前言
恒成立和能成立命题是高中数学中一个非常重要的知识点，考查频次很高，由于借助这个命题能很好的考查学生的知识理解掌握能力，还能考查学生遇到新问题时的转化化归能力，考查学生思维的灵活性，所以是高考命题人的最爱之一，需要引起学生的广泛关注。而且其涵盖的数学素材很广，一定要认真学习和掌握。
能成立模型
(Aleq f(x))在区间([m，n])上能成立[或有解]，等价于(Aleq f(x)_{max})；(Age f(x))在区间([m，n])上能成立[或有解]，等价于(Age f(x)_{min})；
说明：同上，碰到具体题目可能需要我们进行相应的转化化归，才会变形为上述的形式。
化归为能成立
- ⒈存在性命题常常可以转化为能成立命题；
分析：即二次不等式(x^2+6mx+9m<0)有解，
即(Delta=36m^2-36m>0)，解得(m<0)或者(m>1)；
即(min (-infty，0)cup(1，+infty))。
- ⒉以方程有解的形式给出的，或者给出了方程的解的范围的，又或者以方程成立的形式给出的都可以考虑转化为能成立命题；
分析：方程即(cfrac{1}{x}=lnx+a)，转化为方程(a=cfrac{1}{x}-lnx)，(0< x <1)时有解，令(h(x)=cfrac{1}{x}-lnx，0< x <1)，
用导数求得其单调性，在((0，1))单调递减，值域为((1，+infty))，故实数(a)的取值范围为((1，+infty))。
- ⒊或方程解集、不等式解集不是空集；
分析：具体解法，见下。
- ⒋函数有零点，或两个函数图像有交点
- 5.函数存在单调区间
①若函数(h(x)=f(x)-g(x))存在单调递减区间，求(a)的取值范围；
分析：(h(x)=lnx-cfrac{1}{2}ax^2-2x)，(xin (0,+infty))
所以(h'(x)=cfrac{1}{x}-ax-2)，由于(h(x))在((0,+infty))上存在单调递减区间，
所以当(xin (0,+infty))时，(cfrac{1}{x}-ax-2<0)有解，[注意：转化为(h'(x)leqslant 0)是错误的]
即(a>cfrac{1}{x^2}-cfrac{2}{x})有解，设(G(x)=cfrac{1}{x^2}-cfrac{2}{x})，
所以只要(a>G(x)_{min})即可。
而(G(x)=cfrac{1}{x^2}-cfrac{2}{x}=(cfrac{1}{x}-1)^2-1)，则(G(x)_{min}=-1)，
所以(a>-1)，又由于(a eq 0)，
故(a)的取值范围为((-1,0)cup(0,+infty))。
- ⒍ 以能成立形式给出；
分析：分离参数得到，(a≥cfrac{2}{x}－x)在区间([1,5])上能成立, 转化为求新函数(cfrac{2}{x}－x)在([1,5])上的最小值。
令(g(x)=cfrac{2}{x}－x，g(x)=cfrac{2}{x}－x)在区间 ([1,5])上单调递减，
所以(g(x)_{min}=g(5)=-cfrac{23}{5},)所以(a≥-cfrac{23}{5})即(a)的取值范围是([-cfrac{23}{5}，+infty))
- ⒏以不是单调函数形式给出；或函数在某区间上不单调给出；
分析：由题意知(x>0)，又(f′(x)=1+cfrac{a}{x})，
要使函数(f(x)=x+alnx)不是单调函数，
则需方程(f'(x)=1+cfrac{a}{x}=0)在(x>0)上有解，
即方程(a=-x)在(x>0)上有解，
又函数(g(x)=-x)在(x>0)上的值域是((-infty，0))，故(ain(-infty，0))。
法1：补集思想，(f'(x)=x^2-2x+a)，
若函数(f(x))在([-1，2])上单增，则(f'(x)=x^2-2x+age 0)恒成立，
分离参数得到(age -x^2+2x)恒成立，在([-1，2])上求得函数(f(x)_{max}=1)，故(age 1)；
若函数(f(x))在([-1，2])上单减，则(f'(x)=x^2-2x+aleq 0)恒成立，
分离参数得到(aleq -x^2+2x)恒成立，在([-1，2])上求得函数(f(x)_{min}=-3)，故(aleq -3)；
故取其补集，当(-3< a <1)时，函数(f(x))在区间([-1，2])上不单调。
法2：由题可知(f(x))不单调，则导函数(y=f'(x))在区间([-1，2])上至少有一个变号零点，
当只有一个变号零点时，由(f'(-1)cdot f'(2)< 0)可得，(-3< a< 0)；
当有两个变号零点时，由(egin{cases}f'(-1)>0\f'(2)>0\ Delta >0end{cases})，解得(0< a <1)；
再验证，当(a=0)时，也满足题意，
综上所述，实数(a)的取值范围是((-3，1))。
- ⒐以函数(f(x))存在单调区间的形式给出；
分析：(g(x)=cfrac{1}{3}x^3-cfrac{a}{2}x^2+1+2x)，则(g'(x)=x^2-ax+2)，
由(g(x))在区间((-2，-1))内存在单调递减区间，得到，
(g'(x)=x^2-ax+2<0)在区间((-2，-1))上能成立，
分离参数得到，(a < x+cfrac{2}{x})在区间((-2，-1))上能成立，
而(left(x+cfrac{2}{x} ight)_{max}=-2sqrt{2})，当且仅当(x=cfrac{2}{x})，即(x=-sqrt{2})时取到等号，
故实数(a)的取值范围为((-infty，-2sqrt{2}))。
注意：存在单调递减区间，应该得到(f'(x)<0)能成立，而不是(f'(x)leq 0)能成立。
若(a=-2sqrt{2})，由(g'(x)=x^2+2sqrt{2}x+2=(x+sqrt{2})^2ge 0)恒成立，
则函数(g(x))只能有单调递增区间，不会存在单调递减区间。
- ⒑以存在性命题形式给出；
分析：具体解法，见上。
- ⒒ 以至多至少型命题形式给出；
分析：具体解法，见上。
- ⒓ 以新定义的形式给出；
分析：由题意可知，存在(x_0in (-1,1))，使得(f(x_0)=cfrac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)})，
化简得到，(f(x_0)=m)有解，即(-x_0^2+mx_0+1=m)，
即((x_0-1)m=x_0^2-1)，由于(x_0-1 eq 0)，故转化为(m=x_0+1)在(x_0in(-1,1))上有解，
即需要求函数(y=x_0+1)的值域，而(x_0+1in (0,2))，故(min (0,2)).
转化以后
- 先考虑能否分离参数，参见分离参数法；
如果能，转化为(Age f(x))恒成立，则需要求函数(f(x))的最值，函数如果形式简单，不用导数法，如果复杂，需要用导数法；如果不能，
- 再考虑数形结合，即左右两端的函数中，有一个带有参数，考虑其几何意义。
注意事项
1、有恒字的不一定是恒成立命题，如两个函数图像恒有交点，即两个函数图像至少有一个交点，其实是能成立命题。没有恒字的不一定不是恒成立命题。
2、不等式无解应该等价转化为不等式恒成立。比如，(f(x)< x)在(R)上无解，即意味着不等式(f(x)< x)的解集为(xin varnothing)，那么不等式(f(x)ge x)在(R)上应该是恒成立的，即不等式(f(x)ge x)的解集为(xin R)，
引例，比如不等式(e^x< x)无解，即不等式(e^xge x)的解集为(xin R)，即(xin R)时，不等式(e^x > x)恒成立。
3、注意细节上的变化
若(Aleq f(x))在区间((m，n))上恒成立，等价于(Aleq f(x)_{min})或最小值的极限。
若(A< f(x))在区间((m，n))上恒成立，等价于(Aleq f(x)_{min})或最小值的极限。