并项求和法

前言

适用范围

①当数列中常含有((-1)^k)或者((-1)^{k+1})等符号数列，则其项常常体现为正负项间隔出现，此时常常常两项(或三项等)并成一组，然后求和；

②或当数列中常含有((-1)^k)或者((-1)^{k+1})等符号数列时，可以考虑将数列认为的分组为奇数项数列和偶数项数列，然后采用分组求和法；

③当数列中含有(a_n+a_{n+1}=f(n))的形式，或者(a_n+a_{n+1}+a_{n+2}=f(n))的形式，可以考虑并项求和。

相关公式

①等差数列的(S_n=cfrac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+cfrac{n(n-1)cdot d}{2})

②等比数列的(S_n=left{egin{array}{l}{na_1，q=1}\{cfrac{a_1cdot (1-q^n)}{1-q}=cfrac{a_1-a_nq}{1-q}，q eq 1}end{array} ight.)

③(1+2+3+cdots+ n=cfrac{n(n+1)}{2})；

④(1+3+5+cdots +(2n-1)=cfrac{[1+(2n-1)]cdot n}{2}=n^2)，注意求和项数为(n)项；

⑤(2+4+6+cdots +2n=cfrac{(2+2n)cdot n}{2}=n^2)，注意求和项数为(n)项；

⑥(1^2+2^2+3^2+cdots+ n^2=cfrac{ncdot (n+1)cdot (2n+1)}{6})；

⑦(1^3+2^3+3^3+cdots+ n^3=[cfrac{n(n+1)}{2}]^2)；

⑧由(a_{n+2}-a_n=2)可知，数列中奇数项成等差，公差为(2)；偶数项成等差，公差为(2)；

⑨由(cfrac{a_{n+2}}{a_n}=2)可知，数列中奇数项成等比，公比为(2)；偶数项成等比，公比为(2)；

运算技巧

①指数运算：

$4^n=(2^2)^n=(2^n)^2;$

$2^n+2^n=2^{n+1};$

$2^{n+1}-2^n=2^n;$

$2^{n}-2^{n-1}=2^{n-1}$；

$2^{n+1}+2^n=3cdot 2^n$；

$2^{-(n+1)}cdot 2=2^{-n}$；

$2^ncdot 2^n=2^{2n}$；

$3^{n-1}-3^n=-2cdot 3^{n-1}$；

$2^{n+1}÷2^n=2;$

$frac{1}{2^n}+frac{1}{2^{n+1}}=frac{3}{2^{n+1}}$；

$3^{n-1}cdot 3^n=3^{2n-1}$；

$2^{n+1}cdot 2^n=2^{2n+1};$

②利用等差数列求项数：

由(a_n=a_1+(n-1)cdot d)，可得项数(n=cfrac{a_n-a_1}{d}+1)，推广得到项数(n=cfrac{a_n-a_m}{d}+m)，

如数列(2^1，2^3，2^5，cdots ，2^{2n-1})的项数的计算，其项数可以利用上标来计算，其上标刚好成等差数列，

项数(r=cfrac{a_n-a_1}{d}+1=cfrac{(2n-1)-1}{3-1}+1=n)；

典例剖析

例1已知(S_n=1-2+3-4+5-6+cdots+(-1)^{n-1}cdot n)，

分析：若数列中包含因子((-1)^n、(-1)^{n-1})，一般和并项求和法建立关联，且常常还需要针对(n)分奇偶讨论。

解析：

当(n)为偶数时，(S_n=1-2+3-4+5-6+cdots+(-1)^{n-1}cdot n)

(=(1-2)+(3-4)+(5-6)+cdots+[(n-1)-n])，

(=(-1) imes cfrac{n}{2})；

当(n)为奇数时，(S_n=1-2+3-4+5-6+cdots+(-1)^{n-1}cdot n)

(=(1-2)+(3-4)+(5-6)+cdots+[(n-2)-(n-1)]+n)，

(=(-1) imes cfrac{n-1}{2}+n=cfrac{n+1}{2})；

例2求和：(-1^2+2^2-3^2+4^2+cdots-99^2+100^2)

法1：采用分组求和法转化如下，

(S=-(1^2+3^2+5^2+cdots+99^2)+(2^2+4^2+6^2+cdots+100^2))，

这样转化后，基于学生的学习实际，此思路基本停滞；

法2：采用并项求和法，转化如下

(S=-1^2+2^2-3^2+4^2+cdots-99^2+100^2)

(=100^2-99^2+98^2-97^2+cdots+2^2-1^2)，

(=(100-99)(100+99)+(98-97)(98+97)+cdots+(2-1)(2+1))

(=(100+99)+(98+97)+cdots+(2+1)=5050)

例3【2018海口调研】【并项求和】设数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，且(a_1=1)，(a_n+a_{n+1}=cfrac{1}{2^n}(nin N^*))，则(S_{2n+3})=____________。

分析：由已知可得，当(n=2)时，(a_2+a_3=cfrac{1}{2^2})，(n=4)时，(a_4+a_5=cfrac{1}{2^4})，

(S_{2n+3}=a_1+(a_2+a_3)+(a_4+a_5)+cdots+(a_{2n}+a_{2n+1})+(a_{2n+2}+a_{2n+3}))

(=1+cfrac{1}{2^2}+cfrac{1}{2^4}+cfrac{1}{2^6}+cdots+cfrac{1}{2^{2n}}+cfrac{1}{2^{2n+2}})

(=(cfrac{1}{2})^0+(cfrac{1}{2})^2+(cfrac{1}{2})^4+(cfrac{1}{2})^6+cdots+(cfrac{1}{2})^{2n}+(cfrac{1}{2})^{2n+2})

(=cfrac{1-[(cfrac{1}{2})^2]^{n+2}}{1-(cfrac{1}{2})^2})

(=cfrac{4}{3}(1-cfrac{1}{4^{n+2}}))；

说明：本题中的项数求法，项数(r=cfrac{(2n+2)-0}{2}+1=n+2)。

例4【2012新课标1卷第16题】已知数列(a_{n+1}+(-1)^ncdot a_n=2n-1)，求(S_{60})的值。

法1：并项求和法[此法运算和思维成本最小]，由于题目中有(n)次方，故针对(n)分奇偶讨论如下：

①当(n)为奇数时，则(n+1)为偶数，

由题目可知(a_{n+1}-a_n=2n-1)，则(a_{n+2}+a_{n+1}=2n+1)^[1]

[解释：(a_{(n+1)+1}+(-1)^{n+1}a_{n+1}=2(n+1)-1)]

两式相减，得到(a_{n+2}+a_n=2)，即从(a_1)开始，相邻两个奇数项为等和数列；

即(a_1+a_3=2)，(a_5+a_7=2)，(a_9+a_{11}=2)，(cdots)，(a_{57}+a_{59}=2)，

故前(60)项中的所有奇数项之和为

(S_{奇}=(a_1+a_3)+(a_5+a_7)+cdots+(a_{57}+a_{59})=15 imes 2=30)；

②当(n)为偶数时，则(n+1)为奇数，

由题目可知(a_{n+1}+a_n=2n-1)，则(a_{n+2}-a_{n+1}=2n+1)[原因同上]，

两式相加，得到(a_{n+2}+a_n=4n)，即每相邻两偶数项之和为等差数列；

故前(60)项中的所有偶数项之和为

(S_{偶}=(a_2+a_4)+(a_6+a_8)+cdots+(a_{58}+a_{60}))

(=4 imes 2+4 imes 6+4 imes 10+cdots+4 imes 58)

(=4(2+6+10+cdots+58))

(=4 imescfrac{(2+58) imes 15}{2}=1800)；

故(S_{60}=1800+30=1830)。

思路2[摘编自网络，学习变形]：从特殊到一般，

对于给出的递推数列，在没有找到更好方法之前，通常可以用特殊值法开路，写出前几项，先归纳，再猜想一般的规律。

设(a_1=a)，由递推公式(a_{n+1}+(-1)^ncdot a_n=2n-1)，

分别令(n=1,2,3,4,cdots)，则有

(a_2=1+a)，(a_3=2-a)，(a_4=7-a)，(a_5=a)，

(a_6=9+a)，(a_7=2-a)，(a_8=15-a)，(a_9=a)，(cdots)，

于是可知，(a_{4k-3}=a)，(a_{4k-2}=a+(8k-7))，(a_{4k-1}=2-a)，(a_{4k}=-a+(8k-1))，^[2]

所以，(a_{4k-3}+a_{4k-2}+a_{4k-1}+a_{4k}=16k-6)，

可知每连续四项之和成等差数列，

则(S_{60}=cfrac{15[10+(16 imes 15-6)]}{2}=1830)；

思路3[摘编自网络，学习变形]：分类讨论，

本题目的难点在于((-1)^n)，于是对其分类讨论，并进行适当的构造以及并项。

当(n)为奇数时，(a_{n+1}-a_n=2n-1)；

当(n)为偶数时，(a_{n+1}+a_n=2n-1)；

于是(a_{4k}+a_{4k-1}+a_{4k-2}+a_{4k-3}=(a_{4k}-a_{4k-1})+2(a_{4k-1}+a_{4k-2})-(a_{4k-2}-a_{4k-3}))^[3]

(=[2(4k-1)-1]+2[2(4k-2)-1]-[2(4k-3)-1]=16k-6)，

可知每连续四项之和成等差数列，

则(S_{60}=cfrac{15[10+(16 imes 15-6)]}{2}=1830)；

思路4[摘编自网络，学习变形]：利用迭代法，

对于给出的递推数列问题，应该关注三个技巧----迭加、迭乘、迭代。特别是迭代法，它是直接反复利用递推公式而进行迭代，可以直接运用，从而使得问题得以解决。

由(a_{n+1}+(-1)^ncdot a_n=2n-1)得到[用(n+1)替换左式中的(n)]，(a_{n+2}+(-1)^{n+1}cdot a_{n+1}=2(n+1)-1)，

则(a_{n+2}=-(-1)^{n+1}cdot a_{n+1}+2n+1)，

(=(-1)^{n}cdot a_{n+1}+2n+1) [将已知式改写为(a_{n+1}=(-1)^{n+1}a_n+2n-1)，代入左式，得到下式]

(=(-1)^n[(-1)^{n+1}a_n+2n-1]+2n+1)

(=-a_n+(-1)^{n}(2n-1)+2n+1)

即(a_{n+2}+a_n=(-1)^{n}(2n-1)+2n+1)

也有(a_{n+3}+a_{n+1}=-(-1)^{n}(2n+1)+2n+3)[让上式中(n+1 ightarrow n)得到]

两式相加得到(a_n+a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}=-2(-1)^n+4n+4)，

设(k)为整数[或令(n=4k+1)]，则

(a_{4k+1}+a_{4k+2}+a_{4k+3}+a_{4k+4}=-2(-1)^{4k+1}+4(4k+1)+4=16k+10)

于是(S_{60}=sumlimits_{k=0}^{14}{(a_{4k+1}+a_{4k+2}+a_{4k+3}+a_{4k+4})})^[4]

(=sumlimits_{k=0}^{14}{(16k+10)}=(16 imes 0+10)+(16 imes 1+10)+(16 imes 2+10)+cdots+(16 imes 14+10))

(=16 imes cfrac{(0+14) imes 15}{2}+150=1830)

思路5[摘编自网络，学习变形]：构造子数列法，

({a_n})既不是等差数列也不是等比数列，但是可以发现其子数列({a_{4k}})，({a_{4k-1}})，({a_{4k-2}})，({a_{4k-3}})是等差数列，于是可对数列({a_n})分项击破，

当(n)为奇数时，(a_{n+1}-a_n=2n-1)；

当(n)为偶数时，(a_{n+1}+a_n=2n-1)；

由(a_{4k+2}-a_{4k-2}=(a_{4k+2}-a_{4k+1})+(a_{4k+1}+a_{4k})-(a_{4k}-a_{4k-1})-(a_{4k-1}+a_{4k-2}))，^[5]

[此处用(a_{4k+2}-a_{4k-2})，是为了求公差；由于前一项为(a_{4k-2})，则其后一项为(a_{4(k+1)-1}=a_{4k+2})；同时紧接着的变形既要保证恒等变形还要有效利用上述条件]；

(=[2(4k+1)-1]+(2 imes 4k-1)-[2(4k-1)-1]-[2(4k-2)-1]=8)，

故数列(a_{4k-2})是等差数列，公差为(8)，首项为(a_2)，所以(a_{4k-2}=a_2+(k-1)8)；

由(a_{4k+4}-a_{4k}=(a_{4k+4}-a_{4k+3})+(a_{4k+3}+a_{4k+2})-(a_{4k+2}-a_{4k+1})-(a_{4k+1}+a_{4k}))，^[6]

[此处用(a_{4k+4}-a_{4k})，是为了求公差；由于前一项为(a_{4k})，则其后一项为(a_{4(k+1)}=a_{4k+4})；同时紧接着的变形既要保证恒等变形还要有效利用上述条件]；

(=[2(4k+3)-1]+[2(4k+2)-1)-[2(4k+1)-1]-[2 imes 4k-1]=8)，

故数列(a_{4k})是等差数列，公差为(8)，首项为(a_4)，所以(a_{4k}=a_4+(k-1)8)；^[7]

同理，(a_{4k+1}-a_{4k-3}=0)，故数列({a_{4k-3}})是常数列，故(a_{4k-3}=a_1)；

(a_{4k+3}-a_{4k-1}=0)，故数列({a_{4k-1}})是常数列，故(a_{4k-1}=a_3)；

又(a_1+a_2+a_3+a_4=(a_4-a_3)+2(a_3+a_2)-(a_2-a_1))

(=(2 imes 3-1)+2(2 imes 2-1)-(2 imes 1-1)=5+6-1=10);

于是({a_n})的前(60)项的和(S_{60})为

(S_{60}=(a_1+a_5+a_9+cdots+a_{57})+(a_2+a_6+a_{10}+cdots+a_{58}))^[8]

(+(a_3+a_7+a_{11}+cdots+a_{59})+(a_4+a_8+a_{12}+cdots+a_{60}))

(=15a_1+(15a_2+840)+15a_3+(15a_4+840))

(=15(a_1+a_2+a_3+a_4)+1680=1830)

思路6[摘编自网络，学习变形]：构造等差数列法，

由上述解法不难看出，本题目的实质是连续四项的和成等差数列，故还可以如下求解：

当(n)为奇数时，(a_{n+1}-a_n=2n-1)；

当(n)为偶数时，(a_{n+1}+a_n=2n-1)；

由(a_{4k+2}-a_{4k-2}=(a_{4k+2}-a_{4k+1})+(a_{4k+1}-a_{4k})-(a_{4k}-a_{4k-1})-(a_{4k-1}+a_{4k-2}))，

(=[2(4k+1)-1]+(2 imes 4k-1)-[2(4k-1)-1]-[2(4k-2)-1]=8)，

故数列(a_{4k-2})是等差数列，公差为(8)，首项为(a_2)，所以(a_{4k-2}=a_2+(k-1)8)；

由(a_{4k+4}-a_{4k}=(a_{4k+4}-a_{4k+3})+(a_{4k+3}+a_{4k+2})-(a_{4k+2}-a_{4k+1})-(a_{4k+1}+a_{4k}))，

(=[2(4k+3)-1]+[2(4k+2)-1)-[2(4k+1)-1]-[2 imes 4k-1]=8)，

故数列(a_{4k})是等差数列，公差为(8)，首项为(a_4)，所以(a_{4k}=a_4+(k-1)8)；

同理，(a_{4k+1}-a_{4k-3}=0)，故数列({a_{4k-3}})是常数列，故(a_{4k-3}=a_1)；

(a_{4k+3}-a_{4k-1}=0)，故数列({a_{4k-1}})是常数列，故(a_{4k-1}=a_3)；

则数列(b_{n+1}=a_{4n+1}+a_{4n+2}+a_{4n+3}+a_{4n+4})

(=a_{4n-3}+a_{4n-2}+a_{4n-1}+a_{4n}+16=b_n+16)， ^[9]

即(b_{n+1}-b_n=16)，又(b_1=a_1+a_2+a_3+a_4=10)，

则数列({b_n})是首项为(10)，公差为(16)的等差数列，

则则(S_{60}=cfrac{15[10+(16 imes 15-6)]}{2}=1830)；

---

1. ↩︎

2. 对数列的下标详细说明如下，
   所有正整数若除以(4)，就会分为四类，余数分别为(0)，(1)，(2)，(3)，
   我们可以将其表达为(4k)，(4k+1)，(4k+2)，(4k+3)，此时(kin N)；
   还可以这样表达为(4k-3)，(4k-2)，(4k-1)，(4k)，此时(kin N^*)；
   故(a_{4k-3})表达的是(a_1)，(a_5)，(a_9)，(cdots)，
   (a_{4k-2})表达的是(a_2)，(a_6)，(a_{10})，(cdots)，
   (a_{4k-1})表达的是(a_3)，(a_7)，(a_{11})，(cdots)，
   (a_{4k})表达的是(a_4)，(a_8)，(a_{12})，(cdots)， ↩︎

3. 上述变形很有特点，这样变形的目的，既要保证恒等变形，还要充分利用上述的条件；
   比如变形((a_{4k}-a_{4k-1}))意味着偶数项减去奇数项，即可以利用(a_{n+1}-a_n=2n-1)；
   故有((a_{4k}-a_{4k-1})=2(4k-1)-1)，其余都同理； ↩︎

4. 由于下标的表示形式，故求和时只能从(0 ightarrow 14)，不能是(1 ightarrow 15)，否则求和会丢掉前面的四项而多算了后面的四项。 ↩︎

5. ↩︎
6. ↩︎

7. 等差数列通项公式的拓展：(a_n=a_m+(n-m)d)；
   此处可以这样理解，数列的公差为(8)，首项为(a_4)，自然能写出(a_4+(k-1)8)，关键是和(a_{?})对应；
   我们知道这个数列的首项应该是(a_4)，故下标应该用(4k)来表达，故(a_{4k}=a_4+(k-1)8)；
   或者这样理解，从原来的母数列中间隔(4)项挑出来的项所组成的新数列的公差为(8)，那么回归到母数列里面，
   相当于原来母数列的公差为(2)[当然母数列不是等差数列]，这样(a_{4k}=a_4+(4k-4) imes 2=a_4+(k-1)8)；
   而不是(a_{4k}=a_4+(4k-4)8)；其他同理； ↩︎

8. 第二组子数列求和，首项是(a_2)，公差为(8)，项数为(15)项，故(S_{2}=15a_2+cfrac{15(15-1)}{2} imes 8=15a_2+840). ↩︎

9. 若(b_{n+1}=a_{4n+1}+a_{4n+2}+a_{4n+3}+a_{4n+4})，用(n-1)替换左式中的(n)，
   则得到(b_{n}=a_{4n-3}+a_{4n-2}+a_{4n-1}+a_{4n})，故有(b_{n+1}-b_n=16)， ↩︎