前言
高中数学中的函数章节，是许多学生害怕的内容，提到函数的性质，有些学生甚至都不清楚函数的性质都包含什么，更不用说各种性质的不同给出方式了。下例解释函数的性质如何替换后得到不同的题目，却用相同的方法解答。
案例剖析
已知函数(f(x))在((-infty，+infty))上单调递减，且对任意实数(m)，(n)都满足(f(m))(+)(f(n-m))(=)(f(n))，若(f(1))(=)(-1)，则满足(-1)(leq)(f(x-1))(leq)(1)的(x)的【(qquad)】取值范围是
$A.[-2，2]$ $B.[-1，1]$ $C.[0，2]$ $D.[1，3]$
分析：本题目的难点之一是用赋值法确定函数的奇偶性，
令(m=n=0)，得到(f(0)+f(0-0)=f(0))，则(f(0)=0)，
再令(n=0)，得到(f(m)+f(-m)=f(0)=0)，即(f(-m)=-f(m))，
即函数(f(x))为奇函数，故由(f(1)=-1)，得到(f(-1)=1)，
这样原不等式(-1leq f(x-1)leq 1)可变形为(f(1)leq f(x-1)leq f(-1))，
又由于函数(f(x))在((-infty，+infty))上单调递减，
则去掉对应法则的符号得到，(-1leq x-1leq 1)，
解得(0leq xleq 2)，故选(C)。
【延申分析】：由于 “函数(f(x))在((-infty，+infty))上单调递减”，刻画的是函数的单调性，故我们可以用以下的任意一种刻画形式来代替，都是等效的，这样就得到如下题目：
已知函数(f(x))在((-infty，+infty))上满足((x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]<0(x_1
eq x_2))以下的这些表达形式是等效的，用其中的任何一种都可以表达单调性：①(cfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2})(<)(0)((x_1)(
eq)(x_2))；②(f'(x))(<)(0)恒成立；③((x^2+1))(cdot)(f'(x)<0)，且对任意实数(m)，(n)都满足(f(m))(+)(f(n-m))(=)(f(n))，若(f(1))(=)(-1)，则满足(-1)(leq)(f(x-1))(leq)(1)的(x)的取值范围是【(qquad)】
$A.[-2，2]$ $B.[-1，1]$ $C.[0，2]$ $D.[1，3]$
解析：本题目的解法基本和上述的解法一致，故略。
进一步分析，“对任意实数(m)，(n)都满足(f(m))(+)(f(n-m))(=)(f(n))，”是用赋值法刻画的是函数的奇偶性，
如果我们用其等效的给出方式来替换，就得到了下面的题目：
已知函数(f(x))在((-infty，+infty))上满足((x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]<0(x_1
eq x_2))以下的这些表达形式是等效的，用其中的任何一种都可以表达单调性：①(cfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2})(<)(0)((x_1)(
eq)(x_2))；②(f'(x))(<)(0)恒成立；③((x^2+1))(cdot)(f'(x)<0)，且对任意实数(m)，(n)都满足(f(m))(+)(f(n-m))(=)(f(n))以下的这些表达形式是等效的，用其中的任何一种都可以表达奇偶性：①函数(f(x))图像关于原点对称；②函数满足(f(x))(=)(-)(f(-x))；③函数满足(f(-x))(+)(f(x))(=)(0)；④函数满足(cfrac{f(-x)}{f(x)})(=)(-1)((f(x)
eq0))；⑤函数(f(x+1))关于点((-1,0))对称；，若(f(1))(=)(-1)，则满足(-1)(leq)(f(x-1))(leq)(1)的(x)的取值范围是 【(qquad)】
$A.[-2，2]$ $B.[-1，1]$ $C.[0，2]$ $D.[1，3]$
解析：本题目的解法基本和上述的解法一致，故略。
由上例可以看到，单调性的刻画形式我们列举了五种，奇偶性的刻画我们列举了六种，这样如果组合就可以得到(30)个不同的题目，而这些题目的解答都是一样的，因此要想对一类题目研究透彻，我们必须研究总结函数的各种性质的给出方式。
延申阅读
单调性；奇偶性；
周期性；对称性；