20212022学年高三文科数学讲座(Ⅰ)

思维导图

集合；常用逻辑用语；函数与初等函数；

涉及范围

集合、简单逻辑用语、函数与初等函数前半部分；

典例剖析

已知集合\(A=\{x\mid -x^2+3x+10\geqslant 0\}\)，\(B=\{x\mid m+1\leqslant x\leqslant 2m-1\}\)，若\(A\cap B\neq \varnothing\)，则\(m\)的取值范围是【\(\quad\)】

$A.[\cfrac{1}{2}，4]$ $B.(-\infty，\cfrac{1}{2})\cup(4，+\infty)$ $C.[2，4]$ $D.(2，4)$

法1：直接法，\(A=[-2，5]\)，\(B=[m+1，2m-1]\)，

由于\(A\cap B\neq \varnothing\)，则\(B\neq \varnothing\)，

则\(\left\{\begin{array}{l}{m+1\leqslant 2m-1}\\{-2\leqslant m+1\leqslant 5}\end{array}\right.\)①或\(\left\{\begin{array}{l}{m+1\leqslant 2m-1}\\{-2\leqslant 2m-1\leqslant 5}\end{array}\right.\)②,

解①得到，\(2\leqslant m\leqslant 4\)；解②得到，\(2\leqslant m\leqslant 3\)；

求其并集，得到\(2\leqslant m\leqslant 4\)；故选\(C\)；

法2：间接法，\(A=[-2，5]\)，\(B=[m+1，2m-1]\)，先求\(A\cap B=\varnothing\)，

①当\(B=\varnothing\)时，则\(m+1>2m-1\)，解得\(m<2\)；

②当\(B\neq \varnothing\)时，要使得\(A\cap B=\varnothing\)，

则\(\left\{\begin{array}{l}{m\geqslant 2}\\{m+1>5}\end{array}\right.\)或\(\left\{\begin{array}{l}{m\geqslant 2}\\{2m-1<-2}\end{array}\right.\)

解得\(m>4\)，

综上可知，\(A\cap B=\varnothing\)时，\(m<2\)或\(m>4\)，

故\(A\cap B\neq\varnothing\)时，\(2\leqslant m\leqslant 4\)，故选\(C\)；

已知\(“\)命题\(p：(x-m)^2>3(x-m)\)\(”\)是\(“\)命题\(q：x^2+3x-4<0\)\(”\)成立的必要不充分条件,则实数\(m\)的取值范围为________.　

【解析】先化简命题\(p\)，由\((x-m)^2>3(x-m)\)，得到\(x^2-(2m+3)x+m^2+3m>0\)，

即\(x^2-(2m+3)x+m(m+3)>0\)，即\((x-m)[x-(m+3)]>0\)，

则有\(p：x>m+3\)或\(x<m；q：-4<x<1\)；

因为\(p\)是\(q\)成立的必要不充分条件，则\(\{x\mid-4<x<1\}\subseteq \{x\mid x>m+3或x<m\}\)，

所以\(m+3≤-4\)或\(m≥1\)，即\(m≤-7\)或\(m≥1\)，

故\(m\)的取值范围为\((-\infty，-7]\cup[1，+\infty)\)。

已知函数\(f(x)=x^3+\cfrac{3}{2}x^2-6x+1\)在区间\([a，a+1]\)上单调递减，求参数\(a\)的取值范围。

法1：集合法，先用导数的方法求得函数\(f(x)\)的单调递减区间，\(f'(x)=3x^2+3x-6=3(x+2)(x-1)\)，

令\(f'(x)<0\)，解得\(x\in (-2，1)\)，即其单调递减区间为\([-2，1]\)，此处必须写成闭区间，否则会丢掉参数的个别取值。

而题设又已知函数在\([a，a+1]\)上单调递减，故\([a，a+1]\subseteq [-2，1]\)，即问题转化为集合的包含关系问题了。

此时只需要满足\(\left\{\begin{array}{l}{-2\leqslant a}\\{a+1\leqslant 1}\end{array}\right.\)，解得\(-2\leqslant a\leqslant 0\)，

故参数\(a\)的取值范围为\([-2，0]\)。

法2：导数法，由题设可知，\(f'(x)=3x^2+3x-6=3(x+2)(x-1)\)，由于函数在区间\([a，a+1]\)上单调递减，

则\(f'(x)=3(x+2)(x-1)\leq 0\)在区间\([a，a+1]\)上恒成立，则\(\left\{\begin{array}{l}{f'(a)\leqslant 0}\\{f'(a+1)\leqslant 0}\end{array}\right.\)

即\(\left\{\begin{array}{l}{3(a+2)(a-1)\leqslant 0}\\{3(a+3)a\leqslant 0}\end{array}\right.\)，解得\(\left\{\begin{array}{l}{-2\leqslant a\leqslant 1}\\{-3\leqslant a\leqslant 0}\end{array}\right.\)，则\(a\in [-2，0]\)。

【根据全(特)称命题的真假求参数范围】设 \(p\)：存在 \(x\in (1，\cfrac{5}{2})\)，使函数 \(g(x)\)\(=\)\(log_2(\)\(tx^2\)\(+\)\(2x\)\(-\)\(2)\) 有意义，若 \(\neg p\) 为假命题，则实数 \(t\) 的取值范围是__________.

分析：由题目可知，命题 \(p\) 为真命题，则

\(\exists x\in(1，\cfrac{5}{2})\)，使得\(f(x)=tx^2+2x-2> 0\)能成立，

分离参数可得，\(t>\cfrac{2-2x}{x^2}\) 对 \(x\in(1，\cfrac{5}{2})\) 能成立编者注：由能成立模型可知，接下来，需要求解函数 \(\cfrac{2-2x}{x^2}\)的最小值或最小值的极限，至此，问题转化为求函数的值域或最值问题，观察此函数的特征，我们可以考虑用导数法或换元为二次函数后求解最值；\(\quad\)，

求解最小值的思路一：

令\(h(x)=\cfrac{2-2x}{x^2}\)，\(x\in(1，\cfrac{5}{2})\)，需要求\(h(x)_{min}\)，

\(h'(x)=\cfrac{(2-2x)'\cdot x^2-(2-2x)\cdot 2x}{(x^2)^2}=\cfrac{2(x-2)}{x^3}\)

\(x\in (1，2)\)时，\(h'(x)<0\)，\(h(x)\)单调递减，

\(x\in (2，\cfrac{5}{2})\)时，\(h'(x)>0\)，\(h(x)\)单调递增，

故\(h(x)_{min}=h(2)=-\cfrac{1}{2}\)，故\(t>-\cfrac{1}{2}\)

即\(t\in (-\cfrac{1}{2}，+\infty)\)。

求解最小值的思路二：

令 \(\cfrac{1}{x}=t\)，由 \(x\in(1，\cfrac{5}{2})\)，得到 \(t\in(\cfrac{2}{5},1)\)，

则 \(h(x)=\cfrac{2-2x}{x^2}=2(\cfrac{1}{x^2}-\cfrac{1}{x})=2(t^2-t)=g(t)\)，

即 \(g(t)=2[(t-\cfrac{1}{2})^2-\cfrac{1}{4}]=2(t-\cfrac{1}{2})^2-\cfrac{1}{2}\)，

故当 \(t=\cfrac{1}{2}\in(\cfrac{2}{5},1)\) 时， \(g(t)_{\min}=-\cfrac{1}{2}=h(x)_{\min}\)，

故\(t>-\cfrac{1}{2}\)，即\(t\in (-\cfrac{1}{2}，+\infty)\)。

设函数\(f(x)=\begin{cases}2e^{x-1}，&x<2\\log_3\;(x^2-1)，&x\ge 2\end{cases}\)，则不等式\(f(x)>2\)的解集是______________.

分析：原不等式等价于以下两个不等式组\(\begin{cases}x<2\\2e^{x-1}>2\end{cases}\)或者\(\begin{cases}x\ge2\\log_3\;(x^2-1)>2\end{cases}\)，

分别解得\(1<x<2\)或\(x>\sqrt{10}\)，

故解集为\((1，2)\cup(\sqrt{10}，+\infty)\)。

若函数\(f(x)=log_a^\;(6-ax)\)在\([0，2]\)上为减函数，则实数\(a\)的取值范围是【】

$A.[3，+\infty)$ $B.(0，1)$ $C.(1，3]$ $D.(1，3)$

分析：令\(g(x)=6-ax\)，像这类题目既要考虑单调性，还要考虑定义域，学生常犯的错误就是只考虑单调性而不顾及定义域。

由题目可知必有\(a>0\)，故函数\(g(x)\)单调递减，考虑定义域时只要最小值\(g(2)>0\)即可，解得\(6-2a>0\)，即\(a<3\)，

再考虑外函数必须是增函数，故\(a>1\)，综上可知，解得\(1<a<3\)，故选\(D\)。

引申：原题目改为在\([0，2)\)上为减函数，则实数\(a\)的取值范围是\(a\in (1，3]\)。

已知函数\(f(x)=\cfrac{mx-1}{mx^2+4mx+3}\)的定义域为\(R\)，求\(m\)的取值范围；

分析：由题可知，分母函数\(y=mx^2+4mx+3\neq 0\)对任意\(x\in R\)都成立，分类讨论如下：

①当\(m=0\)时，\(y=3\neq 0\)对任意\(x\in R\)恒成立，故满足题意；

②当\(m\neq 0\)时，结合分母函数的图像可知当\(x=0\)时，分母为\(3\)，故不存在\(a<0\)且\(\Delta<0\)的情形；，必须满足\(\left\{\begin{array}{l}{m>0}\\{\Delta <0}\end{array}\right.\)，

即\(\left\{\begin{array}{l}{m>0}\\{\Delta=(4m)^2-4\times 3m<0}\end{array}\right.\)，解得\(0<m<\cfrac{3}{4}\)；

综上所述，\(m\)的取值范围为\([0，\cfrac{3}{4})\)；

【单调性&值域是\(R\)】【(2017\(\cdot\)山东烟台二中月考】若分段函数\(f(x)=\begin{cases}(1-a)x+2a，x<1\\lnx，x\ge 1\end{cases}\)的值域为\(R\)，则\(a\)的取值范围是_________。

分析：先做出分段函数的第二段，当做第一段时，会考虑斜率\(1-a\)，

当做射线\(y=(1-a)x+2a(x<1)\)的图像时，\(1-a\leq 0\)都不符合题意，只有\(1-a>0\)才有可能符合题意。

由于要求函数的值域为R，故要求分段函数的两段图像在\(y\)轴上的射影要占满\(y\)轴，

然后将其转化为文字语言，即左端函数的最大值必须大于或等于右端函数的最小值，

再转化为数学语言，即\((1-a)\cdot 1+2a\ge ln1\)，

即需要满足\(\begin{cases}1-a>0\\(1-a)\cdot 1+2a\ge ln1\end{cases}\)，

解得\(-1\leq a<1\)；即\(a\in[-1，1)\)。

说明：注意三种数学语言的顺利转化。

【2017年宝鸡市二检】【函数性质逐条给出】已知定义在\(R\)上的函数\(y=f(x)\)满足以下条件：

①对任意的\(x\in R\)，都有\(f(x+2)=f(x-2)\)；

②函数\(y=f(x+2)\)是偶函数；

③当\(x\in(0，2]\)时，\(f(x)=e^x-\cfrac{1}{x}\)，

若已知\(a=f(-5)\)，\(b=f(\cfrac{19}{2})\)，\(c=f(\cfrac{41}{4})\)，则\(a\)，\(b\)，\(c\)的大小关系是【 \(\quad\) 】

$A.b < a < c$ $B.c < a < b$ $C.c < b < a$ $D.a < b < c$

分析：本题目是函数各种性质综合应用的典型题目，如果你对函数的各种性质的给出方式很熟悉，

那么由①可知，函数满足\(f(x+4)=f(x)\)，其周期是\(4\)；

由②可知\(y=f(x)\)的对称轴是\(x=2\)，可以表达为\(f(x+4)=f(-x)\)，

那么在结合\(f(x+4)=f(x)\)，可知\(f(-x)=f(x)\)，则函数\(f(x)\)还是偶函数；

由③借助导数工具(或者增+增=增)可得，函数\(f(x)\)在区间\((0，2]\)上单调递增，

有了以上分析得到的函数的周期性、奇偶性、单调性，就可以轻松的解决题目中的大小比较了。

\(a=f(-5)\xlongequal{周期性}f(-1)\xlongequal{奇偶性}f(1)\)；

\(b=f(\cfrac{19}{2})\xlongequal{周期性}f(\cfrac{3}{2})=f(1.5)\)；

\(c=f(\cfrac{41}{4})\xlongequal{周期性}f(2+\cfrac{1}{4})\xlongequal{已知表达式}f(\cfrac{1}{4}-2)\xlongequal{偶函数}f(2-\cfrac{1}{4})=f(1.75)\)；

由\(f(x)\)在区间\((0，2]\)上\(\nearrow\)，\(1<1.5<1.75\)， \(\therefore f(1)<f(1.5)<f(1.75)\)，

即\(a<b<c\)，故选\(D\)。

已知\(a>0\)，函数\(f(x)\)满足\(f(x)=\begin{cases} (3-a)x-3 &x\leq 7 \\ a^{x-6} &x>7 \end{cases}\)，函数\(f(x)\)在\(R\)上单调递增，求\(a\)的取值范围。

分析：由题目可知，\(\begin{cases} &3-a>0 ① \\ &a>1 ②\\ &(3-a)7-3\leq a^{7-6}③\end{cases}\)；即\(\begin{cases}&a<3 \\ &a>1 \\ &a\ge \cfrac{9}{4}\end{cases}\)

解得：\(a\in[\cfrac{9}{4}，3)\)；

反思：1、本题目常犯的错误是缺少第三条的限制；学生常认为函数在两段上分别单调递增，则在整体定义域\(R\)上一定单调递增，这个认知是错误的。原因是前者是后者的必要不充分条件。

2、防错秘籍：既要保证每段上的单调性，还要保证转折点处的单调性。

已知\(a>0\)，数列\(\{a_n\}\)满足\(a_n = \begin{cases} &(3-a)n-3 &n\leq 7 \\ &a^{n-6} &n>7 \end{cases}\)，数列\(\{a_n\}\)是单调递增数列，求\(a\)的取值范围。

考点：数列的单调性，分段函数，数列与分段函数的交汇

分析：由题目可知，\(\begin{cases} 3-a>0，\\ a>1，\\ (3-a)7-3<a^{8-6}，\end{cases}\)，解得：\(a\in(2，3)\)

感悟反思：1、本题目和上例非常类似，但是又不一样，原因是数列是特殊的函数，所以在③中不等式的两端的自变量的取值不一样，而且不能取等号。

2、如果是一般的函数\(f(x)\)，则比较点\(A\)和点\(C\)的函数值的大小关系；现在是分段数列，那么我们需要比较的是点\(A\)和点\(B\)的函数值的大小关系；

【2017届理科数学试题】已知定义在\(R\)上的偶函数满足：\(f(x+4)=f(x)+f(2)\)，且当\(x\in [0,2]\)时，\(y=f(x)\)单调递减，给出以下四个命题：

①\(f(2)=0\)；

②\(x=-4\)为函数\(y=f(x)\)图像的一条对称轴；

③函数\(y=f(x)\)在区间\([8,10]\)上单调递增；

④若方程\(f(x)=m\)在区间\([-6,-2]\)上的两根为\(x_1\)，\(x_2\)，则\(x_1+x_2=-8\)；

以上命题中所有正确命题的序号为______________。

分析：由于函数\(f(x)\)为偶函数，且\(f(x+4)=f(x)+f(2)\)，

令\(x=-2\)，则\(f(-2+4)=f(2)=f(-2)+f(2)\)，则\(f(-2)=0\)，即\(f(2)=0\)，故①正确，

这样由\(f(x+4)=f(x)+f(2)\)，得到\(f(x+4)=f(x)\)，即周期\(T=4\)，

结合\(x\in [0,2]\)时，\(y=f(x)\)单调递减，我们可以做出适合题意的下图，

由图就能很容易得到②正确，而③错误，由②能很容易得到④也是正确的。

综上所述，正确的代号有①②④。

另解：用数的方法推导，如函数为偶函数，则\(f(-x)=f(x)\)，又\(f(x-8)=f(x)\)，

则得到\(f(-x)=f(x-8)\)，则得到其对称轴为\(x=-4\)，其实我们还可以得到更多的对称轴。

又由于\(x\in [0,2]\)时，\(y=f(x)\)单调递减，则\(x\in [8,10]\)时，\(y=f(x)\)单调递减，故③错误；

又由于函数在\([-6，-2]\)上是关于\(x=-4\)对称的，故方程\(f(x)=m\)在区间\([-6,-2]\)上的两根为\(x_1\)，\(x_2\)也是关于\(x=-4\)对称，

故\(\cfrac{x_1+x_2}{2}=-4\)，故\(x_1+x_2=-8\)，故④正确。

综上所述，正确的代号有①②④。

已知\(f(x)\)的定义域为\(R\)，且\(f(x) =\begin{cases}2^{-x}-1， &x\leq 0 \\f(x-1) ，&x>0 \end{cases}\)，若方程\(f(x)=x+a\)有两个不同实根，求\(a\)的取值范围\((-\infty，1)\)。

【法1】：基础作图法，利用给定的关系式得到函数在每一段上的解析式，然后分段作图。由\(f(x)=f(x-1)\)可知\(T=1\)；

当\(0<x\leqslant 1\)时，\(x-1\leqslant 0\)，故\(f(x)=f(x-1)=2^{-(x-1)}-1=2^{1-x}-1\)；

当\(1<x\leqslant 2\)时，\(x-2\leqslant 0\)，故\(f(x)=f(x-2)=2^{-(x-2)}-1=2^{2-x}-1\)；

当\(2<x\leqslant 3\)时，\(x-3\leqslant 0\)，故\(f(x)=f(x-2)=2^{-(x-3)}-1=2^{3-x}-1\)；

\(\cdots\)，\(\cdots\)，\(\cdots\)，

依此类推，得到如下的解析式：

\[f(x) =\left\{\begin{array}{l}{2^{-x}-1，x\leqslant 0}\\{2^{1-x}-1，0< x \leqslant 1} \\{2^{2-x}-1，1< x\leqslant 2}\\{ 2^{3-x}-1，2< x\leqslant 3} \\ {2^{4-x}-1，3< x\leqslant 4}\\{\cdots，\cdots,}\end{array}\right. \]

依托上述解析式，我们就能容易做出静态函数\(y=f(x)\)和动态函数\(y=x+a\)的图像于同一个坐标系，

利用图像，就能轻松看出参数\(a\)的取值范围为\(a\in (-\infty，1)\)。

【法2】：快速作图法，解读给定的分段函数的解析式，第一段其实是作图的基础，难点是如何利用第二段来作图，

由于\(f(x)=f(x-1)(x>0)\)，说明函数在\((0，+\infty)\)上部分图像向右有周期性\(T=1\)，

又由于\(f(x-1)\)的图像是把\(f(x)\)的图像向右平移一个单位得到，故将第一段向右平移一个单位，然后截取图像的\((0,1]\)区间上的部分即可。

这样，在区间\((1,2]\)段上的图像，就是将\((0,1]\)段上的图像向右平移一个单位即可，

在区间\((2,3]\)段上的图像，就是将\((1,2]\)段上的图像向右平移一个单位即可，以此类推，

得到区间\((0，+\infty)\)上的所有图像，然后在同一个坐标系中再做出动态函数\(y=x+a\)的图像，

利用图像，就能轻松看出参数\(a\)的取值范围为\(a\in (-\infty，1)\)。

解后反思：函数与方程的相互等价转化，数形结合思想； 特殊分段函数的图像做法； 分段函数中只包含周期性的图像做法；

已知函数\(f(x)\)的定义域为\(|x|\leq 1\)的补集，且在定义域上恒有\(f(-x)-f(x)=0\)，若\(f(x)\)在\((1，+\infty)\)上恒有\(f'(x)>0\)成立，\(f(x)-f(2x-1)<0\)，求实数\(x\)的取值范围。

分析：函数的定义域为\(|x|>1\)，为偶函数，且在\((1，+\infty)\)上单调递增，

故由\(f(x)-f(2x-1)<0\)，等价转化为\(f(|x|)<f(|2x-1|)\)，

接下来由定义域和单调性二者限制得到，

\(\left\{\begin{array}{l}{|x|>1}\\{|2x-1|>1}\\{|x|<|2x-1|}\end{array}\right.\) 上式等价于\(\left\{\begin{array}{l}{|x|>1①}\\{|x|<|2x-1|②}\end{array}\right.\)

解①得到，\(x<-1\)或\(x>1\)；

解②，两边同时平方，去掉绝对值符号，得到\(x<\cfrac{1}{3}\)或\(x>1\)；

二者求交集得到，\(x<-1\)或\(x>1\)，

即实数\(x\)的取值范围是\((-\infty，-1)\cup(1，+\infty)\)。

【2017\(\cdot\)榆林模拟】函数\(f(x)=ln\cfrac{1+x}{1-x}+sinx\)，则不等式\(f(a-2)+f(a^2-4)<0\)的解集是【】

$A.(\sqrt{3}，2)$ $B.(-3，2)$ $C.(1，2)$ $D.(\sqrt{3}，\sqrt{5})$

分析：这类题目往往需要取得符号\(f\)，而在此之前，需要转化为\(f(M)<( 或>)f(N)\)的形式，

然后利用定义域和单调性去掉对应法则符号，就转化为了一般的不等式组了。

解析：先求定义域，令\(\cfrac{1+x}{1-x}>0\)，解得定义域\((-1，1)\)；

再求奇偶性，\(f(-x)=ln\cfrac{1-x}{1+x}-sinx\)，\(f(x)=ln\cfrac{1+x}{1-x}+sinx\)，所以\(f(-x)+f(x)=0\)，故函数为奇函数；

最后分析单调性，

法一，基本函数法，令\(g(x)=ln\cfrac{1+x}{1-x}=ln(-1-\cfrac{2}{x-1})\)，由于\(u=-1-\cfrac{2}{x-1}\)为增函数，

所以函数\(g(x)\)为增函数，故函数\(f(x)=g(x)+sinx\)为\((-1，1)\)上的增函数，

法二，导数法，\(f'(x)=\cfrac{2}{1-x^2}+cosx>0\)，故函数\(f(x)\)为\((-1，1)\)上的增函数，到此需要的性质基本备齐了，

由\(f(a-2)+f(a^2-4)<0\)，变换得到\(f(a-2)<-f(a^2-4)=f(4-a^2)\)，

由定义域和单调性得到以下不等式组：

\(\begin{cases}-1<a-2<1\\ -1<a^2-4<1 \\a-2<4-a^2 \end{cases}\)，解得\(\sqrt{3}<a<2\)，故选\(A\)。