前言
任何事物都是在发展中不断地完善的,数学概念的学习和理解也是一样的,我们以三角函数的定义为例,加以说明;
概念沿革
- 初中定义:由于受初中学生的认知能力和角的范围的限制,我们只能在 (Rt riangle) 中定义三角函数[用形来定义]:
这种定义方式,其缺陷是三角函数的自变量 ( heta) 的范围只能是 ([0^{circ},90^{circ}]),而高中数学中的角的范围已经扩充到了 ((-infty,+infty)) ,显然上述的初中定义已经不能用了,需要更新,应该怎么更新呢?
- 高中定义:将角放置到平面直角坐标系中,初始边放置到(x)轴的非负半轴上,终边随其落在某个象限或者坐标轴上,然后在终边上任取一点(不是原点) (P(x,y)) ,则 (r=|OP|=sqrt{x^2+y^2}) ,则[用数来定义]:
很显然,这种定义方式可以刻画 ((-infty,+infty)) 范围内的任意一个角的三角函数,而且兼容范围 ([0^{circ},90^{circ}]) ,也就是说高中的三角函数的定义同样能解释初中的三角函数的定义,体现了数学概念发展的扬弃。
典例剖析
法1:利用三角函数的定义,令 (P(x,y)) ,则可知 (x=sin47^{circ}) , (y=cos47^{circ}),
则 (r=|OP|=sqrt{sin^247^{circ}+cos^247^{circ}}=1),
故 (sinalpha=cfrac{y}{r}=cos47^{circ}) , (cosalpha=cfrac{x}{r}=sin47^{circ}) ,
则(sin(alpha-13^{circ})=sinalphacos13^{circ}-cosalphasin13^{circ})
(=cos47^{circ}cos13^{circ}-sin47^{circ}sin13^{circ})
(=cos(47^{circ}+13^{circ})=cos60^{circ}=cfrac{1}{2}),故选 (A).
法2:借助单位圆上点的坐标, 由于 (sin47^{circ}=cos43^{circ}), (cos47^{circ}=sin43^{circ}),
点 (P) 的坐标为 ((cos43^{circ},sin43^{circ})) ,即 (alpha=43^{circ}),
[或 (alpha=k imes 360^{circ}+43^{circ}),(kin Z),此处从简,取(k=0) ]
故 (sin(alpha-13^{circ})=sin(43^{circ}-13^{circ})=sin30^{circ}=cfrac{1}{2}),故选 (A).
解析:由三角函数定义可知, (r=|OP|=5),则 (sinalpha=cfrac{4}{5}), (cosalpha=cfrac{3}{5}),
又由于角 (alpha) 的终边绕原点逆时针旋转 (cfrac{pi}{2}) 得到的终边与角 (eta) 的终边重合,则 (eta=alpha+cfrac{pi}{2}),
故 (sin2eta=sin2(alpha+cfrac{pi}{2})=sin(2alpha+pi)=-sin2alpha=-2sinalphacosalpha=-cfrac{24}{25}),故选 (C).
法1:利用两点间距离公式,通过三角函数运算解答,
(|AB|=sqrt{(cos10^{circ}-cos100^{circ})^2+(sin10^{circ}-sin100^{circ})^2})
(=sqrt{1+1-2(cos10^{circ}cdotcos100^{circ}+sin10^{circ}cdotsin100^{circ})})
(=sqrt{2-2cos(10^{circ}-100^{circ})}=sqrt{2}), 故选 (B) .
法2:利用单位圆和勾股定理解得,
如图所示,由于 (A(cos10^{circ},sin10^{circ})), (B(cos100^{circ},sin100^{circ})),
则点 (A) 和点 (B) 都位于单位圆上,(OA=OB=1), 且 (OAperp OB),
则由勾股定理可知, (|AB|=sqrt{1^2+1^2}=sqrt{2}) . 故选 (B) .