倒序相加求和法

前言

等差数列的前(n)项的求和公式推导方法，就是倒序相加求和法。

适用范围

①等差数列；

②更多的体现为对函数性质的考查，尤其是关于中心对称的函数，自然有对称性的数列的求和也可以；

典例剖析

例1【函数性质的应用】定义在(R)上的函数满足(f(cfrac{1}{2}+x)+f(cfrac{1}{2}-x)=2)

求值：(S=f(cfrac{1}{8})+f(cfrac{2}{8})+f(cfrac{3}{8})+cdots+f(cfrac{7}{8}))．

(S=f(cfrac{1}{8})+f(cfrac{2}{8})+f(cfrac{3}{8})+cdots+f(cfrac{7}{8})①)．

(S=f(cfrac{7}{8})+f(cfrac{6}{8})+f(cfrac{5}{8})+cdots+f(cfrac{1}{8})②)．

相加，求和得到(S=7).

例2【函数性质的应用】求值：(S=sin^21^{circ}+sin^22^{circ}+sin^23^{circ}+cdots+sin^288^{circ}+sin^289^{circ})

法1：(sin^21^{circ}+sin^289^{circ}=1)，(sin^22^{circ}+sin^288^{circ}=1)，(cdots)，(sin^244^{circ}+sin^246^{circ}=1)，(sin^245^{circ}=cfrac{1}{2})，

故原式(S=44+cfrac{1}{2}=44.5)。

法2：(S=sin^21^{circ}+sin^22^{circ}+sin^23^{circ}+cdots+sin^288^{circ}+sin^289^{circ})①，

则有(S=sin^289^{circ}+sin^288^{circ}+sin^287^{circ}+cdots+sin^22^{circ}+sin^21^{circ})，

即有(S=cos^21^{circ}+cos^22^{circ}+cos^23^{circ}+cdots+cos^288^{circ}+cos^289^{circ})②，

①+②得到(2S=1+1+1+cdots+1=89)，

则(S=44.5)

例3已知函数(f(x)=x+sinpi x-3)，则(f(cfrac{1}{2017})+f(cfrac{2}{2017})+cdots) (+f(cfrac{4032}{2017})+f(cfrac{4033}{2017}))的值为______.

【观察】：注意到(cfrac{1}{2017}+cfrac{4033}{2017}=cfrac{4034}{2017}=2)，(cfrac{2}{2017}+cfrac{4032}{2017}=cfrac{4034}{2017}=2)，(cdots)，

【归纳】：以上诸多表达式，我们一般不会一一验证，如果我们用(x)和 (2-x)来代表上述不同表达式中的自变量，则到两端等距离的两项的函数值的和就可以归纳为(f(x)+f(2-x))，

【猜想】：是否对任意(x)，都满足(f(x)+f(2-x)=m)((m)为常数)？

【验证】：(f(x)+f(2-x)=x+sinpi x-3+(2-x)+sinpi(2-x)-3)

(=sinpi x+sin(2pi-pi x)-4=sinpi x-sinpi x-4=-4)，

结论：(f(x)+f(2-x)=-4)。

解析：故(f(cfrac{1}{2017})+f(cfrac{2}{2017})+cdots) (+f(cfrac{4032}{2017})+f(cfrac{4033}{2017}))

(=[f(cfrac{1}{2017})+f(cfrac{4033}{2017})]+[f(cfrac{2}{2017})+f(cfrac{4032}{2017})]+cdots+[f(cfrac{2016}{2017})+f(cfrac{2018}{2017})]+f(cfrac{2017}{2017}))

(=2016 imes(-4)+f(1)=-8064+1+0-3=-8066)，故选(D)。

例4【利用类对称性求值】【2017宝鸡中学第一次月考第15题】已知函数(f(x)=frac{x^2}{1+x^2})，则(2f(2)+)(2f(3)+)(cdots+2f(2017))(+f(frac{1}{2})+)(f(frac{1}{3}))(+cdots+f(frac{1}{2017}))(+frac{1}{2^2}f(2)+)(frac{1}{3^2}f(3)+cdots+)(frac{1}{2017^2}f(2017))的值为多少？

分析：从研究函数的特殊性质入手，切入点是给定式子的结构；注意到自变量有(2)和(cfrac{1}{2})，

所以先尝试探究(f(x)+f(frac{1}{x}))，结果，(f(x)+f(frac{1}{x})=frac{x^2}{1+x^2}+cfrac{(frac{1}{x})^2}{1+(frac{1}{x})^2}=1)，

这样就可以将中的一部分求值，剩余其他部分里面的代表为(f(2)+cfrac{1}{2^2}f(2))，

故接下来探究(f(x)+cfrac{1}{x^2}f(x)=)?，结果发现(f(x)+cfrac{1}{x^2}f(x)=cfrac{x^2}{1+x^2}+cfrac{1}{x^2}cdotcfrac{x^2}{1+x^2}=1)，

到此我们以及对整个题目的求解心中有数了，则整个题目的求解思路基本清晰了。

解析：由(f(x)+f(cfrac{1}{x})=1)和(f(x)+cfrac{1}{x^2}f(x)=1)，可将所求式子变形得到：

(2f(2)+2f(3)+cdots+2f(2017)+f(frac{1}{2})+f(frac{1}{3})+cdots+f(frac{1}{2017})+frac{1}{2^2}f(2)) (+frac{1}{3^2}f(3)+cdots+)(frac{1}{2017^2}f(2017))

(={[f(2)+f(frac{1}{2})]+[f(3)+f(frac{1}{3})]+cdots+[f(2017)+f(frac{1}{2017})]}) (+{[f(2)+frac{1}{2^2}f(2)]+[f(3)+frac{1}{3^2}f(3)]+cdots++[f(2017)+frac{1}{2017^2}f(2017)]})

(=2016+2016=4032).