得 \(m\geqslant-\dfrac{19}{12}\),这仅仅是必要条件,不是充要条件。原因是\(\Delta\geqslant 0\) 对应的是 \(y\in R\),而此时明显有 \(-2\leq y\leq 2\) 的限制,故这一思路肯定有问题。
- 当消去 \(y\) 后得到,\(3x^2+2\sqrt{3}(2m-1)x+4m^2-2=0\),此时若使用 \(\Delta\geqslant 0\) ,算理是错误的,若想使用方程有解的思路,但是参数没法分离,故就陷入两难的境地。
解法2:联立 \(l\) 与 \(C\) 的方程, 即将 \(x=\sqrt{3}\cos2t\), \(y=2\sin t\) 代入 \(\sqrt{3}x+y+2m=0\) 中,
可得 \(3\cos2t+2\sin t+2m=0\),所以 \(3\left(1-2\sin^{2}t\right)+2\sin t+2m=0\),
化简为 \(-6\sin ^{2} t+2 \sin t+3+2 m=0\) ,
要使 \(l\) 与 \(C\) 有公共点, 则 \(2m=6\sin^{2}t-2\sin t-3\) 方程有解,
令 \(\sin t=a\), 则 \(a \in[-1,1]\), 令 \(f(a)=6a^{2}-2a-3\),\((-1\leqslant a\leqslant 1)\),
二次函数 \(f(a)\) 的对称轴为 \(a=\dfrac{1}{6}\), 开口向上,
所以 \(f(a)_{\max}=f(-1)=6+2-3=5\),\(f(a)_{\min}=f\left(\dfrac{1}{6}\right)=\dfrac{1}{6}-\dfrac{2}{6}-3=-\dfrac{19}{6}\),
所以 \(-\dfrac{19}{6} \leq 2 m \leq 5\) ,\(m\) 的取值范围为 \(-\dfrac{19}{12} \leq m \leq \dfrac{5}{2}\).
任意四边形面积公式的详细证明过程:
如下图所示,\(OA=a\),\(OB=b\),\(OC=c\),\(OD=d\),两条对角线的夹角为 \(\theta\),[此时有对顶角或邻补角]
则由割补法以及 \(S_{\triangle}=\cfrac{1}{2}ab\sin C\) ,我们可以得到以下的等式,
\(S_{ABCD}=S_{\triangle OAB}+S_{\triangle OBC}+S_{\triangle OCD}+S_{\triangle ODA}\)
\(=\cfrac{1}{2}ab\sin\theta+\cfrac{1}{2}bc\sin\theta+\cfrac{1}{2}cd\sin\theta+\cfrac{1}{2}da\sin\theta\)
\(=\cfrac{1}{2}b(a+c)\sin\theta+\cfrac{1}{2}d(a+c)\sin\theta\)
\(=\cfrac{1}{2}(a+c)(b+d)\sin\theta=\cfrac{1}{2}AC\times BD\sin\theta\) ↩︎三元均值不等式公式以及相关变形说明:
\(\sqrt[3]{abc}\leqslant\cfrac{a+b+c}{3}\), \((\)\(a\)、\(b\)、\(c\geqslant 0\),当且仅当 \(a=b=c\) 时取到等号\()\)
其变形适用形式:\(abc\leqslant \left(\cfrac{a+b+c}{3}\right)^3\),在此题目中是这样使用的,
\(r^2\cdot r^2\cdot 2h^2\leqslant \left(\cfrac{r^2+r^2+2h^2}{3}\right)^3=\left(\cfrac{2(r^2+h^2)}{3}\right)^3=\left(\cfrac{2}{3}\right)^3\),此题目的设置有失公允,对二选一中选择坐标系与参数方程的学生是不大公平的,且其难度有些超纲。 ↩︎此处一般的思维都是由 \(a+\dfrac{1}{1-x}\neq 0\) 求解得到 \(x\neq 1+\dfrac{1}{a}\),此时要么没法继续思考,要么艰难晦涩的这样思考,从形式上可以看到 \(x\neq1\),故由定义域关于原点对称,还应该有 \(x\neq-1\),现在 \(x\neq 1+\dfrac{1}{a}\),故 应该有 \(1+\dfrac{1}{a}=-1\),从而求解得到 \(a=-\dfrac{1}{2}\) .
【同类型题目】[求函数中的参数值]【2017\(\cdot\)深圳模拟】若函数\(f(x)=\cfrac{x}{(2x+1)(x-a)}\)是奇函数,则实数\(a\)的值是\(a=\cfrac{1}{2}\) .详解请查阅相关例题 ↩︎