零点和极值点

前言

虽说零点和极值点都叫点，但是她们和我们平常所说的点(A(1,2))是不一样的，零点和极值点其实都是实数；同类：截距不是距离；

两者区别

零点：是针对函数(f(x))而言的，意思是使得(f(x)=0)的(x)的取值；

比如二次函数(f(x)=x^2-3x+2)，由于(f(x)=x^2-3x+2=0)，解得(x=1)或者(x=2)，故其零点为(x=1)和(x=2)，有两个零点。也就是说零点其实是函数(y=f(x))图像与直线(y=0)交点的横坐标。她又可以分为变号零点和不变号零点。比如函数(f(x)=(x-4)^2)的零点为(x=4)，这个零点就是不变号零点；而刚才(f(x)=x^2-3x+2)的两个零点(x=1)和(x=2)就叫变号零点，

注意：上图中的三个函数都是原函数(f(x))的图像，而不是导函数(f'(x))的图像；

常用的转化关系：涉及数形结合的思想方法。

函数(y=f(x))有(n)个零点 (Longleftrightarrow)

方程(f(x)=0)有(n)个不同的根 (Longleftrightarrow)

两个函数图像(y=f(x))与(y=0)有(n)个不同的交点[穿根交点和相切交点都算数]，

极值点：也是针对函数(f(x))而言的，但她与函数(f(x))和导函数(f'(x))都有关，极值点是导函数的零点；

比如(x_0)为函数(f(x))的极值点，则求极值时必须计算(f(x_0))而不是(f'(x_0))，而(x_0)要成为极值点，则首先必须满足(f'(x_0)=0)且导函数在(x_0)的左右的函数值必须异号；

常用的转化关系：函数(y=f(x))有(n)个极值点 (Longleftrightarrow) 函数(y=f'(x))有(n)个不同的零点(变号零点) (Longleftrightarrow) 两个函数图像(y=f'(x))与(y=0)有(n)个不同的穿根交点而不是相切点，思想方法：数形结合。

两者联系

导函数(f'(x))的变号零点是原函数(f(x))的极值点。导函数(f'(x))的不变号零点不是原函数(f(x))的极值点；

易错情形

当已知函数(f(x))在区间(D)上有极值点时，我们容易错误转化为(f'(x)=0)在区间(D)上有解，但这些解中有些是导函数的相切解，有些是导函数的穿根解，而相切解不能成为极值点。

如上图，(x=4)是导函数的零点，但却是方程(f'(x)=0)的相切解，而不是穿根解；故(x=4)不是原函数的极值点。

具体问题中如何操作，以例说明；

引例【2019(cdot) 临汾调研】若函数(f(x)=cfrac{1}{3}x^3-cfrac{a}{2}x^2+x+1)在区间((cfrac{1}{2},3))上有极值点，则实数(a)的取值范围是【】

$A.(2，cfrac{5}{2})$ $B.[2，cfrac{5}{2})$ $C.(2，cfrac{10}{3})$ $D.[2，cfrac{10}{3})$

法1：函数(f(x)=cfrac{1}{3}x^3-cfrac{a}{2}x^2+x+1)在区间((cfrac{1}{2},3))上有极值点，(f'(x)=x^2-ax+1)，

则(f'(x)=0)有(2)个不同的实根[若(Delta=0)，是一个根，就是相切解，不会成为极值点；若(Delta< 0)，没有根，则没有极值点]且在((cfrac{1}{2},3))上有解[一个解或者两个解]，

则由(Delta=a^2-4>0)，解得(a<-2)或(a>2)①；

由(x^2-ax+1=0)在区间((cfrac{1}{2},3))上有解，分离参数得到(a=x+cfrac{1}{x})在区间((cfrac{1}{2},3))上有解，

而(g(x)=x+cfrac{1}{x})在区间((cfrac{1}{2},3))上的值域为([2，cfrac{10}{3}))，即(g(x)in [2，cfrac{10}{3}))

故(ain [2，cfrac{10}{3}))②，由①②求交集，得到实数(a)的取值范围是((2，cfrac{10}{3}))，故选(C)。

法2：由题可知，(f'(x)=x^2-ax+1=0)在((cfrac{1}{2},3))上有解[可能有漏解]，

①当方程在((cfrac{1}{2},3))内仅有一个穿根解时，由零点存在性定理得到(f'(cfrac{1}{2})cdot f'(3)<0)，

解得(cfrac{5}{2}<a<cfrac{10}{3})；

②当方程在((cfrac{1}{2},3))内有两个穿根解时，则(left{egin{array}{l}{f'(cfrac{1}{2})>0}\{f'(3)>0}\{Delta>0}\{cfrac{1}{2}<cfrac{a}{2}<3}end{array} ight.) 即(left{egin{array}{l}{cfrac{1}{4}-cfrac{a}{2}+1>0}\{9-3a+1>0}\{a^2-4>0}\{cfrac{1}{2}<cfrac{a}{2}<3}end{array} ight.)

解得(2<a<cfrac{5}{2})；

③(a=cfrac{5}{2})时，(f'(x)=x^2-cfrac{5}{2}x+1=(x-cfrac{1}{2})(x-2))，也满足题意；

综上所述，得到实数(a)的取值范围是((2，cfrac{10}{3}))，故选(C)。

法3：由题可知，(f'(x)=x^2-ax+1=0)在((cfrac{1}{2},3))上有解[可能有增根]，

则方程(x^2+1=ax)在区间((cfrac{1}{2},3))上有解，

则函数(y=x^2+1)和函数(y=ax)在区间((cfrac{1}{2},3))上有交点，

函数(y=x^2+1)在区间((cfrac{1}{2},3))上的图像的两个端点为坐标((cfrac{1}{2},cfrac{5}{4}))和((3,10))，

当(y=ax)与(y=x^2+1)相切时，由(Delta=a^2-4=0)，解得(a=2)，舍去(a=-2)，

当(y=ax)过点((3,10))时，(a=cfrac{10}{3})，

由图像可知两个函数有交点时(ain [2,cfrac{10}{3}))，但(a=2)时是相切解，故排除；

综上所述，得到实数(a)的取值范围是((2，cfrac{10}{3}))，故选(C)。

法4：由题可知，(f'(x)=x^2-ax+1=0)在((cfrac{1}{2},3))上有解[可能有增根]，

则方程(x^2+1=ax)在区间((cfrac{1}{2},3))上有解，即(a=x+cfrac{1}{x})在区间((cfrac{1}{2},3))上有解，

而(g(x)=x+cfrac{1}{x})在区间((cfrac{1}{2},3))上的值域为([2，cfrac{10}{3}))，即(g(x)in [2，cfrac{10}{3}))

故(ain [2，cfrac{10}{3}))，又由于(a=2)时，刚好和函数(y=x+cfrac{1}{x}) (xin (cfrac{1}{2},3))相切，是相切解，排除；

故实数(a)的取值范围是((2，cfrac{10}{3}))，故选(C)。

典例剖析

例1【2017(cdot) 西安模拟】已知函数(f(x)=kx^2-lnx)有两个零点，求参数(k)的取值范围。

$A.k > cfrac{e}{2}$ $B.0< k cfrac{sqrt{2}e}{2}$ $D.0< k

【法1】：不完全分离参数法，数形结合法，定义域为((0，+infty))，转化为方程(kx^2=lnx)有两个不同的实数根，

再转化为函数(y=kx^2)与函数(y=lnx)的图像有两个不同的交点，

如图设两个函数的图像相切于点为((x_0，y_0))，

则有关系式(egin{cases}2kx_0=cfrac{1}{x_0}\kx_0^2=y_0\y_0=lnx_0end{cases})，

解得(y_0=cfrac{1}{2}，x_0=sqrt{e})，即切点为((sqrt{e}，cfrac{1}{2}))，

再代入函数(y=kx^2)，求得此时的(k=cfrac{1}{2e})，

再结合函数(y=kx^2)的系数(k)的作用，可得两个函数要有两个不同的交点，

则(kin(0，cfrac{1}{2e}))。 故选(D).

【法2】：完全分离参数法，定义域为((0，+infty))，转化为方程(kx^2=lnx)有两个不同的实数根，

再转化为(k=cfrac{lnx}{x^2})有两个不同的实数根，

再转化为函数(y=k)和函数(y=g(x)=cfrac{lnx}{x^2})的图像有两个不同的交点，

用导数研究函数(g(x))的单调性，(g'(x)=cfrac{cfrac{1}{x}cdot x^2-lnxcdot 2x}{(x^2)^2}=cfrac{1-2lnx}{x^3})，

令(1-2lnx>0)，得到(0< x<sqrt{e})，令(1-2lnx<0)，得到(x >sqrt{e})，

即函数(g(x))在区间((0，sqrt{e}])上单调递增，在([sqrt{e}，+infty))上单调递减，

故(g(x)_{max}=g(sqrt{e})=cfrac{1}{2e})，

作出函数(g(x))和函数(y=k)的简图，由图像可得(k)的取值范围是(kin(0，cfrac{1}{2e}))。 故选(D).

例2【2017(cdot)安徽合肥模拟】已知函数(f(x)=xlnx-ae^x)有两个极值点，则实数(a)的取值范围是【】

$A.(0，cfrac{1}{e})$ $B.(0，e)$ $C.(cfrac{1}{e}，e)$ $D.(-infty，e)$

【法1】：函数(f'(x)=lnx+1-ae^x=0)有两个变号零点，

即函数(g(x)=lnx+1(x>0))与函数(h(x)=ae^x(x>0))有两个不同的交点；

仿上题的法1，求得两条曲线相切时的(a=cfrac{1}{e})，

结合图像可知，要使两个函数有两个不同的交点，

则有(0< a <cfrac{1}{e})，故选(A)。

【法2】：函数(f'(x)=lnx+1-ae^x=0)有两个变号零点，

分离参数得到，(a=cfrac{lnx+1}{e^x})，

仿上例法2，求得(0< a <cfrac{1}{e})，故选(A)。

例1函数(f(x)=cosx-x)在((0，pi))上的单调性是【】

$A.先增后减$ $B.先减后增$ $C.单调递增$ $D.单调递减$

分析：易知(f'(x)=-sinx-1)，(xin (0，pi))，故(f'(x)<0)，则(f(x))在((0，pi))上单调递减，故选(D)。

解后反思：函数(f(x)=cosx-x)的定义域为((-infty，+infty))，(f'(x)=-sinx-1)，

则(xin (-infty，+infty))时，(f'(x)leqslant 0)恒成立，

虽说导函数有无穷个零点，但这些零点都不能连成一个宽度大于零的区间，

故不可能是常函数，即函数(f(x))在((-infty，+infty))上是减函数。