探究|事件关系与概率关系

前言

廓清认知

①在概率的学习中，我们应该清楚，先有事件后有概率的时间线，所有概率的研究都是基于事件来研究的；

②为什么需要学习定义事件？为什么需要学习事件的和事件与积事件？

我们学习的概率，基本都是研究随机事件的概率，因为只有随机事件的概率才是不确定的，需要我们计算的，必然事件的概率为(1)，不可能事件的概率为(0)；而随着学习的深入，所涉及的实际问题会越来越复杂，仅仅定义单个的事件(A)，(B)等等，已经远远不够刻画表达实际问题，这时候，就需要定义事件的和事件(A+B)与积事件(AB)，当然在有些问题中，你可能会看到(A+B+C+D)或者(ABCD)等更复杂的形式，这些都是为了将实际问题表达清楚的需要。

③事件关系和概率关系

正是因为先有事件后有概率的时间顺序，所以一般来说，事件的关系决定概率的关系；即用事件的关系可以推出概率关系，但是用概率关系不能反过来推事件的关系；

比如，若事件(A)、(B)是互斥的[其关系要么是题目告诉的，要么是我们自己判断的]，则(P(A+B)=P(A)+P(B))；[或者(P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB))，此时(P(AB)=0)]

若事件(A)、(B)不是互斥的[其关系要么是题目告诉的，要么是我们自己判断的]，则(P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB))；

若事件(A)、(B)是对立的[其关系要么是题目告诉的，要么是我们自己判断的]，则(P(A)=1-P(B))；

但是其中有个特例，相互独立事件却是用概率关系定义的，若(P(AB)=P(A)P(B))，则事件(A)、(B)是相互独立的；

④事件中的加号和乘号

当用加号相联得到事件(A+B)，并不意味着两个事件的关系就是互斥的，可能互斥，也可能不互斥，也可能相互独立；

同理，用乘号相联得到的事件(Acdot B)，并不意味着两个事件的关系就是相互独立的；

典例剖析

例1设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足(P(A)+P(B)=1)”，则甲是乙的【】条件。

$A.充分不必要$ $B.必要不充分$ $C.充要条件$ $D.既不充分也不必要$

分析：当事件(A，B)是对立事件时，必然满足(P(A)+P(B)=1)；但是当满足(P(A)+P(B)=1)时，事件(A，B)可以是分马牛不相及的两个事件，故不一定是对立事件，故选(A)。

例2[研讨]设事件(A)，(B)，已知(P(A)=cfrac{1}{5})，(P(B)=cfrac{1}{3})，(P(Acup B)=cfrac{8}{15})，则(A)，(B)之间的关系一定是【】

$A.两个任意事件$ $B.互斥事件$ $C.非互斥事件$ $D.对立事件$

网上解答：由于(P(A)+P(B)=cfrac{1}{5}+cfrac{1}{3}=cfrac{8}{15}=P(Acup B))，所以(A)，(B)之间的关系为互斥事件，故选(B).

研讨：本题目若事件(A)，(B)同属于同一个样本空间，则由(P(A)+P(B)=P(Acup B))，可知(A)，(B)之间的关系为互斥事件，故选(B).

若事件(A)，(B)不是同属于同一个样本空间，则由(P(A)+P(B)=P(Acup B))，并不一定能得到(A)，(B)之间的关系为互斥事件，可能是互斥事件，也可能是相互独立事件。

例3【本题目能说明引入事件的关系的必要性】红队队员甲、乙、丙与蓝队队员(A)、(B)、(C)进行围棋比赛，甲对(A)、乙对(B)、丙对(C)各一盘．已知甲胜(A)、乙胜(B)、丙胜(C)的概率分别为$ 0.6$，(0.5)，(0.5).假设各盘比赛结果相互独立．

分析：例说如何拆分一个复杂事件？求红队至少两名队员获胜的概率；

从正面分析，红队至少两人获胜，分以下两种情形：其一，只有两人获胜；其二，有三人获胜；

先拆分情形一：甲乙胜丙败，甲丙胜乙败，乙丙胜甲败；情形二：甲乙丙获胜；这两种情形列举的情况是并列的；

接下来，再拆分“甲乙胜丙败”，这涉及到如何刻画甲、乙、丙三人的胜利和失败，需要定义基本事件和其对立事件；

接下来考虑，如何刻画甲乙胜丙败？即“甲胜且乙胜且丙败”，需要利用积事件和相互独立事件；

接下来再分析，如何刻画“甲乙胜丙败”，“甲丙胜乙败”，“乙丙胜甲败”和“甲乙丙获胜”这四种情形？需要用到互斥事件；

到此，整个题目的要求我们就算分析清楚了，接下来求解即可。求解如下：

(1)求红队至少两名队员获胜的概率；

分析：设甲胜(A)的事件为(D)，乙胜(B)的事件为(E)，丙胜(C)的事件为(F)，则(ar{D})、(ar{E})、(ar{F})分别表示甲不胜(A)、乙不胜(B)、丙不胜(C)的事件．

因为(P(D)＝0.6)，(P(E)＝0.5)，(P(F)＝0.5)，由对立事件的概率公式知(P(ar{D})＝0.4)，(P(ar{E})＝0.5)，(P(ar{F})＝0.5)，

红队至少两人获胜的事件有：(ar{D}EF)，(Dar{E}F)，(DEar{F})，(DEF)，由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，

因此红队至少两人获胜的概率为

(P＝P(ar{D}EF)＋P(Dar{E}F)＋P(DEar{F})＋P(DEF))

(=P(ar{D})cdot P(E)cdot P(F)+P(D)cdot P(ar{E})cdot P(F)+P(D)cdot P(E)cdot P(ar{F})+P(D)cdot P(E)cdot P(F))

(＝0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55).

法2：间接法，先计算只有一名队员获胜，或三个队员都失败的概率，然后用对立事件求解。

(P=1-P(Dar{E}ar{F})-P(ar{D}Ear{F})-P(ar{D}ar{E}F)-P(ar{D}ar{E}ar{F}))

(=1-0.6 imes 0.5 imes 0.5 -0.4 imes 0.5 imes 0.5 -0.4 imes 0.5 imes 0.5 -0.4 imes 0.5 imes 0.5 =0.55)

(2)用(xi)表示红队队员获胜的总盘数，求(xi)的分布列.

分析：由题意知(xi)的可能取值为 0，1，2，3；

又由(1)知(ar{D}ar{E}F)，(ar{D}Ear{F})，(Dar{E}ar{F})是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立．

因此(P(xi＝0)＝P(ar{D}ar{E}ar{F})＝0.4×0.5×0.5＝0.1)，

(P(xi＝1)＝P(ar{D}ar{E}F)＋P(ar{D}Ear{F})＋P(Dar{E}ar{F}))

(＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35).

(P(xi＝3)＝P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＝0.15).

由对立事件的概率公式得(P(xi＝2)＝1－P(xi＝0)－P(xi＝1)－P(xi＝3)＝0.4).

所以(xi) 的分布列为

【反思归纳】 概率计算的核心环节就是把一个随机事件进行类似本题的分拆，这中间有三个概念，事件的互斥，事件的对立和事件的相互独立，在概率的计算中只要弄清楚了这三个概念，根据实际情况对事件进行合理的分拆，就能把复杂事件的概率计算转化为一个个简单事件的概率计算，达到解决的目的。