探究|平面向量探究题

前言

典例剖析

例1【2020北京人大附中高一试题】设(vec{a})与(vec{b})是互相垂直的两个单位向量，问当(k)为何整数时，向量(vec{m}=kvec{a}+vec{b})与向量(vec{n}=vec{a}+kvec{b})的夹角能否等于(60^{circ})，证明你的结论。

分析：不论(k)为何整数，向量(vec{m}=kvec{a}+vec{b})与向量(vec{n}=vec{a}+kvec{b})的夹角都不能等于(60^{circ})，理由如下：

证明：设(<vec{m},vec{n}>= heta)，假设存在(kin )，使得( heta=60^{circ})，即使得(cos heta=cfrac{1}{2})，

由题目可知，(vec{a}cdot vec{b}=0)，(|vec{a}|=|vec{b}|=1)，

可以令(vec{a}=(1,0))，(vec{b}=(0,1))，[采用特殊化策略]

则(vec{m}=kvec{a}+vec{b}=k(1,0)+(0,1)=(k,1))

(vec{n}=vec{a}+kvec{b}=(1,0)+k(0,1)=(1,k))

则(cos heta=cfrac{k imes 1+1 imes k}{sqrt{k^2+1}sqrt{1+k^2}}=cfrac{2k}{k^2+1}=cfrac{1}{2})

所以(k^2-4k+1=0)，即((k-2)^2=3)，故(k=2pmsqrt{3})，

由于(k otin )，故假设错误，

即不论(k)为何整数，向量(vec{m}=kvec{a}+vec{b})与向量(vec{n}=vec{a}+kvec{b})的夹角都不能等于(60^{circ})，