• 符号法则及应用


    符号法则

    符号语言:$ab=0Leftrightarrow $ 自然语言(a=0)(b=0)

    符号语言:$ab eq 0Leftrightarrow $ 自然语言(a eq 0)(b eq0)

    符号语言:$abge 0Leftrightarrow $ 自然语言(egin{cases}age 0\bge0 end{cases})(egin{cases}aleq 0\bleq 0 end{cases})

    符号语言:$ableq 0Leftrightarrow $ 自然语言(egin{cases}age 0\bleq 0 end{cases})(egin{cases}aleq 0\bge 0 end{cases})

    符号语言:$a^2+b^2=0Leftrightarrow $ 自然语言(a=0)(b=0)自然语言(a、b)全为零;

    符号语言:$a^2+b^2 eq 0Leftrightarrow $ 自然语言(a eq 0)(b eq 0)自然语言(a、b)不全为零;

    符号语言(a>0,b>0) $Rightarrow $ 自然语言(a+b>0); 即正+正=正;

    符号语言(a<0,b<0) $Rightarrow $ 自然语言(a+b<0); 即负+负=负;

    解不等式中

    例1((x-1) cdot f'(x)>0),可判断函数的单调性;

    分析:由题目可知,(left{egin{array}{l}{x-1>0}\{f'(x)>0}end{array} ight.)(left{egin{array}{l}{x-1<0}\{f'(x)<0}end{array} ight.)

    则得到,当(x>1)时,(f'(x)>0),即函数(f(x))在区间((1,+infty))上单调递增;

    (x<1)时,(f'(x)<0),即函数(f(x))在区间((-infty,1))上单调递减;

    例2解不等式((x^2-3x+2)cdot(x+1)<0)

    法1:穿根法,略;

    法2:分析,原不等式等价于(left{egin{array}{l}{x^2-3x+2>0}\{x+1<0}end{array} ight.)(left{egin{array}{l}{x^2-3x+2<0}\{x+1>0}end{array} ight.)

    解集为((-infty,-1)cup(1,2))

    不等式性质中

    (left{egin{array}{l}{a>b>0}\{c>d>0}end{array} ight.) (Rightarrow) (ac>bd>0)

    用图像解不等式

    例1【用图像解抽象或分段不等式】函数(f(x))是周期为4的偶函数,当(xin[0,2])时,(f(x)=x-1),求不等式(xcdot f(x)>0)([-1,3])上的解集。

    解法思路:利用条件先做出抽象函数的图像,然后读图解不等式

    法1:自己作图如右,读图即可解答,解集为((-1,0)cup(1,3))

    法2:利用积的符号法则求解,

    原不等式等价于(egin{cases}x>0\f(x)>0end{cases})(egin{cases}x<0\f(x)<0end{cases})

    读图即可解答,解集为((-1,0)cup(1,3))

    感悟反思:1、学图像,用图像,天经地义。2、熟练掌握分段函数的图像,对解题很有帮助。

    例2【2020届高三文科数学用题】设函数(y=f(x+1))是定义在((-infty,0)cup(0,+infty))上的偶函数,在区间((-infty,0))上是减函数,且图像经过点((1,0)),则不等式((x-1)cdot f(x)leqslant 0)的解集为______。

    分析:由于(f(x+1))为偶函数,故其满足(f(-x+1)=f(x+1)),则函数(f(x))的对称轴为(x=1)

    可以先做出函数(y=f(x+1))的示意图,再向右平移一个单位得到函数(y=f(x))的示意图如下,

    不等式((x-1)cdot f(x)leqslant 0)可化为(left{egin{array}{l}{x>1}\{f(x)leqslant 0}end{array} ight.)(left{egin{array}{l}{x<1}\{f(x)geqslant 0}end{array} ight.)

    解读图像可知,解集为({xmid xleqslant 0或1<xleqslant 2}),故(xin (-infty,0]cup(1,2]).

    大小比较中

    例2已知(a_1,a_2in (0,1))(M=a_1a_2)(N=a_1+a_2-1),比较(M)(N)的大小;

    分析:由于(a_1,a_2in (0,1)),则(a_1-a<0)(a_2-1<0)

    (M-N=a_1a_2-(a_1+a_2-1)=a_1a_2-a_1-a_2+1=(a_1-1)(a_2-1)>0),故(M>N).

    导数的单调性中

    用不等式性质判断导函数正负

    例9【2019高三理科数学二轮复习用题】若存在(x_0in [e,e^2]),满足(cfrac{x}{lnx}-axleq cfrac{1}{4}),求实数(a)的取值范围;

    分析:由于(x>0),分离参数得到,(age cfrac{1}{lnx}-cfrac{1}{4x}=g(x)),需要求函数(g(x)_{min})

    (g'(x)=cfrac{-frac{1}{x}}{(lnx)^2}+cfrac{1}{4x^2}=-cfrac{1}{x(lnx)^2}+cfrac{1}{4x^2}=cfrac{-4x+(lnx)^2}{4x^2cdot (lnx)^2})

    接下来利用不等式性质判断导函数的分子正负,

    由于(xin [e,e^2]),则(-4xin [-4e^2,-4e]),又(lnxin [1,2])((lnx)^2in [1,4])

    则必有(-4x+(lnx)^2<0),即(g'(x)<0),故(g(x))在区间([e,e^2])上单调递减,

    (g(x)_{min}=g(e^2)=cfrac{1}{2}-cfrac{1}{4e^2}),故(ain [cfrac{1}{2}-cfrac{1}{4e^2},+infty))

    说明:本题目自然还可以使用二阶导来判断一阶导的正负;

    在同一个坐标系中做出几个因子函数的图像,用几个因子函数的图像和符号法则判断导函数的正负

    例4已知函数(f(x)=(x-2)e^x+a(x-1)^2).讨论(f(x))的单调性.

    分析:定义域为(R)(f'(x)=1cdot e^x+(x-2)cdot e^x+2a(x-1)=e^x(x-1)+2a(x-1)=(x-1)(e^x+2a))

    在同一个坐标系中做出函数(y=x-1)[定图]和函数(y=e^x+2a)[动图]的图像,

    根据动图(y=e^x+2a)是否与(x)轴有交点分类讨论如下:[^wh01]

    [^wh01]: 注意分类标准和书写顺序, 先令$2a=0$,确定函数$y=e^x$的位置,然后让$2a>0$,再确定$y=e^x+2a$的位置,发现这两种情形下的$y=e^x+2a>0$恒成立,故可以合二为一; 等讨论完了这种情形后,在讨论$2a<0$,很显然$2ageqslant 0$要简单一些,故首先书写,先确定拿到一部分成绩,稳定心神;

    ①当(2age 0)时,即(age 0)时,恒有(e^x+2a>0)

    (xin (-infty,1))上时,(x-1<0) ,则(f'(x)=(e^x+2a)(x-1)<0),故(f(x))单调递减,

    (xin (1,+infty))上时,(x-1>0) ,则(f'(x)=(e^x+2a)(x-1)>0),故(f(x))单调递增,

    (2a<0)时,即(a<0)时,(y=e^x+2a)(x)轴有交点,令(e^x+2a=0),解得(x=ln(-2a))

    然后针对(ln(-2a))(1)的大小关系继续细分如下,主要是(ln(-2a))(1)分别是两个因子函数的零点;

    ②当(ln(-2a)<1)时,即(-cfrac{e}{2}<a<0)时,

    (xin(-infty,ln(-2a)))时,(e^x+2a<0)(x-1<0),则(f'(x)>0)(f(x))单调递增;

    (xin(ln(-2a),1))时,(e^x+2a>0)(x-1<0),则(f'(x)<0)(f(x))单调递减;

    (xin(1,+infty))时,(e^x+2a>0)(x-1>0),则(f'(x)>0)(f(x))单调递增;

    ③当(ln(-2a)=1)时,即(a=-cfrac{e}{2})时,

    (xin(-infty,1))时,(e^x+2a<0)(x-1<0),则(f'(x)>0)(f(x))单调递增;

    (xin(1,+infty))时,(e^x+2a>0)(x-1>0),则(f'(x)>0)(f(x))单调递增;

    (xin (-infty,+infty))时,恒有(f'(x)ge 0),当且仅当(x=1)时取到等号,故(f(x))单调递增;

    ④当(ln(-2a)>1)时,即(a<-cfrac{e}{2})时,

    (xin(-infty,1))时,(e^x+2a<0)(x-1<0),则(f'(x)>0)(f(x))单调递增;

    (xin(1,ln(-2a)))时,(e^x+2a<0)(x-1>0),则(f'(x)<0)(f(x))单调递减;

    (xin(ln(-2a),+infty))时,(e^x+2a>0)(x-1>0),则(f'(x)>0)(f(x))单调递增;

    综上所述,

    (a<-cfrac{e}{2})时,单增区间为((-infty,1))((ln(-2a),+infty)),单减区间为((1,ln(-2a)))

    (a=-cfrac{e}{2})时,只有单增区间为((-infty,+infty))

    (-cfrac{e}{2}<a<0)时,单增区间为((-infty,ln(-2a)))((1,+infty)),单减区间为((ln(-2a),1))

    (age 0)时,单减区间为((-infty,1)),单增区间为((1,+infty))

    导数中用图像判断单调性

    • 用图像确定(f'(x))的正负,确定(f(x))的单调性,

    例2【2017聊城模拟】已知函数(y=xf'(x))的图像如图所示(其中(f'(x))是函数(f(x))的导函数),则下面四个图像中,(y=f(x))的图像大致是【】

    分析:由图可知,

    (x<-1)时,(y<0),故由符号法则可知(f'(x)>0)

    (-1<x<0)时,(y>0),故由符号法则可知(f'(x)<0)

    (0<x<1)时,(y<0),故由符号法则可知(f'(x)<0)

    (x>1)时,(y>0),故由符号法则可知(f'(x)>0)

    从而可知当(x<-1)时,(f'(x)>0)(f(x) earrow)

    (-1<x<1)时,(f'(x)<0)(f(x)searrow)

    (x>1)时,(f'(x)>0)(f(x) earrow);故选C。

    充要条件中

    例1【2019河南百校联盟模拟】设(a,bin R),则((a-b)a^2geqslant 0)(ageqslant b)的【】条件。

    $A.充分不必要$ $B.必要不充分$ $C.充要$ $D.既不充分也不必要$

    分析:当(a=0)时,即使(a-b)为正,为负,为零,都有((a-b)a^2geqslant 0),即由((a-b)a^2geqslant 0)不能推出(ageqslant b),即充分性不成立;

    (ageqslant b)时,即(a-bgeqslant 0),由于(a^2geqslant 0),则有((a-b)a^2geqslant 0),故必要性成立;故选(B);

    线性规划中

    • ((x_1,y_1))和点((x_2,y_2))在直线(Ax+By+C=0)的同侧的充要条件是((Ax_1+By_1+C)(Ax_2+By_2+C)>0);在异侧的充要条件是((Ax_1+By_1+C)(Ax_2+By_2+C)<0)

    • 不等式((x-2y+1)(x+y-3)leqslant 0)在坐标系中表示的区域(用阴影部分表示);

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