例说思维的发散性

前言

我们在平时的数学训练中必然会有意追求思维的发散性和灵活性，运算的流畅性、准确性和快捷感，这些都是需要平时有意识的培养和训练的，以下举例加以说明；

发散案例

引例【2020人大附中高一试题第14题】设函数(f(x)=sin2x+2cos^2x)，若对于任意的(xin R)，都有(f(x)leqslant m)成立，则实数(m)的最小值为_______。

〔解答范式〕：由于对于任意的(xin R)，都有(f(x)leqslant m)成立，

故只需要(f(x)_{max}leqslant m)，故转化为求(f(x)_{max})，

由于(f(x)=sin2x+2cos^2x=sin2x+cos2x+1=sqrt{2}sin(2x+cfrac{pi}{4})+1)，(xin R)，

故(f(x)_{max}=sqrt{2}+1)，即(mgeqslant sqrt{2}+1)，

故实数(m)的最小值为(sqrt{2}+1).

低阶层次

如果拿到题目，纯粹没有思路，不知道如何下手分析，那么你需要：

①理解和建立恒成立命题的模型，对此有个框架性的了解；

②求三角函数的值域[或最值]的模型；

中阶层次

如果拿到题目，大概有求解的思路，但思路不是很清晰，那么你需要：

①就左端的三角函数而言，求其值域或者最值，还有哪些不同的思路和类型？三角函数的值域[或最值]

例1[2017高考真题 理科全国卷2的第14题]函数(f(x)=sin^2x+sqrt{3}cosx-cfrac{3}{4}(xin[0，cfrac{pi}{2}]))的最大值为_______。

分析：由于(xin[0，cfrac{pi}{2}])，则(cosxin [0，1])，

令(cosx=tin [0，1])，(f(x)=1-cos^2x+sqrt{3}cosx-cfrac{3}{4}=1-t^2+sqrt{3}t-cfrac{3}{4}=-(t-cfrac{sqrt{3}}{2})^2+1=g(t))，

故当(t=cfrac{sqrt{3}}{2})时，(g(t)_{max}=f(x)_{max}=1)。

例2求(f(x)=sinxpm cosxpm sinxcdot cosx)的值域问题。

例3求函数(y=g(x)=cfrac{sinalphacdot cosalpha}{sinalpha+cosalpha}，alphain [0，cfrac{pi}{2}])的值域问题。

分析：令(sinalpha+cosalpha=t=sqrt{2}sin(alpha+cfrac{pi}{4})in [1，sqrt{2}])，

则(sinalphacdot cosalpha=cfrac{t^2-1}{2})，

则原函数转化为(y=g(x)=cfrac{frac{1}{2}(t^2-1)}{t}=cfrac{1}{2}(t-cfrac{1}{t})，tin [1，sqrt{2}])单调递增；

则(y_{min}=g(1)=0)，(y_{max}=g(sqrt{2})=cfrac{sqrt{2}}{4})，

例4【2019届高三理科数学信息题】已知函数(f(x)=cosx-cfrac{1}{2}sin2x)，则(f(x))的最大值为_______________。

解析：(f'(x)=-sinx-cfrac{1}{2}cdot 2cdot cos2x)

(=-sinx-cos2x)

(=-sinx-(1-2sin^2x))

(=2sin^2x-sinx-1=(sinx-1)(2sinx+1))，

由于(-1leq sinxleq 1)，故(sinx-1leq 0)，

则令(f'(x)>0)，即((sinx-1)(2sinx+1)> 0)，即(2sinx+1<0)，

即(sinx<-cfrac{1}{2})，解得(2kpi+cfrac{7pi}{6}<x<2kpi+cfrac{11pi}{6}(kin Z))，

令(f'(x)<0)，即((sinx-1)(2sinx+1)<0)，即(2sinx+1>0)，

即(sinx>-cfrac{1}{2})，解得(2kpi-cfrac{pi}{6}<x<2kpi+cfrac{7pi}{6}(kin Z))，

即单调递减区间为([2kpi-cfrac{pi}{6}，2kpi+cfrac{7pi}{6}](kin Z))，

单调递增区间为([2kpi+cfrac{7pi}{6}，2kpi+cfrac{11pi}{6}](kin Z))，

故当(x=2kpi+cfrac{11pi}{6})时，(f(x))取得最大值；

(f(x)_{max}=cos(2kpi+cfrac{11pi}{6})-cfrac{1}{2}sin2(2kpi+cfrac{11pi}{6}))

(=cos(2pi-cfrac{pi}{6})-cfrac{1}{2}sin(4pi-cfrac{pi}{3}))

(=cfrac{sqrt{3}}{2}+cfrac{1}{2}cdotcfrac{sqrt{3}}{2}=cfrac{sqrt{3}}{4})。

例5【2019信息题】函数(y=sinxcdot cos^2x)的最大值为____________。

提示：令(sinx=tin [-1，1])，则原函数转化为(y=t(1-t^2))，(t in [-1，1])，(y_{max}=cfrac{3sqrt{2}}{9})；

②如果左端的函数变化为其他类型的函数，其最值如何求解？

比如二次函数(h(x)=2x^2-3x+1)，(xin [1,2])；

指数型函数(g(x)=4^x+2^x-1)，(xin [1,2])；

对数型函数(f(x)=log_2^2x+3log_2x-1)，(xin [1,2])；

分式型函数(f(x)=cfrac{x+1}{x^2+3x+3})；则(n(x)=cfrac{x+1}{(x+1)^2+(x+1)+1}=cfrac{1}{(x+1)+cfrac{1}{x+1}+1})

如(g(t)=cfrac{t}{t^2+9}=cfrac{1}{t+frac{9}{t}})；如(h(t)=cfrac{t+2}{t^2}=cfrac{1}{t}+2(cfrac{1}{t})^2=2m^2+m);

③如果题目变化为能成立命题，又需要如何转化求解？

引例变式设函数(f(x)=sin2x+2cos^2x)，若存在(xin R)，使得(f(x)leqslant m)成立，则实数(m)的最小值为_______。

高阶层次

如果拿到题目，有求解的思路，思路也很清晰，那么你需要：

①如果题目给定不等式(sin2x+2cos^2xleqslant m)对于任意的(xin R)都成立，求实数(m)的最小值；又需要如果求解？

分析：题目由函数不等式，变化为纯粹的不等式恒成立；

②如果题目转化为(sin2x-m+2cos^2xleqslant 0)对于任意的(xin R)都成立，求实数(m)的最小值；又需要如果求解？

分析：需要添加分离参数的变形；

例6已知函数(f(x)=-x^2+ax+b^2-b+1(ain R，bin R))，对任意实数(x)都有(f(1-x)=f(1+x))成立，若当(xin[-1，1])时，(f(x)>0)恒成立，则(b)的取值范围是_____________.

分析：先由(f(1-x)=f(1+x))得到，二次函数的对称轴(x=-cfrac{a}{-2}=1)，解得(a=2)，

故题目转化为(-x^2+2x+b^2-b+1>0)对任意(xin [-1,1])恒成立，

用整体法分离参数，得到(b^2-b>x^2-2x-1)对任意(xin[-1,1])恒成立。

令(g(x)=x^2-2x-1，xin[-1,1])，需要求函数(g(x)_{max})；

(g(x)=x^2-2x-1=(x-1)^2-2，xin[-1，1])，

故(g(x))在区间([-1，1])上单调递减，则(g(x)_{max}=g(-1)=2)，

故(b^2-b>2)，解得(b<-1)或(b>2)。

③如果题目转化为函数(h(x)=sin2x-m+2cos^2x)的图像始终在(x)轴的下方，求实数(m)的最小值；又需要如果求解？

分析：由形的角度转化为数的角度；

④哪些命题能转化为恒成立命题

分析：有些题目是很明显的恒成立命题，但是有些题目却需要我们分析转化；

⑤哪些命题能转化为能成立命题

分析：有些题目是很明显的能成立命题，但是有些题目却需要我们分析转化；

⑥分离参数法

例9【2020人大附中高一试题向量部分第15题】已知向量(vec{a})，(vec{b})的夹角为(cfrac{pi}{4})，(|vec{b}|=cfrac{sqrt{2}}{2})，且对于任意的(xin R)，都有(|vec{b}+xvec{a}|geqslant |vec{b}-vec{a}|)，则(|vec{a}|)=_____________。

分析：由于对于任意的(xin R)，都有(|vec{b}+xvec{a}|geqslant |vec{b}-vec{a}|)，

则(|vec{b}+xvec{a}|^2geqslant |vec{b}-vec{a}|^2)对于任意的(xin R)都成立，

即((vec{b}+xvec{a})^2geqslant (vec{b}-vec{a})^2)对于任意的(xin R)都成立，

即(vec{b}^2+2xvec{a}cdotvec{b}+x^2cdot vec{a}^2geqslant vec{b}^2+vec{a}^2-2vec{a}cdotvec{b})，

即(vec{a}^2cdot x^2+2cdot |vec{a}|cdot cfrac{sqrt{2}}{2}cdot cfrac{sqrt{2}}{2}x+2cdot |vec{a}|cdot cfrac{sqrt{2}}{2}cdot cfrac{sqrt{2}}{2}-vec{a}^2geqslant0)，

由于(vec{a} eq vec{0})，故上式是关于(x)的二次不等式，注意：(vec{a}^2=|vec{a}|^2)，

即(|vec{a}|^2cdot x^2+|vec{a}|cdot x+|vec{a}|-|vec{a}|^2geqslant 0)对于任意的(xin R)都成立，

故(Delta leqslant 0)恒成立，即(Delta=|vec{a}|^2-4|vec{a}|^2(|vec{a}|-|vec{a}|^2)leqslant 0)，

即(1-4(|vec{a}|-|vec{a}|^2)leqslant 0)，即((2|vec{a}|-1)^2leqslant 0)，

又由于((2|vec{a}|-1)^2geqslant 0)，故只能((2|vec{a}|-1)^2=0)，

即(|vec{a}|=cfrac{1}{2})。