函数的极值[极值点]

前言

常规思路

给定函数，用导数法求数字系数的函数极值的步骤：

①确定函数的定义域；

②求导数(f'(x))；

③解方程(f'(x)＝0)，求出在函数定义域内的所有根；

④列表检验(f'(x))在(f'(x)＝0)的根(x_0)左右两侧值的符号．

⑤由表格得到极值和极值点；

用导数法求字母系数的函数极值的步骤：

需要分类讨论；每一种情形都对应上述的求解步骤；

相关链接

1、零点和极值点；

有两个极值点求参

例1【姊妹题1】(2017(cdot)安徽合肥模拟)已知函数(f(x)=xlnx-ae^x)有两个极值点，则实数(a)的取值范围是【】

$A.(0，cfrac{1}{e})$ $B.(0，e)$ $C.(cfrac{1}{e}，e)$ $D.(-infty，e)$

【法1】：函数(f'(x)=lnx+1-ae^x=0)有两个变号零点，

即函数(g(x)=lnx+1(x>0))与函数(h(x)=ae^x(x>0))有两个不同的交点；

仿上题的法1，求得两条曲线相切时的(a=cfrac{1}{e})，

结合图像可知，要使两个函数有两个不同的交点，

则有(0< a <cfrac{1}{e})，故选A。

【法2】：函数(f'(x)=lnx+1-ae^x=0)有两个变号零点，

分离参数得到，(a=cfrac{lnx+1}{e^x})，

仿上例法2，求得(0< a <cfrac{1}{e})，故选A。

例2已知函数(f(x)=x(lnx-ax))有两个极值点，求(a)的取值范围【】

$A.(-infty，0)$ $B.(0，cfrac{1}{2})$ $C.(0，1)$ $D.(0，+infty)$

法1：函数(f(x)=x(lnx-ax))有两个极值点，即导函数(f'(x)=lnx+1-2ax)有两个变号零点，

即方程(lnx=2ax-1)有两个不同实数根，即函数(y=lnx)与函数(y=2ax-1)有两个不同的交点，作出图像如右图；

设恒过定点的函数(y=2ax-1)与函数(y=lnx)相切于点((x_0，y_0))，

则(egin{cases}2a=cfrac{1}{x_0}\y_0=2ax_0-1\y_0=lnx_0end{cases})，

解得(x_0=1，y_0=0)，即切点为((1，0))，此时直线的斜率为(k=1)，

由图像可知，要使函数(y=lnx)与函数(y=2ax-1)有两个不同的交点，

则(0<2a<1)，即(ain(0，cfrac{1}{2}))，故选B.

法2：转化为导函数(f'(x)=lnx+1-2ax)有两个变号零点，

分离参数得到，方程(2a=cfrac{lnx+1}{x})有两个不同的实根，

令(g(x)=cfrac{lnx+1}{x})，定义域为(x>0)，(g'(x)=cfrac{-lnx}{x^2})，

则(xin(0，1))时，(g'(x)>0)，函数(g(x))单调递增，

(xin(1，+infty))时，(g'(x)<0)，函数(g(x))单调递减，

故(g(x)_{max}=g(1)=1)，

作出函数(y=g(x))和(y=2a)的图像于同一个坐标系中，

则得到(0<2a<1)，即(ain(0，cfrac{1}{2}))，故选(B).

例3【2019届高三理科数学二轮用题】若函数(f(x)=(a+1)e^{2x}-2e^x+(a-1)x)有两个极值点，则实数(a)的取值范围是【】

$A.(0，cfrac{sqrt{6}}{2})$ $B.(1，+cfrac{sqrt{6}}{2})$ $C.(-cfrac{sqrt{6}}{2}，+cfrac{sqrt{6}}{2})$ $D.(cfrac{sqrt{6}}{3}，1)cup(1，cfrac{sqrt{6}}{2})$

分析：函数(f(x))有两个极值点，则方程(f'(x)=0)有两个不同实根，且是变号实根；

即(f'(x)=2(a+1)e^{2x}-2e^x+(a-1)=0)有两个不同实根，令(e^x=t>0)，

则方程(2(a+1)t^2-2t+(a-1)=0)有两个不同的正实根，

则其必然满足(left{egin{array}{l}{Delta=4-4 imes2(a^2-1)>0}\{-cfrac{-2}{2 imes 2(a+1)}>0}\{cfrac{a-1}{2(a+1)}>0}end{array} ight.)，解得(left{egin{array}{l}{-cfrac{sqrt{6}}{2}<a<cfrac{sqrt{6}}{2}}\{a>1}\{a<-1或a>1}end{array} ight.)，

则(1<a<cfrac{sqrt{6}}{2})。故选(B)。

例4【同源题，2013湖北卷】已知(a)为常数，函数(f(x)=x(lnx-ax))有两个极值点(x_1，x_2(x_1 < x_2))，则【】

$A.f(x_1)>0，f(x_2)>-cfrac{1}{2}$

$B.f(x_1)<0，f(x_2)<-cfrac{1}{2}$

$C.f(x_1)>0，f(x_2)<-cfrac{1}{2}$

$D.f(x_1)<0，f(x_2)>-cfrac{1}{2}$

分析：同于上例2的不完全分离参数法，可以求得函数(f(x))有两个极值点时的条件是(0< a <cfrac{1}{2})，

再者，由两个函数(y=lnx)和(y=2ax-1)有两个交点的图像，可以直观得到(x_1< 1 < x_2)，

且由(f'(x)=lnx-2ax+1=lnx-(2ax-1))，以及图像可知，(f'(x) >0)在((x_1，x_2))上恒成立，

故(f(x))在((x_1，x_2))上单调递增，则有(f(x_1)< f(1) =-a <0)，(f(x_2) > f(1) =-a >-cfrac{1}{2})，

故选(D)。

例5已知函数(f(x)=(2-a)lnx+cfrac{1}{2}x^2-2ax)有两个极值点(x_1，x_2（x_1 eq x_2）)，求实数(a)的取值范围；

【分析】先将题目转化为导函数(y=f'(x))有两个变号零点，再利用导函数的分子函数即二次函数有两个正值的变号零点解答；

【解答】定义域为((0，+∞))，原函数有两个不相等的正的极值点，则导函数(y=f'(x))有两个正值变号零点，

(f'(x)=cfrac{2-a}{x}+x-2a=cfrac{x^2-2ax+2-a}{x})，

令(g(x)=x^2-2ax+2-a)，则需要(left{egin{array}{l}{△>0}\{-cfrac{-2a}{2}>0}\{g(0)>0}end{array} ight.)，

即(left{egin{array}{l}{a<-2，a>1}\{a>0}\{a<2}end{array} ight.)， 即得到(1<a<2)。

练1若函数(f(x)=cfrac{1}{2}x^2-2x+alnx)有两个不同的极值点，则实数(a)的取值范围是___________。

提示：仿照上述例4求解，(ain (0,1))；

存在极值点求参

例6【2018北京卷19题】设函数(f(x)=[ax^2-(3a+1)x+3a+2]e^x)，

(1).若曲线(y=f(x))在点((2，f(2)))处的切线斜率为(0)，求(a)；

分析：(f'(x)=[ax^2-(a+1)x+1]e^x)，

(f'(2)=(2a-1)e^x)，由(f'(2)=0)，解得(a=cfrac{1}{2})，

经检验，(a=cfrac{1}{2})满足题意；

(2).若函数(f(x))在(x=1)处取得极小值，求(a)的取值范围；

法1：为什么想到分类讨论和求导？^[1]

由(1)知，(f'(x)=[ax^2-(a+1)x+1]e^x=(ax-1)(x-1)e^x)，

用(y=(ax-1)(x-1))说明；首先讨论最简单的情形，

当(a=0)时，(xin (-infty,1))时，(f'(x)>0)，(f(x))单调递增；(xin (1,+infty))时，(f'(x)<0)，(f(x))单调递减；

在(x=1)处取到极大值，不符合题意，舍去；

当(a<0)时，令(f'(x)=0)，得到(x=1)或(x=cfrac{1}{a})，且有(cfrac{1}{a}<0<1)

(xin (-infty,cfrac{1}{a}))时，(f'(x)<0)，(f(x))单调递减；(xin (cfrac{1}{a}，1))时，(f'(x)>0)，(f(x))单调递增；(xin (cfrac{1}{a},+infty))时，(f'(x)<0)，(f(x))单调递减；

在(x=1)处取到极大值，不符合题意，舍去；

当(0<cfrac{1}{a}<1)时，即(a>1)，则当(xin (-infty,cfrac{1}{a}))时，(f'(x)>0)，(f(x))单调递增；当(xin (cfrac{1}{a},1))时，(f'(x)<0)，(f(x))单调递减；当(xin (1，+infty))时，(f'(x)>0)，(f(x))单调递增；则(f(x))在(x=1)处取得极小值；符合题意；

当(cfrac{1}{a}=1)时，即(a=1)，则(f'(x)=(x-1)^2e^xgeqslant 0)恒成立，(f(x))在(xin (-infty,+infty))上单调递增，此时无极值，不符题意；

当(cfrac{1}{a}>1)时，即(0<a<1)，则当(xin (-infty,1))时，(f'(x)>0)，(f(x))单调递增；当(xin (1,cfrac{1}{a}))时，(f'(x)<0)，(f(x))单调递减；当(xin (cfrac{1}{a}，+infty))时，(f'(x)>0)，(f(x))单调递增；此时则(f(x))在(x=1)处取得极大值；不符合题意；

综上可知，(a)的取值范围为((1，+infty))；

法2：如果只考虑(x=1)的极值的情形，不计其余，也可简解如下，

由于函数(f(x))在(x=1)处取得极小值，且(f'(x)=[ax^2-(a+1)x+1]e^x=(ax-1)(x-1)e^x)，以及(e^x>0)恒成立，

则需要导函数(f'(x))的图像满足(f'(1)=0)，且导函数在(x=1)处的值满足左负右正；

令(g(x)=(ax-1)(x-1))，故只需要(a>0)，且(cfrac{1}{a}<1)，解得(a>1)，

故(a)的取值范围为((1，+infty))；

例7【2019大同模拟】已知函数(f(x)=cfrac{1+lnx}{x})，若函数(f(x))在区间((a，a+cfrac{1}{2}))上存在极值，求正实数(a)的取值范围；

分析：定义域为((0，+infty))，(f'(x)=-cfrac{lnx}{x^2})

当(xin (0，1))时，(f'(x)>0)，(f(x))单调递增，

当(xin (1，+infty))时，(f'(x)<0)，(f(x))单调递减，

故(x=1)为函数的极大值点，且是唯一极值点；

故必满足(0<a<1<a+cfrac{1}{2})，即(ain (cfrac{1}{2}，1));

例8【2019临汾调研】若函数(f(x)=cfrac{x^3}{3}-cfrac{a}{2}x^2+x+1)在区间((cfrac{1}{2}，3))上有极值点，则(a)的取值范围是【】

$A.(2，cfrac{5}{2})$ $B.[2，cfrac{5}{2})$ $C.(2，cfrac{10}{3})$ $D.[2，cfrac{10}{3})$

分析：函数(f(x))在区间((cfrac{1}{2}，3))上有极值点，等价于(f'(x)=0)有(2)个不相等实根且在区间((cfrac{1}{2}，3))内有根，

由(f'(x)=0)有(2)个不相等实根，则由(Delta >0)，得到(a<-2)或(a>2)；

由(f'(x)=0)在区间((cfrac{1}{2}，3))内有根，即(a=x+cfrac{1}{x})在区间((cfrac{1}{2}，3))内有根，

又(x+cfrac{1}{x}in [2，cfrac{10}{3}))，则(2leqslant a<cfrac{10}{3})，

综上，(a)的取值范围是(ain (2，cfrac{10}{3}))，故选(C)；

例9【2020届高三文科训练】设(ain R)，若函数(f(x)=e^x+ax)有大于零的极值点，则(a)的范围为【】

$A.a <-1$ $B.a>-1$ $C.a>-cfrac{1}{e}$ $D.a<-cfrac{1}{e}$

分析：(f'(x)=e^x+a)，由于函数(f(x)=e^x+ax)有大于零的极值点，

则(f'(x)=e^x+a=0)有大于零的解，即(a=-e^x)在(x>0)上有解，

即(a)的取值范围为函数(y=-e^x(x>0))的值域；

而函数(y=-e^x(x>0))的值域为((-infty，-1))，则(a<-1)，故选(A)。

例10若函数(f(x)=2x^2-lnx)在其定义域的一个子区间((k-1，k+1))内存在最小值，则实数(k)的取值范围是________。

分析：定义域为((0，+infty))，由于(f'(x)=4x-cfrac{1}{x})，令(f'(x)=0)，解得(x=cfrac{1}{2})为极小值点，也是最小值点，

则由(left{egin{array}{l}{k-1geqslant 0，定义域}\{k-1<cfrac{1}{2}<k+1}end{array} ight.)，解得(kin [1，cfrac{3}{2}))；

例11【2019届高三理科数学资料用题】设函数(f(x)=cfrac{e^x}{x^2}-k(cfrac{2}{x}+lnx))，((k)为常数)，

(1)当(kleq 0)时，求函数(f(x))的单调区间；

分析：函数的定义域为((0，+infty))，

(f'(x)=cfrac{e^xcdot x^2-e^xcdot 2x}{x^4}-k(-cfrac{2}{x^2}+cfrac{1}{x}))

(=cfrac{e^x(x-2)}{x^3}-cfrac{kx(x-2)}{x^3}=cfrac{(x-2)(e^x-kx)}{x^3})

【将上述分式看成三个部分，(y=x-2)和(y=e^x-kx)和(y=x^3)，每一个部分的正负必然会影响和决定整体的正负】

注意到(x^3>0)，当(kleq 0)时，(e^x-kx>0)，故我们只需要借助(y=x-2(x>0))的图像，就可以判断(f'(x))的正负。

当(xin (0，2))时，(f'(x)<0)，(f(x))单调递减；

当(xin (2，+infty))时，(f'(x)>0)，(f(x))单调递增；

故单减区间为((0，2))，单增区间为((2，+infty))。

(2)若函数(f(x))在((0，2))内存在两个极值点，求(k)的取值范围。

法1：分类讨论法，

由(1)知，当(kleq 0)时，函数(f(x))在((0，2))内单调递增，

故(f(x))在((0，2))内不存在极值点；

当(k > 0)时，设函数(g(x)=e^x-kx)，(xin (0，+infty))，

由于(g'(x)=e^x-k=e^x-e^{lnk})，

当(xin (0，2))时，(e^x in (1，e^2))，先考虑(g'(x)ge 0)的情形，故由此找到分点(k=1)；

当(0< k leq 1)时，(xin (0，2))时，(g'(x)=e^x-k >0)，

(y=g(x))单调递增，故(g(x)_{min}=g(0)=1>0)；

故函数(f(x))在((0，2))内单调递减，故不存在极值点；

当(k >1)时，则(xin (0，lnk))时，(g'(x)<0)，(g(x))单调递减，

(xin (lnk，+infty))时，(g'(x) >0)，(g(x))单调递增，

所以函数(y=g(x))的最小值为(g(lnk)=k(1-lnk))，

那么函数(f(x))在((0，2))内存在两个极值点应该等价于函数(g(x))在((0，2))内存在两个极值点，

函数(g(x))在((0，2))内存在两个极值点当且仅当

(left{egin{array}{l}{g(0) >0}\{g(lnk) <0}\{g(2)>0}\{0< lnk <2}end{array} ight.)

即(left{egin{array}{l}{e^0-0>0}\{k(1-lnk) <0}\{e^2-2k >0}\{0< lnk <2}end{array} ight.)

解得(e< k <cfrac{e^2}{2})；

综上所述，函数(f(x))在((0，2))内存在两个极值点，则(kin (e，cfrac{e^2}{2}))。

法2：由于函数(f(x))在((0，2))内存在两个极值点，

则函数(y=f'(x))在区间((0，2))内存在两个零点，且为变号零点，

又(f'(x)=cfrac{(x-2)(e^x-kx)}{x^3})，则方程(f'(x)=cfrac{(x-2)(e^x-kx)}{x^3}=0)在((0，2))内有两个不同的实根，

由于(xin (0，2))，即方程(e^x-kx=0)在((0，2))内有两个不同的实根，

分离参数，即方程(k=cfrac{e^x}{x})在((0，2))内有两个不同的实根，

即函数(y=k)和函数(h(x)=cfrac{e^x}{x})的图像在((0，2))内有两个不同的交点，

函数(y=h(x))的定义域为((-infty，0)cup(0，+infty))，

由于(h'(x)=cfrac{e^xcdot x-e^xcdot 1}{x^2}=cfrac{e^x(x-1)}{x^2})，

故(xin (-infty，0))时，(h'(x)<0)，(h(x))单调递减，

(xin (0，1))时，(h'(x)<0)，(h(x))单调递减，

(xin (1，+infty))时，(h'(x)>0)，(h(x))单调递增，

又由于(h(1)=e)，根据以上做出函数(h(x))的简图如下，

注意，本题目中只需要关注(h(x))的(xin (0，2))这一段，

由图像可知，两个函数的图像在((0，2))内要有两个不同的交点，则(kin (e，cfrac{e^2}{2}))。

故函数(f(x))在((0，2))内存在两个极值点，则(kin (e，cfrac{e^2}{2}))。

例12已知(|vec{a}|=2|vec{b}|)，(|vec{b}| eq 0)，且关于(x)的函数(f(x)=cfrac{1}{3}x^3+cfrac{1}{2}|vec{a}|x^2+vec{a}cdot vec{b}x)在(R)上有极值，则(vec{a})与(vec{b})的夹角范围是【】

$A.[0，cfrac{pi}{6})$ $B.(cfrac{pi}{3}，pi]$ $C.(cfrac{pi}{3}，cfrac{2pi}{3}]$ $D.(cfrac{pi}{6}，pi]$

分析：函数(f(x)=cfrac{1}{3}x^3+cfrac{1}{2}|vec{a}|x^2+vec{a}cdot vec{b}x)在(R)上有极值，

其充要条件是其导函数(y=f'(x))存在变号零点，

(f'(x)=x^2+|vec{a}|x+vec{a}cdot vec{b})，其(Delta =|vec{a}|^2-4vec{a}cdot vec{b}>0)，

设(vec{a})与(vec{b})的夹角为( heta)，

则(4|vec{b}|^2-4 imes 2|vec{b}| cdot |vec{b}| cos heta>0)，

即(cos heta<cfrac{1}{2})，由于( hetain [0，pi])，

所以( heta in (cfrac{pi}{3}，pi])，故选(B)。

例13若函数(f(x)=x^4-ax^3+x^2-2)有且仅有一个极值点，则实数(a)的取值范围是___________。

分析：(f'(x)=4x^3-3ax^2+2x=x(4x^2-3ax+2))，

函数(f(x)=x^4-ax^3+x^2-2)有且仅有一个极值点，

其充要条件是因子函数(h(x)=4x^2-3ax+2)不存在变号零点，

即(Delta=9a^2-32leq 0)，解得(-cfrac{4sqrt{2}}{3}leq xleq cfrac{4sqrt{2}}{3})，

即(ain [-cfrac{4sqrt{2}}{3}，cfrac{4sqrt{2}}{3}])。

例14【2019届高三理科数学三轮用题】已知函数(f(x)=cfrac{1}{2}x^2+(a-e)x-aelnx+b)，(其中(a，bin R)，(e)为自然对数的底数)在(x=e)处取得极大值，则实数(a)的取值范围是【】

$A.(-infty，0)$ $B.[0，+infty)$ $C.[-e，0)$ $D.(-infty，-e)$

分析：(f'(x)=x+(a-e)-cfrac{ae}{x}=cfrac{x^2+(a-e)x-ae}{x}=cfrac{(x+a)(x-e)}{x})，

做出分子函数的简图，由图可知，(-a>e)，解得(a<-e)，故选(D)。

讨论极值点个数

例15【2019渭南模拟改编】已知函数(f(x)=lnx-ax(ain R))，试讨论函数(f(x))在定义域内的极值点个数；

分析：定义域为((0，+infty))，(f'(x)=cfrac{1}{x}-a=cfrac{1-ax}{x}(x>0))，[用图像说明]

当(aleqslant 0)时，(f'(x)>0)在((0，+infty))上恒成立，

故(f(x))在((0，+infty))上单调递增，此时函数无极值点；

当(a>0)时，令(f'(x)=0)得到(x=cfrac{1}{a})，

则(xin (0，cfrac{1}{a}))时，(f'(x)>0)，(f(x))单调递增，

(xin (cfrac{1}{a}，+infty))时，(f'(x)<0)，(f(x))单调递减，

故函数在(x=cfrac{1}{a})处有极大值，无极小值；

综上所述，当(aleqslant 0)时，函数(f(x))无极值点；

当(a>0)时，函数(f(x))有一个极大值点(x=cfrac{1}{a})，无极小值点。

例16【2019豫南九校质量考评】若函数(f(x)=x(x-c)^2)在(x=2)处有极小值，则常数(c)的值为【】

$A.4$ $B.2或6$ $C.2$ $D.6$

分析：(f'(x)=3x^2-4cx+c^2)，又函数(f(x)=x(x-c)^2)在(x=2)处有极小值，

则(f'(2)=3 imes2^2-8c+c^2=0)，解得(c=2)或(c=6)，接下来验证如下：

当(c=2)时，(f'(x)=3x^2-8x+4=(3x-2)(x-2))，故(f(x))在(x=2)处有极小值，符合题意；

当(c=6)时，(f'(x)=3x^2-24x+36=(3x-6)(x-6))，故(f(x))在(x=2)处有极大值，不符合题意；

故(c=2)，则选(C)。

例17【2019郑州质检】若函数(f(x))存在(n-1(nin N^*))个极值点，则称函数(f(x))为(n)折函数，例如函数(f(x)=x^2)为(2)折函数，已知函数(f(x)=(x+1)e^x-x(x+2)^2)，则(f(x))为【】折函数；

$A.2$ $B.3$ $C.4$ $D.5$

分析：(f'(x)=(x+2)e^x-(x+2)(3x+2)=(x+2)(e^x-3x-2))，

令(f'(x)=0)，则得到(x=-2)或(e^x=3x+2)

易知(x=-2)为其一个极值点，又(e^x=3x+2)

结合图像可知，(y=e^x)和(y=3x+2)有两个交点，

[还需要验证](e^{-2} eq 3 imes (-2)+3=-4)，

故函数(f(x))有三个极值点，即函数为(4)折函数，故选(C)。

例18【2019届高三理科数学资料用题】已知(a，b)是实数，(1)和(-1)是函数(f(x)=x^3+ax^2+bx)的两个极值点，

(1)求(a、b)的值；

分析：由题目可知，(f'(x)=3x^2+2ax+b)，

则由(left{egin{array}{l}{f'(-1)=3-2a+b=0}\{f'(1)=3+2a+b=0}end{array} ight.)，解得(left{egin{array}{l}{a=0}\{b=-3}end{array} ight.)，

经检验，(f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1))，则(1)和(-1)是函数(f(x))的两个极值点，满足题意。

【解后反思】由于可导函数(f(x))，(f'(x_0)=0)是(x_0)为极值点的必要不充分条件，

故解方程后需要检验。

(2)设函数(g(x))的导函数(g'(x)=f(x)+2)，求(g(x))的极值点。

分析：由题可知，(g'(x)=f(x)+2=x^3-3x+2)，

【试商法，得知(x=1)为函数(g'(x))的零点，故分组分解如下】

(g'(x)=x^3-1-3x+3=(x-1)(x^2+x+1)-3(x-1))

(=(x-1)(x^2+x-2)=(x-1)^2(x+2))，

如果题目是选择或填空题，则利用穿根法做出函数(g'(x))的简图，

由图像可知，(x=1)不是极值点，(x=-2)是极小值点。

解答题时则这样做，

当(xin (-infty，-2))，(g'(x)<0)，则(g(x))单调递减；

当(xin (-2，1))，(g'(x)>0)，则(g(x))单调递增；

当(xin (1，+infty))，(g'(x)>0)，则(g(x))单调递增；

故(x=-2)是函数(g(x))的极小值点，(x=1)不是极值点。

注意：(x=-2)是导函数(y=g'(x))的变号零点，

(x=1)是导函数(y=g'(x))的不变号零点。

例？【2016山东】

暂补充第二问的思路二，

(f'(x)=lnx-2a(x-1))，借助函数(y=lnx)和函数(y=2a(x-1)(a>0))的图像，分类讨论如下：

先需要证明不等式(x-1geqslant lnx)；证明思路

①当(2a=1)时，即(a=cfrac{1}{2})时，(xin (0,+infty))时，(f'(x)=lnx-2a(x-1)leqslant 0)恒成立，故(f(x))在((0,+infty))上单调递减，函数没有极值，不符合题意，舍去；

②当(0<2a<1)时，即(0<a<cfrac{1}{2})时，函数(y=lnx)与函数(y=2a(x-1))有两个交点，其横坐标分别为(1)和(x_0(x_0>1))，

则(xin (0,1))时，(f'(x)=lnx-2a(x-1)< 0)，故(f(x))在((0,+infty))上单调递减，

(xin (1,x_0))时，(f'(x)=lnx-2a(x-1)> 0)，故(f(x))在((0,+infty))上单调递增，

(xin (x_0,+infty))时，(f'(x)=lnx-2a(x-1)< 0)，故(f(x))在((0,+infty))上单调递减，

故在(x=1)处取到极小值，不符题意，舍去；

③当(2a>1)时，即(a>cfrac{1}{2})时，函数(y=lnx)与函数(y=2a(x-1))有两个交点，其横坐标分别为(1)和(x_0(0<x_0<1))，

则(xin (0,x_0))时，(f'(x)=lnx-2a(x-1)< 0)，故(f(x))在((0,+infty))上单调递减，

(xin (x_0,1))时，(f'(x)=lnx-2a(x-1)> 0)，故(f(x))在((0,+infty))上单调递增，

(xin (1,+infty))时，(f'(x)=lnx-2a(x-1)< 0)，故(f(x))在((0,+infty))上单调递减，

故在(x=1)处取到极大值，符合题意；

综上所述，(ain (cfrac{1}{2}，infty))。

待整理

例19已知函数(f(x)=cfrac{1}{2}x+m+cfrac{3}{2x}-lnx(min R))，若(x_1)，(x_2)是函数(g(x)=xcdot f(x))的两个极值点，且(x_1<x_2)，求证：(x_1x_2<1)。

分析：待解答，极值点偏移问题；

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1. 之所以首先想到求导，是因为题目给定的是极值或者极值点，而极值或极值点首先和判断单调性相关联；
   之所以想到分类讨论而不是分离参数的原因是，当参数的取值不同时，导函数的图像也随之不同，导函数的值的正负随之变化，故需要分类讨论。 ↩︎