前言
以下的这些求数列的通项公式的方法都比较小众,不是主流的高考考查方法,在此只是作以整理;
不动点法
山东的一位老师提供,不动点法说明:【百度】
若(f(x)=x),则称(x)为方程的不动点;
令(x=cfrac{1}{2}(x+cfrac{1}{x})),则(x^2=1),解得(x=pm 1)是(f(x)=cfrac{1}{2}(x+cfrac{1}{x}))的两个不动点;
分析:(cfrac{a_{n+1}+1}{a_{n+1}-1}=cfrac{frac{1}{2}cdot frac{a_n^2+1}{a_n}+1}{frac{1}{2}cdot frac{a_n^2+1}{a_n}-1}=cfrac{a_n^2+2a_n+1}{a_n^2+2a_n+1}=ig(cfrac{a_n+1}{a_n-1}ig)^2),
令(b_{n+1}=cfrac{a_{n+1}+1}{a_{n+1}-1}),则上述表达式变形为(b_{n+1}=b_n^2),
对上式两边同时取常用对数,得到(lg b_{n+1}=2lg b_n),
又由于(b_1=cfrac{a_{1}+1}{a_{1}-1}=cfrac{2+1}{2-1}=3),则(lgb_1=lg3),
则数列({lg b_n})为等比数列,首项为(lg3),公比为(2),
故有(lg b_n=(lgb_1)cdot 2^{n-1}=(lg3)cdot 2^{n-1}=2^{n-1}lg3=lg3^{2^{n-1}}),
故(b_n= 3^{2^{n-1}}),即(cfrac{a_n+1}{a_n-1}= 3^{2^{n-1}}),
解得,(a_n=cfrac{3^{2^{n-1}}+1}{3^{2^{n-1}}-1});
其他方法
-
赋值法,如(a_{n+m}=a_ncdot a_m),令(m=1)即(a_{n+1}=a_1cdot a_n),不就是等比数列嘛;
-
赋值法,如(a_{n+m}=a_n+a_m),令(m=1)即(a_{n+1}=a_n+a_1),不就是等差数列嘛;
-
取对数法,如$a_{n+1}=pcdot a_n^m $,p,m 为常数,两边取对数构造等比数列。(考查概率很小很小)
-
解方程法,如(a_n^2-2ncdot a_n - 1 = 0),(a_n>0),解方程即可。 (考查概率很小很小)