不等式性质

前言

实数大小

①(a>bLeftrightarrow a-b>0);

②(a=bLeftrightarrow a-b=0);

③(a<bLeftrightarrow a-b<0);

作差法：(left{egin{array}{l}{a-b>0 Leftrightarrow a>b}\{a-b=0 Leftrightarrow a=b}\{a-b<0 Leftrightarrow a<b}end{array} ight.(a,bin R))

对作差的两个实数没有限制；可用于代数式大小比较，函数或数列的单调性判断；

作商法：(left{egin{array}{l}{frac{a}{b}>1 Leftrightarrow a>b}\{frac{a}{b}=1 Leftrightarrow a=b}\{frac{a}{b}<1 Leftrightarrow a<b}end{array} ight.(a,bin R；b>0))

对作商的两个实数有限制；可用于代数式大小比较，函数或数列的单调性判断；

性质列举

①对称性：(a>bLeftrightarrow b<a)；

②传递性：(a>b，b>cRightarrow a>c)；

③可加性：(a>bLeftrightarrow a+c>b+c)；

典例剖析

例5求解(2leqslant 2sqrt{3^2-cfrac{|2+a|^2}{2}}leqslant 6)

分析：约分，得到(1leqslant sqrt{3^2-cfrac{|2+a|^2}{2}} leqslant 3)，

两边平方，得到(1leqslant 9-cfrac{|2+a|^2}{2}leqslant 9)，

两边同加(-9)，得到(-8=1-9leqslant -cfrac{|2+a|^2}{2}leqslant 9-9=0)，

两边同乘以(-1)，得到(0leqslant cfrac{|2+a|^2}{2}leqslant 8)，

整理为(0leqslant|2+a|^2leqslant 16)，

两边同时开平方，得到(0leqslant|2+a|leqslant 4)，

即(|a+2|leqslant 4)，即(-4leqslant a+2leqslant 4)，

解得，(-6leqslant aleqslant 2)；