前言
三角函数中角的拆分与整合，是个技术活；
为何拆+整
在求解三角函数问题时，常常需要对题目中给定的角进行拆分与整合，如果不做拆分和整合工作，也许能做出问题的答案，但是有些问题会非常麻烦，还有角的拆分和整合技巧，也能体现我们的数学素养的高低和思维的灵活性，尤其在充分恰当的利用已知条件上，体现的淋漓尽致；
法1：不做拆分与整合工作的解法；
将 (sin(alpha-cfrac{pi}{3})=cfrac{15}{17})打开整理，即(cfrac{1}{2}sinalpha-cfrac{sqrt{3}}{2}cosalpha=cfrac{15}{17})，
则联立平方关系，得到(left{egin{array}{l}{cfrac{1}{2}sinalpha-cfrac{sqrt{3}}{2}cosalpha=cfrac{15}{17}}\{sin^2alpha+cos^2alpha=1}end{array} ight.)
接下来，转化为关于(sinalpha)的二次方程求解即可，思路很清晰，但是运算确实比较难；我算到一半就放弃了；
法2： 采用拆分与整合工作的解法；
因为 (alphain(cfrac{pi}{2}, cfrac{5pi}{6}))，所以 (alpha-cfrac{pi}{3} in(cfrac{pi}{6}, cfrac{pi}{2})) 是锐角，(cos(alpha-cfrac{pi}{3})>0)，
(cos(alpha-cfrac{pi}{3})=sqrt{1-(cfrac{15}{17})^{2}}=cfrac{8}{17})，
所以 (sinalpha=sinleft[(alpha-cfrac{pi}{3})+cfrac{pi}{3} ight])将待求角拆分为已知角和特殊角之和，能有效的利用已知条件和已知数据，降低运算和思维的难度。(quad).
(=sin(alpha-cfrac{pi}{3})coscfrac{pi}{3}+cos(alpha-cfrac{pi}{3})sin cfrac{pi}{3})
(=cfrac{15}{17} imes cfrac{1}{2}+cfrac{8}{17} imescfrac{sqrt{3}}{2}=cfrac{15+8sqrt{3}}{34})， 故选 (D).
反思总结：两相比较，你自然就能理解为什么要学习角的拆分和整合了；
何时拆+整
- 三角函数化简时需要用到拆分与整合；
分析：如果你能注意到(8=2 imes 4)，则可能想到利用二倍角公式，想办法将被开方数凑成一个完全平方数的形式，
原式(=sqrt{2}sqrt{1+cos8}+2sqrt{1-sin8})
(=sqrt{2}sqrt{2cos^24}+2sqrt{sin^24+cos^24-2sin4cdot cos4})
(=2|cos4|+2sqrt{(sin4-cos4)^2})
(=2|cos4|+2|sin4-cos4|)
(=-2cos4-2(sin4-cos4)=-2sin4)
反思总结：(4radapprox 229^{circ})，终边在第三象限的后半段，此时(cos4>sin4)。
- 三角函数求值时需要用到拆分与整合；
分析：(cfrac{sin47^{circ}-sin17^{circ}cos30^{circ}}{cos17^{circ}})
(=cfrac{sin(30^{circ}+17^{circ})-sin17^{circ}cos30^{circ}}{cos17^{circ}})
(=cfrac{sin30^{circ}cos17^{circ}}{cos17^{circ}})
(=sin30^{circ}=cfrac{1}{2})。
分析：注意到已知角为一个(alpha+cfrac{pi}{6})，未知角也是一个(2alpha+cfrac{pi}{12})，
故二者之间的联系可能是从余、补、半、倍、特的角度建立联系，
故将已知角二倍得到(2(alpha+cfrac{pi}{6})=2alpha+cfrac{pi}{3})，发现还是和未知角不一样，故做差就发现，
故(sin(2alpha+cfrac{pi}{12})=sin[2(alpha+cfrac{pi}{6})-cfrac{pi}{4}])
(=sin[2(alpha+cfrac{pi}{6})]coscfrac{pi}{4}-cos[2(alpha+cfrac{pi}{6})]sincfrac{pi}{4})
(=2sin(alpha+cfrac{pi}{6})cos(alpha+cfrac{pi}{6})coscfrac{pi}{4}-[2cos^2(alpha+cfrac{pi}{6})-1]sincfrac{pi}{4})
(=cdots=cfrac{17sqrt{2}}{50}).
备注说明：复杂一些的题目可能需要用到互余、互补、半角、倍角、特殊角中的某两个以上的角度才可以求解；
- 三角函数证明时需要用到拆分与整合；
配套习题待补充；
常见情形
- 常见的角的拆分：将非特殊角尽可能拆分为含有特殊角的部分；
(47^{circ}=17^{circ}+30^{circ})；(8^{circ}=15^{circ}-7^{circ})；
- 常见的互余+互补+倍角+半角， 力求掌握常见的配角技巧；
初中我们需要掌握的互余关系：(cfrac{pi}{3}+cfrac{pi}{6}=cfrac{pi}{2})，(cfrac{pi}{3}+cfrac{pi}{6}=cfrac{pi}{2})；
互补关系：(cfrac{pi}{3}+cfrac{2pi}{3}=pi)，(cfrac{pi}{3}+cfrac{2pi}{3}=pi)，
以上这些都是静态的角之间的关系，而高中更多的考察的是动态的角之间的关系：
((cfrac{pi}{4}+ heta)+(cfrac{pi}{4}- heta)=cfrac{pi}{2})；((cfrac{pi}{3}+ heta)+(cfrac{pi}{6}- heta)=cfrac{pi}{2})；
((cfrac{pi}{4}+ heta)+(cfrac{3pi}{4}- heta)=pi)；((cfrac{pi}{3}+ heta)+(cfrac{2pi}{3}- heta)=pi)；
(2xpmcfrac{pi}{2}=2(xpmcfrac{pi}{4}))；(2alphapmcfrac{pi}{3}=2(alphapmcfrac{pi}{6}))；
((75^{circ}+ heta)+(15^{circ}- heta)=90^{circ})；((75^{circ}- heta)+(15^{circ}+ heta)=90^{circ})；
(2alpha=(alpha+eta)+(alpha-eta))；(2eta=(alpha+eta)-(alpha-eta))；
(3alpha-eta=2(alpha-eta)+(alpha-eta))；(3alpha+eta=2(alpha+eta)+(alpha-eta))；
(alpha=(alpha+eta)-eta)；(eta=alpha-(alpha-eta))；
(alpha=cfrac{alpha+eta}{2}+cfrac{alpha-eta}{2})；(eta=cfrac{alpha+eta}{2}-cfrac{alpha-eta}{2})；
(alpha=(alpha+eta)-eta)；((cfrac{pi}{6}-alpha)+(cfrac{pi}{3}+alpha)=cfrac{pi}{2})；((cfrac{pi}{4}-alpha)+(cfrac{pi}{4}+alpha)=cfrac{pi}{2})；
((cfrac{pi}{3}-alpha)+(cfrac{2pi}{3}+alpha)=pi)；((cfrac{pi}{4}-alpha)+(cfrac{3pi}{4}+alpha)=pi)；
( heta+cfrac{pi}{6}=( heta-cfrac{pi}{6})+cfrac{pi}{3})；( heta-cfrac{pi}{6}=( heta+cfrac{pi}{6})-cfrac{pi}{3})；
技巧引申
其实在三角函数中，有关函数的拆分与整合，也是我们需要注意积累的；比如以下：
(1+sin heta+cos heta=(1+cos heta)+sin heta=2cos^2cfrac{ heta}{2}+2sincfrac{ heta}{2}coscfrac{ heta}{2})
(1+sin heta-cos heta=(1-cos heta)+sin heta=2sin^2cfrac{ heta}{2}+2sincfrac{ heta}{2}coscfrac{ heta}{2})