点线面位置关系

前言

典例剖析

【2022届高三文科月考用题】在空间四边形 (ABCD) 的各边 (AB), (BC), (CD), (DA) 上依次取点 (E), (F), (G), (H), 若 (EH) 、 (FG) 所在 直线相交于点 (P)， 则【(qquad)】

$A$.点 $P$ 必在直线 $AC$ 上

$B.$点 $P$ 必在直线 $BD$ 上

$C.$点 $P$ 必在平面 $DBC$ 外

$D.$点 $P$ 必在平面 $ABC$ 内

【解答】解：如图: 连接 (EH) 、 (FG) 、 (BD)，由于(EH) 、 (FG) 所在直线相交于点 (P)，

则点 (Pin EH) 且 (P in FG)， 且 (EHsubsetneqq) 平面 (ABD)， (FGsubsetneqq) 平面 (BCD)，

故点 (Pin) 平面 (ABD)， 且 (Pin) 平面 (BCD)，

由平面 (ABDcap) 平面 (BCD=BD)， (Pin BD)， 故选： (B).

【2019届高三理科数学三轮模拟试题】已知(l)，(m)是空间中两条不同的直线，(alpha)，(eta)是两个不同的平面，则下列说法一定正确的是【(qquad)】

$A$.若$l//alpha，alpha//eta，msubset eta，l otsubset eta$，则$l//m$；

$B$.若$alphaperp eta，l//alpha，mperp l，m otsubset eta$，则$mperp eta$；

$C$.若$l//m，m//alpha，lperpeta，l otsubset alpha$，则$alphaperp eta$；

$D$.若$lperpalpha，mperpeta，alphaperp eta$，则$l//m$；

分析：选(C)；可以借助长方体模型或正方体模型来判断线面位置关系；主要使用排除法；

【2019届高三理科数学三轮模拟试题】在正方体(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，点(O)是四边形(ABCD)的中心，关于直线(A_1O)，下列说法正确的是【(qquad)】

$A.A_1O//D_1C$ $B.A_1Operp BC$ $C.A_1O//平面B_1CD_1$ $D.A_1Operp平面AB_1D_1$

分析：由于题目中给定点(O)是下底面的中心，故我们想到也做出上底面的中心(E)，如图所示，

当连结(CE)时，我们就很容易看出(A_1O//CE)，以下做以说明；

由于(OC//A_1E)，且(OC=A_1E)，则可知(A_1O//CE)，

又由于(A_1O ot subset 面B_1CD_1)，(CE subset 面B_1CD_1)，故(A_1O//平面B_1CD_1) ，故选(C)，

此时，我们也能轻松的排除(A)，(B)，(D)三个选项是错误的。

【数学常识整理储备】如图所示的是正方体(ABCD-A'B'C'D')，有如下的常用结论：

(1)体对角线(B'Dperp)平面(ACD')(如图1)

证明：令体对角线(B'D)和平面(ACD')的交点是(N)，由正四面体(B'-ACD')可知，

(N)是三角形底面的中心，连接(OD')，则易知(ACperp BD)，(ACperp BB')，故(ACperp B'D)，

同理(AD'perp B'D)，故体对角线(B'Dperp)平面(ACD')。

(2)(DN=cfrac{1}{3}B'D)(如图1，利用等体积法)

(3)平面(ACD'//A'BC')(如图2)

(4)平面(ACD')与平面(A'BC')的间距是(cfrac{1}{3}B'D)，即体对角线的(cfrac{1}{3})(如图2)

(5)三棱锥(B'-ACD')是正四面体。三棱锥(D-ACD')是正三棱锥。

(6)如果需要将正四面体或者墙角型的正三棱锥恢复还原为正方体，我们可以先画出正方体，然后在里面找出需要的正四面体或者墙角型正三棱锥。

(7)圆内接正方形的中心就是圆心，正方形的对角线的长度就是圆的直径；球内接正方体的中心就是球心，正方体的体对角线的长度就是球的直径。

(8)正方形的棱长设为(2a)，则正方形的内切圆半径为(a)，正方形的外接圆半径为(sqrt{2}a)，三者的关系之比为(2:1:sqrt{2})；

正方体的棱长设为(2a)，则正方体的内切球半径为(a)，正方体的外接球半径为(sqrt{3}a)，三者的关系之比为(2:1:sqrt{3})；

(9)正三角形的棱长设为(2a)，则正三角形的内切圆半径为(cfrac{sqrt{3}}{3}a)，正三角形的外接圆半径为(cfrac{2sqrt{3}}{3}a)，三者的关系之比为(2sqrt{3}:1:2)；

正四面体的棱长设为(2a)，则正四面体的内切球半径为(cfrac{sqrt{6 }}{6}a)，正四面体的外接球半径为(cfrac{sqrt{6 }}{2}a)，三者的关系之比为(2sqrt{6}:1:3)；