前言
方程（equation）是指含有未知数的等式。是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，使等式成立的未知数的值称为“解”或“根”。求方程的解的过程称为“解方程”。
通过方程求解可以免去逆向思考[小学阶段的算术就是一种逆向思考的代表]的不易，直接正向列出含有欲求解的量的等式即可。方程具有多种形式，如一元一次方程(2x-1=0)、二元一次方程(x-2y+1=0)、一元二次方程(x^2-2x-1=0)等等，还可组成方程组求解多个未知数。
在数学中，一个方程是一个包含一个或多个变量的等式的语句。 求解等式包括确定变量的哪些值使得等式成立。 变量也称为未知数，并且满足相等性的未知数的值称为等式的解。
分式方程和整式方程统称有理方程。其中分式方程是分母含未知数的方程，如(cfrac{2x+1}{x^2-2}-cfrac{3-x}{x+2}=1)；整式方程是等号两边都为整式的方程，如(x-2y=cfrac{1}{3}x+1)。
初等数学
小学阶段
整数、分数和小学的四则运算、数与代数、空间与图形、简单统计与可能性、一元一次方程，圆，正负数，立体几何初步。
初中阶段
代数部分：有理数（正数和负数及其运算），实数（根式的运算），平面直角坐标系，基本函数（一次函数，二次函数，反比例函数），简单统计，锐角三角函数，方程（一元一次方程，二元一次方程组，一元二次方程，三元一次方程组），因式分解、整式、分式、一元一次不等式。
几何部分：全等三角形，四边形（重点是平行四边形及特殊的平行四边形），对称与旋转，相似图形（重点是相似三角形），圆的基本性质。
高中阶段
集合，基本初等函数（指数函数、对数函数，幂函数，高次函数），二次方程根的分布与不等式，柯西不等式，排列不等式，初等行列式，三角函数，解析几何与圆锥曲线（椭圆，抛物线，双曲线），复数，数列，高等统计与概率，排列组合，平面向量，空间向量，空间直角坐标系，导数以及相对简单的定积分。
解题步骤
① 去分母
方程两边同时乘以最简公分母最简公分母:①系数取最小公倍数;②未知数取最高次幂;③出现的因式取最高次幂;比如分母(2xy)和(3x^2)的最简公分母为(6x^2y);(quad)，将分式方程化为整式方程；若遇到互为相反数时。不要忘了改变符号。
② 移项
移项，若有括号应先去括号括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变。括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号。去括号法则的依据实际是乘法分配律，要注意，括号前面是"-"时，去掉括号后，括号内的各项均要改变符号，不能只改变括号内第一项或前几项的符号，而忘记改变其余的符号。若括号前是数字因数时，应利用乘法分配律先将数与括号内的各项分别相乘再去括号，以免发生错误，遇到多层括号一般由里到外，逐层去掉括号。(quad)，注意变号，合并同类项，把系数化为1，求出未知数的值；
③ 验根
求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，使用了转化划归思想，我们人为的去掉了分母，这样就扩大了未知数的取值范围，可能产生增根中学阶段产生增根的数学变形有：两边去分母；两边平方；两边取掉对数；相应地，产生漏根的数学变形有：两边添分母；两边开平方；两边添加对数；。
验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于(0)，这个根就是增根。否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根都是增根，则原方程无解。
如果分式本身约分了，也要代入进去检验。比如(cfrac{(x-1)(x+2)}{x^2-1}=x-2)；
在列分式方程解应用题时，不仅要检验所得解的是否满足方程式，还要检验是否符合实际问题的题意。
一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.
★ 特别注意：
（1）注意去分母时，不要漏乘整式项。
（2）増根是分式方程去分母后化成的整式方程的根，但不是原分式方程的根。
（3）増根使最简公分母等于(0)。
（4）分式方程中，如果(x)为分母，则(x)应不等于(0)。
典例剖析
分式方程
解:方程两边乘((x-9)(x-5))，得(x(x-5)-36=2(x-9))。
解得(x_{1}=9)，(x_{2}=-2)，
检验：当(x=9)时, ((x-9)(x-5)=0)，
当(x=-2)时，((x-9)(x-5) eq 0)，
所以原方程的解是(x=-2).
解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是"去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。
解：两边乘(3(x+1))，
得到(3x=2x+(3x+3))，
(3x=5x+3)，
(-2x=3)，
(x=-cfrac{3}{2})
经检验， (x=-cfrac{3}{2})是方程的解
解：两边乘((x+1)(x-1))，
整理得到，(2(x+1)=4)
(2x+2=4)
(2x=2)
(x=1)
把(x=1)代入原方程，分母为0，所以(x=1)是增根。
所以原方程无解.
解: 两边乘((x+3)(x-1))
整理得到，(2x-2=x+3)
(2x-x=3+2)
(x=5)
经检验，(x=5)是方程的解.
解：两边同时减(cfrac{1}{x-5})，得(x=5)，
代入原方程，使分母为(0)，所以(x=5)是增根，所以原方程无解！
检验格式：把(x=a)带入最简公分母，若(x=a)使最简公分母为(0)，则(a)是原方程的增根。若(x=a)使最简公分母不为零，则(a)是原方程的根。
注意：可凭经验判断是否有解。若有解，带入所有分母计算：若无解，带入无解分母即可。
关联高中
这个小例题基本上把分式不等式的求解思路都包含在内了。
【错解】：去分母得到(xleq 1)，这是错误的，原因是分母可能取到正负两种可能。
【法1】：分类讨论去分母，由于(x eq 0)，故原不等式等价于以下的两个不等式组：
(egin{cases}&x>0\&1ge xend{cases})或(egin{cases}&x<0\&1leq xend{cases})，解得(0<x leq 1)。
【法2】：穿针引线法，移项得到(cfrac{1-x}{x}ge 0)，再变形得到(cfrac{x-1}{x}leq 0)，解得(0<x leq 1)。
【法3】：转化法，由商的符号法则得到，(egin{cases}&x(1-x)ge 0\&x eq 0end{cases})，解得(0<x leq 1)。
解后反思：受解方程的思维定势的影响，学生最容易想到法1，但是却往往注意不到不等式的性质而直接去分母出错；法2的解法很快速，但是对学生的要求比较高；法3比较慢。
提示：(x<-1或x>1).