数学抽象

前言

题目原貌

【选自2021届黄冈八模测试卷一第16题】纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸。现在我国采用国际标准，规定以 (A_0)、(A_1)、(A_2)、(B_1)、(B_2)、(cdots) 等标记来表示纸张的幅面规格。 复印纸幅面规格只采用 (A) 系列和 (B) 系列，其中系列的幅面规格为:

(1). (A_0),(A_1),(A_2),(cdots),(A_8)， 所有规格的纸张的幅宽(以 (x) 表示)和长度(以 (y) 表示 ) 的比例关系都为(x:y=1:sqrt{2})；

(2).将 (A_0) 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为 (A_1) 规格，(A_1) 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为 (A_2) 规格， (cdots)， 如此对开至 (A_8) 规格。

现有 (A_0)、(A_1)、(A_2)、(cdots)，(A_8) 纸各一张， 若 (A_4) 纸的宽度为(2 dm)， 则 (A_0) 纸的面积为 ____________ (dm^{2})； 这 (9) 张纸的面积之和等于 ____________ (dm^{2})；

初步解析

结合题目，我们做个示意图，大致得到如下信息，

① 每个规格的纸张的长度是宽度的 (sqrt{2}) 倍，

② (A_0) 能被等分为两个 (A_1)，同理，(A_1) 能被等分为两个 (A_2)，等等，

③ (A_0) 的宽度是 (A_1) 的长度，(A_1) 的宽度是 (A_2) 的长度，等等，

④ (A) 系列的纸张的长度能构成等比数列，(A) 系列的纸张的宽度能构成等比数列，

抽象概括

为便于表述，我们需要定义各个幅面规格，原本是 (A_0)、(A_1)、(A_2)、(cdots)，(A_8) 共 (9) 个，

需要将其高度抽象概括，糅合为一句话，可以引入动态下标，比如不妨定义为 (A_{i}) ((i=0，1，2，cdots，8))，

同时需要定义各个规格 (A_{i}) 的长度和宽度，由于每一种规格都有长度和宽度，故要注意对应性，

(A_{i}) ((i=0，1，2，cdots，8))的纸张的长度为(a_{i+1})[注意，一则数列中没有(a_0)，故使用(a_{i+1})；二则此处还暗含了函数关系，比如当你认可了(A_{i}) 纸张的长度为(a_{i+1})后，则(A_{i+1}) 纸张的长度为(a_{i+2})，(A_{i+2}) 纸张的长度为(a_{i+3})，等等如此，]，面积为(S_{i+1})[注意事项同于前边]，

接下来，要寻找其中的等量关系，以便于找到解题的突破口和题目的模型，

注意到，(A_{i+1}) 的长度和 (A_{i}) 的宽度相等，故相等关系有了，只要分别表达即可。

到此，我们基本能确定，应该依托等比数列的模型来求解即可；

整合解析

解析：可设幅面规格为 (A_{i}) ((i=0，1，2，cdots，8))的纸张的长度为(a_{i+1})，面积为(S_{i+1})，

(A_{i}) 的宽度为 (cfrac{sqrt{2}}{2}a_{i+1})， (A_{i+1}) 的长度和 (A_{i}) 的宽度相等，

(A_{i+1}) 的长度为 (a_{i+2}=cfrac{sqrt{2}}{2} a_{i+1})， 即(cfrac{a_{i+2}}{a_{i+1}}=cfrac{sqrt{2}}{2})，

故数列 ({a_n})是以 (cfrac{sqrt{2}}{2}) 为公比的等比数列，

由题意可知，(A_{4})纸的宽度为(cfrac{sqrt{2}}{2}a_{5}=2)， 故 (a_{5}=2sqrt{2})，

则(a_{1}=cfrac{a_{5}}{(cfrac{sqrt{2}}{2})^{4}}=cfrac{2 sqrt{2}}{cfrac{1}{4}}=8sqrt{2})，

(A_0) 纸的面积为 (S_{1}=) 长 ( imes) 宽 (=cfrac{sqrt{2}}{2}a_{1}^{2}=cfrac{sqrt{2}}{2} imes(8sqrt{2})^{2}=64sqrt{2}) ((dm^{2}))

又 (S_{1}=cfrac{sqrt{2}}{2}a_{1}^{2})，(S_{2}=cfrac{sqrt{2}}{2}a_{2}^{2})，(cdots)，则(S_{n}=cfrac{sqrt{2}}{2}a_{n}^{2})，

则(cfrac{S_{n+1}}{S_{n}}=cfrac{cfrac{sqrt{2}}{2}a_{n+1}^{2}}{cfrac{sqrt{2}}{2}a_{n}^{2}}=(cfrac{a_{n+1}}{a_n})^2=(cfrac{sqrt{2}}{2})^2=cfrac{1}{2})，

故数列 ({S_n}) 是以 (64sqrt{2}) 为首项，以(cfrac{1}{2})为公比的等比数列，

因此，这 (9) 张纸的面积之和为(sumlimits_{i=1}^9S_{i})(=cfrac{64sqrt{2} imes(1-cfrac{1}{2^{9}})}{1-cfrac{1}{2}}=cfrac{511sqrt{2}}{4}) ((dm^{2}))