前言
二者关系
- 函数的单调性与其导函数的正负间的关系：
设函数(y=f(x))在区间((a, b))内可导，[导数(Rightarrow)单调性]
若(f'(x)>0)，函数(y=f(x))在区间((a, b))上单调递增；
若(f'(x)<0)，函数(y=f(x))在区间((a, b))上单调递减；
设函数(y=f(x))在区间((a, b))内可导，[单调性(Rightarrow)导数]
若函数(y=f(x))在区间((a, b))上单调递增，则(f'(x)geqslant 0)且在其任一子区间内恒有(f'(x) eq 0)；
若函数(y=f(x))在区间((a, b))上单调递减，则(f'(x)leqslant 0)且在其任一子区间内恒有(f'(x) eq 0)；
提示：不一定成立。比如(y=x^{3})在(R)上为增函数，但其在(x=0)处的导数等于零。也就是说(f^{prime}(x)>0)是(y=f(x))在某个区间上递增的充分不必要条件，(f^{prime}(x)geqslant 0)是(y=f(x))在某个区间上递增的必要不充分条件。
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一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大，说明函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”；反之，函数的图象就比较“平缓”。
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利用导数求函数单调区间的基本步骤
(1).确定函数(f(x))的定义域；
(2).求导函数(f^{prime}(x))；
(3).由(f'(x)>0)或(f^{prime}(x)<0)，解出相应的(x)的取值范围。
当(f'(x)>0)时，(f(x))在相应的区间上是增函数；此时不能用(f'(x)geqslant 0)来求解，原因是(f'(x)>0)是(f(x))单调递增的充分不必要条件，而(f'(x)geqslant 0)是(f(x))单调递增的必要不充分条件；此时我们需要寻求的是充分条件。
当 (f'(x)<0)时，(f(x))在相应区间上是减函数。
法1：导数法，由于函数在区间((cfrac{1}{2}，+infty))上单调递减，
故(f'(x)=cfrac{2a-1}{(2x-1)^2}leq 0)在区间((cfrac{1}{2}，+infty))上恒成立，
即(2a-1leq 0)恒成立，得到(aleq cfrac{1}{2})，
但是当(a=cfrac{1}{2})时
代入原函数得到(f(x)=cfrac{1}{2})，为常函数，
则要舍去，故(a<cfrac{1}{2})。
法2：图像法，将函数变形为(f(x)=cfrac{-a+cfrac{1}{2}}{2x-1}+cfrac{1}{2})，
即函数的对称中心是((cfrac{1}{2}，cfrac{1}{2}))，
如果要函数在区间((cfrac{1}{2}，+infty))上单调递减，
只需要(-a+cfrac{1}{2}>0)即可，故(a<cfrac{1}{2})。
(1).讨论函数(f(x))的单调性；
分析：用导数法求解，(f'(x)=3x^2-a) ，作出导函数的简图(三种代表情形)，
当(aleq 0)时，(f'(x)ge 0)，故在((-infty，+infty))上单调递增；
当(a>0)时，令(f'(x)=0)，得到(x=pm cfrac{sqrt{3a}}{3})，故(xin (-infty， -cfrac{sqrt{3a}}{3}))时，(f'(x)>0)，(f(x) earrow)；
(xin (-cfrac{sqrt{3a}}{3}，cfrac{sqrt{3a}}{3}))时，(f'(x)<0)，(f(x)searrow)；(xin (cfrac{sqrt{3a}}{3}，+infty))时，(f'(x)>0)，(f(x) earrow)；
(2).若函数(f(x))在(R)上是增函数，求(a)的取值范围。
分析：由于函数(f(x))在(R)上是增函数，即(f'(x)geqslant 0)在(R)上恒成立，且恒满足(f'(x) eq 0)，即(f(x))不为常函数；
则(f'(x)=3x^2-ageqslant 0)恒成立，分离参数得到，
(aleqslant 3x^2)在(R)上恒成立，而((3x^2)_{min}=0)，
则(aleqslant 0)，又因为当(a=0)时，函数不为常函数，故参数(a)的取值范围是(ain (-infty,0])。