前言
三角函数是研究以实数[或者以角为自变量,角与实数之间是一一对应的]为自变量,以函数值为因变量的映射,简单说就是角到实数的映射;反三角函数是研究以实数为自变量,以函数值[或者以角为因变量]为因变量的映射,简单说就是实数到角的映射;同名的三角函数和反三角函数之间是互为反函数的;
正弦与反正弦
(f(x)=arcsin x)的性质列举:
①定义域为([-1,1]);值域为([-cfrac{pi}{2},cfrac{pi}{2}]);
②在([-1,1])上单调递增;③奇函数;④关于点((0,0))对称;
⑤其图像与(y=sin x,xin[-cfrac{pi}{2},cfrac{pi}{2}])的图像关于(y=x)对称;
余弦与反余弦
(g(x)=arccos x)的性质列举:
①定义域为([-1,1]);值域为([0,pi]);
②在([-1,1])上单调递减;③非奇非偶函数;④关于点((0,cfrac{pi}{2}))对称;
⑤其图像与(y=cos x,xin[0,pi])的图像关于(y=x)对称;
正切与反正切
(h(x)=arctan x)的性质列举:
①定义域为((-infty,+infty));值域为((-cfrac{pi}{2},cfrac{pi}{2}));
②在((-infty,+infty))上单调递增;③奇函数;④关于点((0,0))对称;
⑤其图像与(y= an x,xin(-cfrac{pi}{2},cfrac{pi}{2}))的图像关于(y=x)对称;
典例剖析
分析:(arcsin(sincfrac{2pi}{3})=arcsin(cfrac{sqrt{3}}{2})=cfrac{pi}{3});
分析:(arcsin(-cfrac{1}{2})+arccos(-cfrac{sqrt{3}}{2})+arcsin(-sqrt{3}))
(=-cfrac{pi}{6}+cfrac{5pi}{6}-cfrac{pi}{3}=cfrac{pi}{3})
分析:(cfrac{arcsinfrac{sqrt{3}}{2}-arccos(-frac{1}{2})}{arctan(-sqrt{3})})
(=cfrac{frac{pi}{3}-frac{2pi}{3}}{-frac{pi}{3}}=1)
分析:由题可知,直线的斜率(k= an heta=-cfrac{1}{2}),倾斜角为钝角;
引入非零比例因子,可得到(sin heta=m),(cos heta=-2m),由于( hetain [0,pi)),故(m>0),
由(m^2+(-2m)^2=1),得到(m=cfrac{sqrt{5}}{5}),
故有(sin heta=cfrac{sqrt{5}}{5}),(cos heta=-cfrac{2sqrt{5}}{5}),( an heta=-cfrac{1}{2}),
若用反正弦刻画倾斜角,则( heta=pi-arcsin(cfrac{sqrt{5}}{5})),故(A)错误;
若用反余弦刻画倾斜角,则( heta=arccos(-cfrac{2sqrt{5}}{5})),故(B)正确;
若用反正切刻画倾斜角,则( heta=pi-arctan(cfrac{1}{2})),故(C)、(D)错误;
解后反思:①由于(f(x)=arcsin x)为奇函数,故(arcsin(-cfrac{sqrt{5}}{5})=-arcsin(cfrac{sqrt{5}}{5}))为负角;
由于(f(x)=arctan x)为奇函数,故(arctan(-cfrac{1}{2})=-arctan(cfrac{1}{2}))为负角;
②(arctan(-cfrac{1}{2})=-arctan(cfrac{1}{2})),但是(arctan(-cfrac{1}{2}) eq pi-arctan(cfrac{1}{2}))