前言
在高考数学备考过程中,我们少不了从学
和自学
这两种学习模式。其中跟随老师指导学习 [从学] 的模式,基本是线性学习形式,从低级到高级,从基础到综合,能很容易地理解和接受,但是学习周期有些长,极容易前学后忘;对于高中数学而言,自学的成本很高,自学的道路上到处都是拦路虎,但是如果推到了这一堆堆的 “墙” 以后,它们就都变成了 “桥” ,将我们学过的知识点互通串联在一起,触类旁通,印象深刻,效果非常好,所以绝大多数学生的高三数学备考都是二者结合,本博文针对这种结合模式下的习题自学的方法和思路作以探索。
习题展示
解析:令 (g(x)=e^xcdot f(x)),则 (g'(x)=e^x[f'(x)+f(x)]>0) ,故函数 (g(x)) 在 (R) 上单调递增,
则所求的抽象不等式 (e^{x+1})(cdot)(f(2x-1))(-)(f(x-2))(>0)具体解释:
(e^{x+1})(=)(cfrac{e^{2x-1}}{e^{x-2}}),
则(e^{x+1})(cdot)(f(2x-1))(-)(f(x-2))(>0)
(Leftrightarrow) (cfrac{e^{2x-1}}{e^{x-2}}f(2x-1))(-)(f(x-2))(>0)
(Leftrightarrow) (e^{2x-1})(cdot)(f(2x-1))(>)(e^{x-2})(cdot)(f(x-2))(quad) 可等价转化为
(e^{2x-1}cdot f(2x-1)>e^{x-2}cdot f(x-2)),即 (g(2x-1)>g(x-2)),
由于 (g(x)) 在 (R) 上单调递增,故有 (2x-1>x-2),
解得 (x>-1),故所求解集为 ((-1,+infty)).
案例分析
上述的题目一般都是高考数学中的压轴题层次,对学生的数学素养要求很高,对学生的数学思维能力要求很高,所以一般的学生都是望而却步,即使参照答案来分析题目的解析过程也是步步有坑,层层是墙,推进理解非常吃力和痛苦;
估计看过了解析过程,我们会产生以下的一些问题:
➊为什么“令 (g(x)=e^xcdot f(x))” 这样来构造函数,其他题目中我该如何构造函数?
➋题目为什么已知 “若对于任意实数 (xin R),都有 (f(x))(+)(f'(x))(>0)”,是干什么用的.
➌解题中为什么要将 “(e^{x+1})(cdot)(f(2x-1))(-)(f(x-2))(>0) ”变形为 “(e^{2x-1}cdot f(2x-1)>e^{x-2}cdot f(x-2)),”
➍如何得到的 “(g(2x-1)>g(x-2)),”,
➎为什么能“由于 (g(x)) 在 (R) 上单调递增,故有 (2x-1>x-2)”,是不是不论函数为奇函数还是偶函数,都是这样做的,等等,
为了更好的解答这些问题,我们不妨先用减法:
减法解题
若理解不了 令 (g(x)=e^xcdot f(x)) 和 (e^{x+1})(cdot)(f(2x-1))(-)(f(x-2))(>0) ,我们不妨将题目已知条件和结论简化[减去函数构造的综合要求和不等式的恒等变形]为:
如果还是不行,我们不妨将题目再简化[减去函数的单调性的难度]为:
如果还是不行,我们不妨将题目再简化[减去抽象函数的抽象性]为:
说明:题目简化到这种程度,已经精简到不能再精简了,其实这应该是上述所有题目的最精简的模型 . 依托具体函数 (g(x)=e^x) 的定义域和单调性,我们解析如下,
解析:由于函数 (g(x)) 是定义在 (R) 上的增函数,
故由 (g(2x-1)>g(x-2)) ,得到 (2x-1>x-2),即解得 (x>-1),故所求解集为 ((-1,+infty)).
那么该如何理解原本的那个题目呢?这次我们采用加法,详述如下:
加法解题
首先尝试在最精简模型的基础上,增加定义域的限制,题目变化为:
解析:由于 (g(x)=ln x) 的定义域为 ((0,+infty)),
故原不等式等价于 (left{egin{array}{l}2x-1>0\x-2>0\2x-1>x-2end{array} ight.) ,故解集为 ((2,+infty)).
其次,增加函数的抽象性,变换为抽象函数,题目变化为:
解析:由于函数 (g(x)) 是定义在 ([-2,2]) 上的增函数,
故原不等式等价于 (left{egin{array}{l}-2leqslant 2x-1leqslant 2\-2leqslant x-2leqslant 2\2x-1>x-2end{array} ight.) ,故解集为 ([0,cfrac{3}{2}]).
再次,增加函数的单调性的给出难度,题目变化为:
解析:由对任意不相等的(x_1,x_2in [-2,2]),都有(cfrac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}>0) ,刻画的是单调递增性,
可知函数 (g(x)) 是定义在 ([-2,2]) 上的增函数,
故原不等式等价于 (left{egin{array}{l}-2leqslant 2x-1leqslant 2\-2leqslant x-2leqslant 2\2x-1>x-2end{array} ight.) ,故解集为 ([0,cfrac{3}{2}]).
再次,增加函数的单调性的给出难度,利用奇偶性和单调性结合,题目变化为:
解析:由 (g(-x)+g(x)=0) ,可知函数是奇函数,在 ([0,2]) 上单调递增,又定义在 ([-2,2]) 上,
故其在 ([-2,2]) 上也是单调递增的,
故原不等式等价于 (left{egin{array}{l}-2leqslant 2x-1leqslant 2\-2leqslant x-2leqslant 2\2x-1>x-2end{array} ight.) ,故解集为 ([0,cfrac{3}{2}]).
再次,增加函数的单调性的给出难度,由符号法则和导数结合,题目变化为:
解析:本题目在定义域上没有增加难度,但在单调性上增加了难度,
由函数 (g(x)) 满足 (e^xcdot g'(x)>0),则 (g'(x)>0),故函数 (g(x)) 在 (R) 上单调递增,
故有 (2x-1>x-2),解得 (x>-1),故所求解集为 ((-1,+infty)).
在上述基础上,增加函数的单调性的给出难度,利用求导法则,题目变化为:
解析: (g'(x)=e^x[f'(x)+f(x)]>0) ,故函数 (g(x)) 在 (R) 上单调递增,
故有 (2x-1>x-2),解得 (x>-1),故所求解集为 ((-1,+infty)).
在上述基础上,增加函数的给出难度,利用主动构造函数的思维和求导法则结合,题目变化为:
解析: (g'(x)=e^x[f'(x)+f(x)]>0) ,故函数 (g(x)) 在 (R) 上单调递增,
而所求 (e^{2x-1})(cdot)(f(2x-1))(-)(e^{x-2}cdot f(x-2))(>0) 即 (g(2x-1)>g(x-2)) ,
故有 (2x-1>x-2),解得 (x>-1),故所求解集为 ((-1,+infty)).
在上述基础上,增加代求结论不等式的相关变形,题目变化为:
到此,我们用加法将题目的难度一步一步增加到了源题的难度,在此过程中,我们也能理解每一个条件的作用,也自然能回答上述存在的问题。
关联问题
尽管我们学生不能想这么多的难度层次,但在此过程中,我们至少应该意识到主动总结函数的各种性质的给出方式,体会其综合应用的过程。
1、函数的单调性给出方式;