合并同类项|高中阶段

前言

同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项（combining like terms）。（几个常数项也是同类项）[摘自百度百科]

例如，\(a\)和\(3a\)、\(7a\)是同类项。多项式 \(3a^2\)\(-\)\(4ab^2\)\(-\)\(5a^2\)\(-7\)\(+\)\(15ab^2\)\(+\)\(29\) 中， \(3a^2\) 与 \(-5a^2\) 是同类项，\(-4ab^2\) 与 \(15ab^2\) 是同类项，\(-7\) 与 \(29\)也是同类项。^[1]

代数式分类

\[\textbf{代数式}\left\{\begin{array}{l}{有理式\left\{\begin{array}{l}{整式\left\{\begin{array}{l}{单项式:如2a,3x^4}\\{多项式:如3x+2y^2-\cfrac{3}{2}xz}\end{array}\right.}\\{分式:如\cfrac{2y+3}{2x-1}}\end{array}\right.}\\{无理式\left\{\begin{array}{l}{根式:如\sqrt{2x-1},\sqrt[3]{2x-1}},(x-1)^{\frac{3}{2}}\\{超越式:如2^x,2^{x+1},log_2x,\sin x}\end{array}\right.}\end{array}\right. \]

初高中异同

初中涉及的合并同类项，其实就是合并幂式[幂底数为字母，幂指数为数字]，比如\(2x^2y\)和 \(-3x^2y\)；而高中涉及到的除过这些之外，主要涉及超越式，比如指数式[幂底数为数字，幂指数为字母]的合并，例如\(2^{x}\) 和 \(5\cdot2^x\)合并为 \(6\cdot2^x\) ；比如 \(2^{n+1}\) 和 \((2n-1)\cdot2^n\) 合并时，可以将 \(2^{n+1}\) 拆分为 \(2\cdot 2^n\)，系数为\(2\)，主体是指数式 \(2^n\) ，将 \((2n-1)\cdot2^n\) 认为系数是 \((2n-1)\)，主体是指数式 \(2^n\) ，这样就能很容易合并为 \((2n+1)\cdot 2^n\)；还会有对数式的合并等；

合并例子如下：

① \(2^{n+3}+(3n-2)\cdot 2^{n+1}=2^2\cdot2^{n+1}+(3n-2)\cdot 2^{n+1}=(3n+2)\cdot 2^{n+1}\)

② \(\cfrac{1}{2}(1-\cfrac{1}{3^n})-\cfrac{n}{3^{n+1}}=\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{2\cdot 3^n}-\cfrac{n}{3^{n+1}}=\cfrac{1}{2}-\cfrac{3}{2\cdot 3^{n+1}}-\cfrac{2n}{2\cdot3^{n+1}}=\cfrac{1}{2}-\cfrac{2n+3}{2\cdot 3^{n+1}}\)

③

解决问题

① 等比数列中的相关合并运算；

比如 \(3\cdot 2^{n+1}-2^{n+2}\)\(=\)\(3\cdot 2^{n+1}-2\cdot 2^{n+1}\)\(=\)\((3-2)2^{n+1}=2^{n+1}\)

② 错位相减求和法的结果的处理；

③

典例剖析

合并计算： \(\cfrac{4}{3}(2^{n+1}-1)-(2^{n+2}+1)\)

分析：上述题目中，\(-\cfrac{4}{3}\) 和 \(-1\) 是同类项，那么项 \(\cfrac{4}{3}\cdot2^{n+1}\) 和 \(-2^{n+2}\) 是同类项吗？我们可以将这两项转化为 \(\cfrac{4}{3}\cdot2^{n+1}\) 和 \(-2\cdot2^{n+1}\)，这时候很显然就是同类项了，项的主体为指数式 \(2^{n+1}\) ，其系数分别是 \(\cfrac{4}{3}\) 和 \(-2\)，这样完全就可以合并计算了。

\(\cfrac{4}{3}(2^{n+1}-1)-(2^{n+2}+1)=\cfrac{4}{3}\cdot 2^{n+1}-2\cdot 2^{n+1}-\cfrac{7}{3}\)

\(=(\cfrac{4}{3}-2)\cdot2^{n+1}-\cfrac{7}{3}=-\cfrac{2}{3}\cdot2^{n+1}-\cfrac{7}{3}\)

\(=-\cfrac{2\cdot 2^{n+1}}{3}-\cfrac{7}{3}=-\cfrac{2^{n+2}+7}{3}\)

合并计算：\(1+\cfrac{\cfrac{1}{2^{2}}[1-(\cfrac{1}{2})^{n-1}]}{1-\cfrac{1}{2}}-\cfrac{n+1}{2^{n+1}}\)，

解析：原式\(=1+\cfrac{1}{2}[1-(\cfrac{1}{2})^{n-1}]-\cfrac{n+1}{2^{n+1}}\)

\(=1+\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{2^n}-\cfrac{n+1}{2^{n+1}}\)

\(=\cfrac{3}{2}-\cfrac{2}{2^{n+1}}-\cfrac{n+1}{2^{n+1}}\)

\(=\cfrac{3}{2}-\cfrac{n+3}{2^{n+1}}\) .

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1. 在复数范围内，代数式分为有理式和无理式。有理式包括整式（除数中没有字母的有理式，比如\(\cfrac{x^2y+3x}{2}\)）和分式（除数中有字母且除数不为0的有理式，\(\cfrac{x^2y+3x}{2xy}\)）。这种代数式中对于字母只进行有限次加、减、乘、除和整数次乘方这些运算。整式又包括单项式（数字或字母的乘积如 \(2x^3\)，或者是单独的一个数字如 \(4\) 或字母 \(m\) ）和多项式（若干个单项式的和 \(2mn^3+2n^2-mn\)）。无理式包括根式和超越式，我们把可以化为被开方式为有理式，根指数不带字母的代数式称为根式（如\(\sqrt[4]{2x+1}\)）。
   ①.单项式:没有加减运算的整式叫做单项式（如 \(2xy\)）。单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式（或字母因数）的数字系数，简称系数（如\(2xy\)的系数为 \(2\)）。单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数（如单项式 \(2xy\)，即\(2x^1y^1\) 的次数为 \(1+1=2\)次）。
   ②.多项式:几个单项式的代数和叫做多项式；多项式中每个单项式叫做多项式的项。不含字母的项叫做常数项。多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数（如 \(2mn^3+2n^2-mn\) 的次数为 \(4\) 次）。齐次多项式：各项次数相同的多项式叫做齐次多项式（如 \(2x^2-3xy+5y^2\) 称为关于\(x\)、\(y\)的二次齐次式）。
   不可约多项式：次数大于零的有理系数的多项式，不能分解为两个次数大于零的有理数系数多项式的乘积时，称为有理数范围内不可约多项式（如 \(x^2-3\) ，在有理数范围内不能分解为 \((x\)\(+\)\(\sqrt{3}\)\()\)\(\cdot\)\((x\)\(-\)\(\sqrt{3})\)）。实数范围内不可约多项式是一次（如 \(x+2\) ）或某些二次多项式（如 \(x^2+x+1\) ），复数范同内不可约多项式是一次多项式。
   对称多项式：在多元多项式中，如果任意两个元互相交换所得的结果都和原式相同，则称此多项式是关于这些元的对称多项式（如 \(a^2+b^2+c^2\) 或 \(ab+bc+ca\) ）。 ↩︎