反解法|逆向思维

前言

在初等数学中，我们一般都是正向思维，比如给定方程 (left{egin{array}{l}x+y=3\2x-y=0end{array} ight.) ，我们通过消元，可以求解得到方程的根(left{egin{array}{l}x=1\y=2end{array} ight.) ， 但有时候在线性代数中，却需要反其道而行之，将其他的数学量用 (x) 和 (y) 表示，其思维模式刚好和我们平时的思维模式相反，其使用的频度也比较高，故作以整理。

典例剖析

【北师大选修教材4-4 (P_{_{43}}) (B)组第1题】求动点 (A(sin heta+cos heta,sin heta-cos heta)) (( heta)为参数)的轨迹方程；

法1：由题目可知， (left{egin{array}{l}x=sin heta+cos hetaquad①\y=sin heta-cos hetaquad②end{array} ight.)

将两式平方再相加，得到 (x^2+y^2=2)。

法2：反解法，由(left{egin{array}{l}x=sin heta+cos hetaquad①\y=sin heta-cos hetaquad②end{array} ight.)

反解得到 (sin heta=cfrac{x+y}{2})，(cos heta=cfrac{x-y}{2})，

由 (sin^2 heta+cos^2 heta=1)，得到 ((cfrac{x+y}{2})^2+(cfrac{x-y}{2})^2=1).

整理得到， (x^2+y^2=2)。

【北师大选修教材4-4 (P_{_{54}})复习题二 (A)组第 (12) 题】两动直线 (3x+2y=6t) 与 (3tx-2ty=6) 相交于点 (P) ，若取 (t) 为参数，求 (P)点的轨迹方程.

分析：联立两直线方程得到，(left{egin{array}{l}3x+2y=6t\3x-2y=cfrac{6}{t}end{array} ight.)，

解以 (x)，(y) 为元的方程，得到 (left{egin{array}{l}x=t+cfrac{1}{t}\y=cfrac{3}{2}(t-cfrac{1}{t})end{array} ight.)，

即所求的点 (P) 的轨迹方程为 (left{egin{array}{l}x=t+cfrac{1}{t}\y=cfrac{3}{2}(t-cfrac{1}{t})end{array} ight.)，( (t) 为参数)

引申：如果此时还想知道点 (P) 的轨迹是什么曲线，可以考虑消去参数 (t)，比如，

由上可知， (left{egin{array}{l}x=t+cfrac{1}{t}①\cfrac{2}{3}y=t-cfrac{1}{t}②end{array} ight.)，

(①^2-②^2)，得到 (x^2-cfrac{4y^2}{9}=4)，整理为 (cfrac{x^2}{4}-cfrac{y^2}{9}=1)，

即所求的轨迹为双曲线。

【北师大选修教材补充】消参求曲线 (C：left{egin{array}{l}x=2cos heta+3sin heta,\y=2cos heta-3sin hetaend{array} ight.) (( heta) 为参数)的普通方程.

解析：将两式相加减，反解得到 (cos heta=cfrac{x+y}{4})， (sin heta=cfrac{x-y}{6})，

由 (sin^2 heta+cos^2 heta=1)，得到 ((cfrac{x+y}{4})^2+(cfrac{x-y}{6})^2=1). [椭圆]

求函数(y=cfrac{sinx-2}{2+sinx})的值域。

分析：以(sinx)为未知数，就像解方程一样，可以解得(sinx=cfrac{-2-2y}{y-1}=cfrac{2+2y}{1-y})，

由于(y=sinx)是有界函数，即(|sinx|leq 1)，故(|cfrac{2+2y}{1-y}| leq 1)，

从而解得函数的值域(-3leq yleq -cfrac{1}{3})。

解后反思：

① 当然本题目也可以用分离常数法+不等式性质法这样求解

分析(y=cfrac{sinx-2}{2+sinx}=cfrac{sinx+2-4}{2+sinx}=1-cfrac{4}{sinx+2})，

由于(-1leq sinx leq 1)，则有(1leq sinx+2leq 3)，则(cfrac{1}{3}leq cfrac{1}{sinx+2}leq 1)，

故(-4leq -cfrac{4}{sinx+2}leq -cfrac{4}{3})，则(1-4leq 1 -cfrac{4}{sinx+2}leq 1-cfrac{4}{3})，

即值域为(-3leq yleq -cfrac{1}{3})。

② 函数(y=cfrac{cosx-2}{2+cosx})的值域也可以这样求解，

③ 函数(y=cfrac{cosx-2}{2+sinx})的值域也可以这样求解，不过此时还要用到辅助角公式，

变形提示：(ysinx-cosx=-2y-2)，即(sqrt{y^2+1}sin(x- heta)=-2y-2)，

则(sin(x- heta)=cfrac{-2y-2}{sqrt{y^2+1}})，再由(|cfrac{-2y-2}{sqrt{y^2+1}}|leq 1)，

④ 反解法常和有界性法联合使用，我们常用的是具备有界性的函数，

具备有界性的函数，如(|sin x|leqslant 1)， (e^x>0)， (x^2geqslant 0)，(|x|geqslant0)；

比如(y=e^x)，函数(y=cfrac{e^x-2}{2+e^x})的值域也可以这样求解，

已知实数(a、b)满足条件(left{egin{array}{l}{a+b-2ge 0}\{b-a-1leq 0}\{aleq 1}end{array} ight.)，求(cfrac{a+2b}{2a+b})的取值范围。

【法1】，转化为斜率型，思路如下：由于所求值函数为分式形式的关于(a、b)的一次齐次式，

故可以转化为(cfrac{a+2b}{2a+b}=cfrac{1+2cdot cfrac{b}{a}}{2+cfrac{b}{a}})，

(=2-cfrac{3}{2+k}=f(k))，其中(k=cfrac{b}{a})

这样先由可行域求得(k=cfrac{b}{a}in [1，3])

函数(f(k))在区间([1，3])上单调递增，

然后用单调性，求得(cfrac{a+2b}{2a+b}in [1，cfrac{7}{5}])

【法2】，反解换元法，令(a+2b=n)，(2a+b=m)，

联立解以(a、b)为元的方程组，得到(a=cfrac{2m-n}{3})，(b=cfrac{2n-m}{3})，

代入原不等式组，可将原约束条件转化为关于(m) 、(n)的不等式组，

即已知(m) 、(n)满足条件(left{egin{array}{l}{m+n-6ge 0}\{n-m-1leq 0}\{2m-n-3leq 0}end{array} ight.)，求(cfrac{n}{m})的取值范围。

利用数形结合思想可得，(cfrac{a+2b}{2a+b}=cfrac{n}{m}in [1，cfrac{7}{5}])。图像

【2017 (cdot) 陕西西安质检】已知实数(x，y)满足(x>y>0)，且(x+y=cfrac{1}{2}) ，则(cfrac{2}{x+3y}+cfrac{1}{x-y})的最小值是_________.

分析：换元法，令 (x+3y=s>0)，(x-y=t>0)，

求解上述以 (x，y) 为元的方程组，得到 (x=cfrac{s+3t}{4})；(y=cfrac{s-t}{4})；

由(x+y=cfrac{1}{2})，将上述结果代入得到(s+t=1)，

故此时题目转化为"已知 (s+t=1) ，(s，t>0) ，求 (cfrac{2}{s}+cfrac{1}{t}) 的最小值”问题。

接下来，利用乘常数除常数的思路就可以求解。

简单提示如下：(cfrac{2}{s}+cfrac{1}{t}=(cfrac{2}{s}+cfrac{1}{t})(s+t)=3+)(cfrac{2t}{s}+cfrac{s}{t}ge 3+2sqrt{2})

(当且仅当 (cfrac{2t}{s}=cfrac{s}{t})，即 (s+t=1) 时取到等号)

已知函数(f(x)=ax^2+bx，1leq f(-1)leq 2，2leq f(1)leq 4)， 求(f(-2))的取值范围。

【法3】：方程组法

由已知有(egin{cases} f(-1)=a-b \ f(\,\,\,\,1)=a+b end{cases})，

解得(egin{cases} a=cfrac{1}{2}cdot [f(-1)+f(1)] \ b=cfrac{1}{2}cdot [f(1)- f(-1)] end{cases})

所以(f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1))，

又由于(1leq f(-1)leq 2)，(2leq f(1)leq 4)，

所以(3leq 3cdot f(-1)leq 6)，(2leq 1cdot f(1)leq 4)，

故(5leq 3cdot f(-1)+1cdot f(1)leq 10)，

即(5leq f(-2)=4a-2b leq 10)；

【2019 (cdot) 全国 I 卷第 22 题改编】在直角坐标系 (xOy) 中，曲线 (C) 的参数方程为(left{egin{array}{l}x=cfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}}, \ y=cfrac{4 t}{1+t^{2}}end{array} ight.) ( (t) 为参数).

(1).求 (C) 的直角坐标方程；

解： 令 (cfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}}=m)，则反解得到 (t^2=cfrac{1-m}{m+1}geqslant 0)，

即 (cfrac{m-1}{m+1}leqslant 0)， 解得(-1<mleqslant 1)，故 (-1<cfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}}leqslant 1)，

且 (x^{2}+(cfrac{y}{2})^{2}=(cfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}})^{2}+cfrac{4 t^{2}}{(1+t^{2})^{2}}=1)，

所以 (C) 的直角坐标方程为 (x^{2}+cfrac{y^{2}}{4}=1 (x eq-1))，

在 ( riangle ABC) 中， 内角 (A)， (B)， (C) 的对边分别是 (a)， (b)，(c) 若 (acos B-bcos A=cfrac{c}{2})，则表达式(cfrac{acos A+bcos B}{acos B}) 的最小值为____________.

解析: 在 ( riangle ABC) 中, (c=a cos B+b cos A)，[射影定理]

联立 (left{egin{array}{l}c=acos B+bcos A \ acos B-bcos A=cfrac{c}{2}end{array} ight.，) 解得(cos A=cfrac{c}{4b})，(cos B=cfrac{3c}{4a})，

所以 (cfrac{acos A+bcos B}{acos B}=cfrac{acdotcfrac{c}{4b}+bcdotcfrac{3c}{4a}}{acdotcfrac{3c}{4a}})

(=cfrac{1}{3}(cfrac{a}{b}+cfrac{3 b}{a})geqcfrac{1}{3} imes 2sqrt{cfrac{a}{b}cdotcfrac{3b}{a}})(=cfrac{2sqrt{3}}{3})

当且仅当 (cfrac{a}{b}=cfrac{3 b}{a}) 时，等号成立.

故(cfrac{acos A+bcos B}{acos B}) 的最小值为(=cfrac{2sqrt{3}}{3})；

【2021届高三文科数学二轮用题】 已知 (m=cfrac{ an(alpha+eta+gamma)}{ an(alpha-eta+gamma)})， 若 (sin2(alpha+gamma)=3sin2eta), 则 (m) 等于 【(quad)】

$A.cfrac{1}{2}$ $B.cfrac{3}{4}$ $C.cfrac{3}{2}$ $D.2$

解析： 设 (A=alpha+eta+gamma)①， (B=alpha-eta+gamma)②，

则由 ①+② 得到， (2(alpha+gamma)=A+B)， ①-② 得到，(2eta=A-B)，

因为 (sin2(alpha+gamma)=3sin2eta)，

所以 (sin(A+B)=3sin(A-B))

即 (sin Acos B+cos Asin B=3(sin Acos B-cos Asin B))，

即 (2cos Asin B=sin Acos B)，

所以 ( an A=2 an B)，

所以 (m=cfrac{ an(alpha+eta+gamma)}{ an(alpha-eta+gamma)}=cfrac{ an A}{ an B}=2)，故选 (D).

【博友提问】对于函数 (f(x)+f(y)=2f(cfrac{x+y}{2})f(cfrac{x-y}{2})) ，为什么要构造余弦函数？

解析：设 (left{egin{array}{l}frac{x+y}{2}=m\frac{x-y}{2}=nend{array} ight.) ，解得 (left{egin{array}{l}x=m+n\y=m-nend{array} ight.)

代入已知，得到 (f(m+n)+f(m-n)=2f(m)f(n))

比照公式，(cos(alpha+eta)+cos(alpha-eta)=2cosalphacoseta)，

故要构造 (f(x)=cos x).