函数的对称性判断

前言

判断依据

一般函数[包括三角函数]都适合的判断依据，此方法具有普适性；

• 函数(f(x))关于直线(x=a)对称(Leftrightarrow) (f(x+2a)=f(-x))其等价情形为(f(-x+2a))(=)(f(x))或(f(-x+a))(=)(f(x+a))或(f(x+2a))(-)(f(-x))(=0)(quad).

• 函数(f(x))关于点((a,b))对称(Leftrightarrow) (f(x+2a))(+)(f(-x))(=2b)其等价情形为(f(-x+2a))(+)(f(x))(=2b)或(f(-x+a))(+)(f(x+a))(=2b)(quad).

【2017全国卷1文科第9题高考真题】已知函数(f(x)=lnx+ln(2-x))，则【】

$A.$在$(0，2)$上单调递增

$B.$在$(0，2)$上单调递减

$C.y=f(x)$的图像关于直线$x=1$对称

$D.y=f(x)$的图像关于点$(1，0)$对称

分析：由于函数(f(x))是复合函数，定义域要使(x>0，2-x>0)，即定义域是((0，2))，

又(f(x)=ln[x(2-x)]=ln[-(x-1)^2+1])，

则由复合函数的单调性法则可知，在((0，1))上单增，

在((1，2))上单减，故排除(A)，(B)；

若函数(y=f(x))关于点((1，0))对称，则函数(f(x))必然满足关系：(f(x)+f(2-x)=0)；

若函数(y=f(x))关于直线(x=1)对称，则函数(f(x))必然满足关系：(f(x)=f(2-x))；

接下来我们用上述的结论来验证，由于(f(x)=lnx+ln(2-x))，

(f(2-x)=ln(2-x)+ln(2-(2-x))=ln(2-x)+lnx)，即满足(f(x)=f(2-x))，

故函数(y=f(x))的图像关于直线(x=1)对称，选(C)；

再来验证(D)，发现(f(x)+f(2-x)=2[lnx+ln(2-x)] eq 0)，(D)选项不满足。故选(C)。

正[余]弦型三角函数[或能化为(f(x)=Asin(omega x+phi))]特有判断依据，其他函数不能滥用；

• 若函数(f(x))关于直线(x=cfrac{pi}{3})对称，则(omega imescfrac{pi}{3}+phi=kpi+cfrac{pi}{2})换句话说，(x=cfrac{pi}{3})能使得(y=sin(omega x+phi))取到最值，注意是最大值或者最小值；(quad)，(kin )；

• 若函数(f(x))关于((cfrac{pi}{3},0))对称，则(omega imescfrac{pi}{3}+phi=kpi)换句话说，(x=cfrac{pi}{3})能使得函数(y=sin(omega x+phi))取到(0)，(quad)，(kin )；

函数(f(x)=2cos(omega x+phi)(omega eq 0))对任意(x)都有(f(cfrac{pi}{4}+x)=f(cfrac{pi}{4}-x))成立，则(f(cfrac{pi}{4}))的值为【】

$A.2或0$ $B.-2或2$ $C.0$ $D.-2或0$

分析：由任意(x)都有(f(cfrac{pi}{4}+x)=f(cfrac{pi}{4}-x))成立，可知(x=cfrac{pi}{4})为函数的一条对称轴，

而正弦型或余弦型函数在对称轴处必然会取到最值，故(f(cfrac{pi}{4})=pm 2)，选(B)。

解后反思：此题目如果不注意函数的性质，往往会想到求(omega)和(phi)，这样思路就跑偏了。

【2018云南玉溪一模】函数(f(x)=sqrt{3}sin2x+2cos^2x)的一条对称轴为直线【】

$A.x=cfrac{pi}{12}$ $B.x=cfrac{pi}{6}$ $C.x=cfrac{pi}{3}$ $D.x=cfrac{pi}{2}$

分析：(f(x)=2sin(2x+cfrac{pi}{6})+1)，

法1：比较繁琐，令(2x+cfrac{pi}{6}=kpi+cfrac{pi}{2})，(kin Z)，则(x=cfrac{kpi}{2}+cfrac{pi}{6})，(kin Z)，即对称轴有无数条，

令(k=0)，得到其中的一条对称轴为(x=cfrac{pi}{6})，当(k)取其他的值时，都不能得到其他的选项，故选(B)。

法2：比较简单，利用函数在对称轴处的函数值能取到最值，故只需验证即可，

比如，将(x=cfrac{pi}{12})代入(sin(2x+cfrac{pi}{6}))，即(sincfrac{pi}{3})，并不能使得其取到最值(pm 1)，故舍去(A)；

将(x=cfrac{pi}{6})代入(sin(2x+cfrac{pi}{6}))，即(sincfrac{pi}{2})，能使得其取到最大值(1)，则(B)必然满足；

用同样的方法可以验证其余的选项错误；综上所述，故选(B).

典例剖析

【2021届高三文科月考三用题】已知 (f(x)=sin xcdotcos^{2}x)， 下列结论中错误的是 【(quad)】

$A.$$f(x)$既是奇函数也是周期函数；

$B.$$f(x)$的最大值为 $frac{sqrt{3}}{3}$；

$C.$$f(x)$的图象关于直线$x=frac{pi}{2}$对称；

$D.$$f(x)$的图象关于点$(pi, 0)$成中心对称；

分析：由于函数不能快速转化为正[余]弦型函数，故采用具有普适性的对称性判定依据；

解: 对于选项 (A)而言，因为函数定义域为(R)， 所以由 (f(x)=sin xcos^{2}x)，

可得 (f(-x)=-sin xcos^{2}x=-f(x))，所以函数是奇函数；

又 (f(x+2pi)=sin(x+2pi)cos^{2}(x+2pi)=sin xcos^{2}x=f(x))，

所以函数是周期函数[虽然说我们对函数的最小正周期暂时不太清楚]，故选项(A) 正确；

对于选项 (C)而言， 因为(f(pi-x)=sin(pi-x)cos^{2}(pi-x)=sin xcos^{2}x=f(x))，

所以函数关于 (x=cfrac{pi}{2}) 对称， 故选项(C) 正确；

对于选项 (D)而言，因为 (f(2pi-x)=sin(2pi-x)cos^{2}(2pi-x)=-sin xcos^{2}x=-f(x))，

所以函数关于 ((pi, 0)) 对称，故选项(D) 正确；

对于选项 (B)而言，令(sin x=tin [-1,1])，

则(f(x)=t(1-t^2)=-t^3+t=g(t))，(tin [-1,1])，转而求(g(x))的最大值；

(g'(x)=-3t^2+1)，令(-3t^2+1>0)，得到(-cfrac{sqrt{3}}{3}<t<cfrac{sqrt{3}}{3})，

令(-3t^2+1<0)，得到 (-1<t<-cfrac{sqrt{3}}{3}) 或 (cfrac{sqrt{3}}{3}<t<1)，

故函数在([-1,-cfrac{sqrt{3}}{3}])上单调递减，在([-cfrac{sqrt{3}}{3},cfrac{sqrt{3}}{3}])上单调递增，

在([cfrac{sqrt{3}}{3},1])上单调递减，且(f(-1)=f(1)=f(0)=0)，

故当(t=cfrac{sqrt{3}}{3})时，(g(x)_{max}=g(cfrac{sqrt{3}}{3})=cfrac{2sqrt{3}}{9})；即(f(x)_{max}=cfrac{2sqrt{3}}{9})

综上所述，故选(B).