指数运算

前言

运算法则

• 实数指数幂的运算性质如下：此时(a>0)，(b>0)，(m，nin R)

公式：(a^mcdot a^n=a^{m+n})；((a^m)^n=(a^n)^m=a^{mn})；((acdot b)^n=a^ncdot b^n)；((cfrac{a}{b})^n=cfrac{a^n}{b^n}=a^ncdot b^{-n})；

• 指数幂运算化简的一般原则

(1).有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．

(2).先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．

(3).底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．

(4).若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．

(5).涉及化简问题，常将数字运算和字母运算分开进行。

典例剖析

计算 (0.027^{-frac{1}{3}}-(-cfrac{1}{7})^{-2}+(2cfrac{7}{9})^{frac{1}{2}}-(sqrt{2}-1)^0)

解析：原式=([(0.3)^3]^{-frac{1}{3}}-[(cfrac{1}{7})^{2}]^{-1}+[(cfrac{5}{3})^2]^{frac{1}{2}}-1)

(=cfrac{10}{3}-49+cfrac{5}{3}-1=-45)

化简 (cfrac{sqrt{sqrt[3]{ab^{2} a^{3} b^{2}}}}{sqrt[3]{b}left(a^{frac{1}{6}} b^{frac{1}{2}} ight)^{4}}) ((a， b)为正数)的结果是__________.

解：原式=(cfrac{left(left(a b^{2} ight)^{frac{1}{3}} cdot a^{3} cdot b^{2} ight)^{frac{1}{2}}}{b^{frac{1}{3}} cdot a^{frac{2}{3}} cdot b^{2}}=a^{frac{1}{6}+frac{3}{2}-frac{2}{3}} b^{frac{1}{3}+1-frac{1}{3}-2}=cfrac{a}{b})

计算 (1.5^{-frac{1}{3}} imesleft(-frac{7}{6} ight)^{0}+8^{frac{1}{4}} imes sqrt[4]{2}+(sqrt[3]{2} imes sqrt{3})^{6}-sqrt{left(-frac{2}{3} ight)^{frac{2}{3}}})

解析：原式=(left(cfrac{3}{2} ight)^{-frac{1}{3}}+2^{frac{3}{4}} imes 2^{frac{1}{4}}+2^{2} imes 3^{3}-left(cfrac{2}{3} ight)^{frac{1}{3}}=left(cfrac{2}{3} ight)^{frac{1}{3}}+2+4 imes 27-left(cfrac{2}{3} ight)^{frac{1}{3}}=110) .

计算 ((0.25)^{frac{1}{2}}-left[-2 imesleft(frac{3}{7} ight)^{0} ight]^{2} imesleft[(-2)^{3} ight]^{frac{4}{3}}+(sqrt{2}-1)^{-1}-2^{frac{1}{2}})

解析：原式=(cfrac{1}{2}-4 imes 16+sqrt{2}+1-sqrt{2}=cfrac{1}{2}-64+1=cfrac{1}{2}-63=-cfrac{125}{2})

计算 ((sqrt[3]{2} imes sqrt{3})^{6}+(-2018)^{0}-4 imesleft(cfrac{16}{49} ight)^{-frac{1}{2}}+sqrt[4]{(3-pi)^{4}})

解析：原式=(108+1-7+pi-3=99+pi)

计算 (cfrac{a^{frac{3}{2}}-1}{a+a^{frac{1}{2}}+1}-cfrac{a+a^{frac{1}{2}}}{a^{frac{1}{2}}+1}+cfrac{a-1}{a^{frac{1}{2}}-1})

解析：原式=(cfrac{left(a^{frac{1}{2}}-1 ight) cdotleft(a+a^{frac{1}{2}}+1 ight)}{a+a^{frac{1}{2}}+1}-cfrac{a^{frac{3}{2}}-a+a-a^{frac{1}{2}}-a^{frac{3}{2}}+a^{frac{1}{2}}-a+1}{a-1})

(=a^{frac{1}{2}}-1-cfrac{1-a}{a-1}=a^{frac{1}{2}})

化简 (frac{left(a^{frac{2}{3}} b^{-1} ight)^{-frac{1}{2}} cdot a^{-frac{1}{2}} cdot b^{frac{1}{3}}}{sqrt[6]{a cdot b^{5}}}) ((a>0,b>0))

解析：原式= (cfrac{a^{-frac{1}{3}}b^{frac{1}{2}}a^{-frac{1}{2}}b^{frac{1}{3}}}{a^{frac{1}{6}}b^{frac{5}{6}}})

(=a^{-frac{1}{3}-frac{1}{2}-frac{1}{6}}cdot b^{frac{1}{2}+frac{1}{3}-frac{5}{6}}==a^{-1}b^0=cfrac{1}{a}) ；

若 (x+x^{-1}=3)， 求值：(cfrac{x^{frac{3}{2}}+x^{-frac{3}{2}}-3}{x^{2}+x^{-2}-6})

解析：若 (x+x^{-1}=3)， 则 (left(x+x^{-1} ight)^{2}=9)， 即 (x^{2}+x^{-2}=7)

(left(x^{frac{1}{2}}+x^{-frac{1}{2}} ight)^{2}=x+2+x^{-1}=5)，

且因为 (x+x^{-1}=3>0)， 所以 (x>0)， (x^{frac{1}{2}}+x^{-frac{1}{2}}=sqrt{5})

(x^{frac{3}{2}}+x^{-frac{3}{2}}=left(x^{frac{1}{2}}+x^{-frac{1}{2}} ight)left(x+x^{-1}-1 ight)=2sqrt{5})

所以 (cfrac{x^{frac{3}{2}}+x^{-frac{3}{2}}-3}{x^{2}+x^{-2}-6}=cfrac{2sqrt{5}-3}{7-6}=2 sqrt{5}-3)

已知 (10^{m}=2)，(10^{n}=4)， 则 (10^{frac{3 m-n}{2}}) 的值为【(qquad)】

$A.2$ $B.sqrt{2}$ $C.sqrt{10}$ $D.2sqrt{2}$

解析： (10^{frac{3m-n}{2}})(=)(cfrac{10^{frac{3 m}{2}}}{10^{frac{n}{2}}})(=)(cfrac{left(10^{m} ight)^{frac{3}{2}}}{left(10^{n} ight)^{frac{1}{2}}})

(=)(cfrac{2^{frac{3}{2}}}{4^{frac{1}{2}}}=2^{frac{3}{2}-1}=2^{frac{1}{2}}=sqrt{2}). 故选(B).

化简 (cfrac{sqrt{a^{2}b^{2}sqrt[3]{ab^{2}}}}{left(a^{frac{1}{4}}b^{frac{1}{2}} ight)^{4}cdotsqrt[3]{frac{b}{a}}}) ((a, b>0));

解：由分数指数幂的运算法则可得，

原式 (=left(a^{2} b^{2} ight)^{frac{1}{2}}left[left(a b^{2} ight)^{frac{1}{3}} ight]^{frac{1}{2}}divleft(a b^{2}b^{frac{1}{3}}a^{-frac{1}{3}} ight))

(=a^{frac{7}{6}} b^{frac{4}{3}})(div)((a^{frac{2}{3}}b^{frac{7}{3}}))(=a^{frac{7}{6}-frac{2}{3}}b^{frac{4}{3}-frac{7}{3}})

(=a^{frac{1}{2}}b^{-1}=cfrac{sqrt{a}}{b})

已知(a^{frac{1}{2}}-a^{-frac{1}{2}}=m)，求值：(cfrac{a^2+1}{a})

解：由于(cfrac{a^2+1}{a}=a+a^{-1})，

故给已知式子平方，得到 ((a^{frac{1}{2}}-a^{-frac{1}{2}})^2=m^2)，

整理得到，(a+a^{-1}=m^2+2)，故 (cfrac{a^2+1}{a}=m^2+2)

若 (3^a=4^b=6^c)，求证：(cfrac{2}{c}=cfrac{2}{a}+cfrac{1}{b})；

证明：令 (3^a=4^b=6^c=k)，则 (a=log_3k)， (b=log_4k)， (c=log_6k)，

故可以得到 (cfrac{1}{a}=log_k3) ， (cfrac{1}{b}=log_k4) ， (cfrac{1}{c}=log_k6) ，

则 (cfrac{2}{c}=2log_k6=log_k{36}) ，又 (cfrac{2}{a}+cfrac{1}{b}=2log_k3+log_k4=log_k{36}) ，

故(cfrac{2}{c}=cfrac{2}{a}+cfrac{1}{b})，证毕。

已知 (x>0)，(y>0)，且满足 (x-sqrt{xy}-2y=0) ，求值：(cfrac{2x-sqrt{xy}}{y+sqrt{xy}})

解：由于给定的方程为二元方程，故想到将其想办法变为一元方程，

两边同除以 (y) ，得到 (cfrac{x}{y}-sqrt{cfrac{x}{y}}-2=0)，

令 (sqrt{cfrac{x}{y}}=t) ，则方程为(t^2-t-2=0)，得到(t=2)，或 (t=-1)(舍去)

故(sqrt{cfrac{x}{y}}=2)， (cfrac{x}{y}=4) ，

将分式的分子分母同除以(y)，得到

(cfrac{2x-sqrt{xy}}{y+sqrt{xy}}=cfrac{2 imesfrac{x}{y}-sqrt{frac{x}{y}}}{1+sqrt{frac{x}{y}}})

(=cfrac{2 imes4-2}{1+2 imes2}=cfrac{6}{5})

已知 (a^{2m+n}=2^{-2}) ，(a^{m-n}=2^8)，求值：(a^{4m+n})

解析：先考虑将 (4m+n) 用 (2m+n) 和 (m-n)线性表示；

设(p(2m+n)+q(m-n)=4m+n)，即(m(2p+q)+(p-q)n=4m+n)，

解得(p=cfrac{5}{3})，(q=cfrac{2}{3})，

故 ((a^{2m+n})^{frac{5}{3}}=(2^{-2})^{frac{5}{3}})

即 (a^{frac{10m}{3}+frac{5n}{3}}=2^{-frac{10}{3}}) ①；

((a^{m-n})^{frac{2}{3}}=(2^{8})^{frac{2}{3}})

即 (a^{frac{2m}{3}-frac{2n}{3}}=2^{frac{16}{3}}) ②；

①( imes)②，得到 (a^{4m+n}=2^2=4)