勾股定理相关及引申

前言

勾股定理：(3^2+4^2=5^2)，

中高阶：(3^n+4^n[<? =? >?]5^n)，(ngeqslant 3)

典例剖析

【2021届宝鸡市一检文科数学第12题】 直线 (y=ax+c) 与曲线 (y=e^{x}) 相切于点 ((x_{0}, e^{x_{0}})) ，且 (x_{0}in[0,1])，设 (b=log _{5}(3^{a}+4^{a}))， 则 (a) 与 (b) 的大小关系是 【(quad)】

$A.a=b$ $B.a > b$ $C.a < b$ $D.以上均有可能$

解析：由直线 (y=ax+c) 与曲线 (y=e^{x}) 相切于点 ((x_{0}, e^{x_{0}}))可知 ，则切线斜率为 (k=a) 且 (k=e^{x_0})，

则(a=e^{x_0})，又由于(x_{0}in[0,1])，故(ain [1,e])，问题转换为：

当 (ain [1,e]) 时，比较 (b=log _{5}(3^{a}+4^{a})) 与 (a)的大小关系；

注意到 (b) 为对数式，故想到将 (a) 对数化为 (a=log_55^a)，

比较(b=log _{5}(3^{a}+4^{a})) 与 (a=log_55^a) 的大小，这样只需要比较 (3^a+4^a) 与 (5^a) 的大小关系，

注意到，(3^2+4^2=5^2)，我们想到需要针对 (a) 分类讨论，可以使用验证法；

当(a=1)时，(3^1+4^1>5^1)，故(b>a)；

当(a=2)时，(3^2+4^2=5^2)，故(b=a)；

当(a=cfrac{5}{2})时，(3^{frac{5}{2}}+4^{frac{5}{2}}approx48.2)，(5^{frac{5}{2}}=25sqrt{5}approx57.5)，故(b<a)；

故选(D)；

补充：①(7leqslant 3^a+4^aleqslant 3^e+4^e)，(5leqslant 5^aleqslant 5^e)；

②(cfrac{3^a+4^a}{5^a}=(cfrac{3}{5})^a+(cfrac{4}{5})^a)； (cos heta)，(sin heta)；

③证明，若(ngeqslant 3，nin N^*)，则(3^n+4^n<5^n)；

证明：由于(ngeqslant 3，nin N^*)，

故((cfrac{3}{5})^n<(cfrac{3}{5})^2)，((cfrac{4}{5})^n<(cfrac{4}{5})^2)，

((cfrac{3}{5})^n+(cfrac{4}{5})^n<(cfrac{3}{5})^2+(cfrac{4}{5})^2=1)，

故(3^n+4^n<5^n)；

【2020(cdot)河北正定模拟】已知 (a)、 (b)、 (c) 是 ( riangle ABC) 的内角 (A)、 (B)、 (C) 对应的三边，若满足 (a^{2}+b^{2}=c^{2})， 即 ((cfrac{a}{c})^{2}+(cfrac{b}{c})^{2}=1)， 则 ( riangle ABC) 为直角三角形， 类比此结论可知，若满足 (a^{n}+b^{n}=c^{n}) ((nin N^*, ngeqslant3))， 则 ( riangle ABC) 的形状为 【(quad)】

$A.$锐角三角形

$B.$直角三角形

$C.$钝角三角形

$D.$以上都有可能

解析 : 由题意知角 (C) 最大， (a^{n}+b^{n}=c^{n}) ((n in N^*， ngeqslant3))，

即 ((cfrac{a}{c})^{n}+(cfrac{b}{c})^{n}=1) ((n in N^*， ngeqslant3))，

又 (c>a)， (c>b)，故 (0<cfrac{a}{c}<1)， (0<cfrac{b}{c}<1)，

则有 ((cfrac{a}{c})^2>(cfrac{a}{c})^3>(cfrac{a}{c})^4>(cfrac{a}{c})^5>cdots)， ((cfrac{b}{c})^2>(cfrac{b}{c})^3>(cfrac{b}{c})^4>(cfrac{b}{c})^5>cdots)，

所以 ((cfrac{a}{c})^{2}+(cfrac{b}{c})^{2}>(cfrac{a}{c})^{n}+(cfrac{b}{c})^{n}=1)，

即 (a^{2}+b^{2}>c^{2})， 所以 (cos C=cfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab})(>0)，

所以 (0<C<cfrac{pi}{2})， 故 ( riangle ABC) 为锐角三角形.

【2021届宝鸡市一检理科数学第12题】 设 (1<a<2)， (m=log _{4}(2^{a}+3^{a}))， (n=log _{5}(3^{m}+4^{m}))， 则 【(quad)】

$A.n=2$ $B.n >2$ $C.n <2$ $D.以上均有可能$

法1： 不等式性质法，因为 (1<a<2)， 所以 (5<2^{a}+3^{a}<13)，

所以 (1<log_{4}5<m<log_{4}13<2)，

所以 (1<m<2)， 所以 (7<3^{m}+4^{m}<25)，

所以 (1<log _{5}7<n<log _{5}25=2)

所以 (n<2)， 故选 (C) .

法2：估值计算法，

令(a=cfrac{3}{2})，(2^{frac{3}{2}}+3^{frac{3}{2}}=2sqrt{2}+3sqrt{2}=5sqrt{2}=sqrt{50}=7)

(m=log_47approx log_48=cfrac{3}{2}log_22=cfrac{3}{2})；

当(m=cfrac{3}{2})时，(3^{frac{3}{2}}+4^{frac{3}{2}}approx 13.2)，

(n=log _{5}(3^{m}+4^{m})=log_513.2<log_5 25=2)，故(n<2)，故选 (C) ；