符号法则及应用

符号法则

符号语言：$ab=0Leftrightarrow $ 自然语言：(a=0)或(b=0)；

符号语言：$ab eq 0Leftrightarrow $ 自然语言：(a eq 0)且(b eq0)；

符号语言：$abge 0Leftrightarrow $ 自然语言：(egin{cases}age 0\bge0 end{cases})或(egin{cases}aleq 0\bleq 0 end{cases})；

符号语言：$ableq 0Leftrightarrow $ 自然语言：(egin{cases}age 0\bleq 0 end{cases})或(egin{cases}aleq 0\bge 0 end{cases})；

符号语言：$a^2+b^2=0Leftrightarrow $ 自然语言：(a=0)且(b=0)； 自然语言：(a、b)全为零；

符号语言：$a^2+b^2 eq 0Leftrightarrow $ 自然语言：(a eq 0)或(b eq 0)； 自然语言：(a、b)不全为零；

符号语言：(a>0,b>0) $Rightarrow $ 自然语言：(a+b>0)； 即正+正=正；

符号语言：(a<0,b<0) $Rightarrow $ 自然语言：(a+b<0)； 即负+负=负；

解不等式中

例1如((x-1) cdot f'(x)>0)，可判断函数的单调性；

分析：由题目可知，(left{egin{array}{l}{x-1>0}\{f'(x)>0}end{array} ight.)或(left{egin{array}{l}{x-1<0}\{f'(x)<0}end{array} ight.)

则得到，当(x>1)时，(f'(x)>0)，即函数(f(x))在区间((1，+infty))上单调递增；

当(x<1)时，(f'(x)<0)，即函数(f(x))在区间((-infty，1))上单调递减；

例2解不等式((x^2-3x+2)cdot(x+1)<0)，

法1：穿根法，略；

法2：分析，原不等式等价于(left{egin{array}{l}{x^2-3x+2>0}\{x+1<0}end{array} ight.)或(left{egin{array}{l}{x^2-3x+2<0}\{x+1>0}end{array} ight.)

解集为((-infty，-1)cup(1，2))；

不等式性质中

例(left{egin{array}{l}{a>b>0}\{c>d>0}end{array} ight.) (Rightarrow) (ac>bd>0)

用图像解不等式

例1【用图像解抽象或分段不等式】函数(f(x))是周期为4的偶函数，当(xin[0，2])时，(f(x)=x-1)，求不等式(xcdot f(x)>0)在([-1，3])上的解集。

解法思路：利用条件先做出抽象函数的图像，然后读图解不等式

法1：自己作图如右，读图即可解答，解集为((-1，0)cup(1，3))；

法2：利用积的符号法则求解，

原不等式等价于(egin{cases}x>0\f(x)>0end{cases})或(egin{cases}x<0\f(x)<0end{cases})，

读图即可解答，解集为((-1，0)cup(1，3))；

感悟反思：1、学图像，用图像，天经地义。2、熟练掌握分段函数的图像，对解题很有帮助。

例2【2020届高三文科数学用题】设函数(y=f(x+1))是定义在((-infty,0)cup(0,+infty))上的偶函数，在区间((-infty,0))上是减函数，且图像经过点((1，0))，则不等式((x-1)cdot f(x)leqslant 0)的解集为______。

分析：由于(f(x+1))为偶函数，故其满足(f(-x+1)=f(x+1))，则函数(f(x))的对称轴为(x=1)，

可以先做出函数(y=f(x+1))的示意图，再向右平移一个单位得到函数(y=f(x))的示意图如下，

不等式((x-1)cdot f(x)leqslant 0)可化为(left{egin{array}{l}{x>1}\{f(x)leqslant 0}end{array} ight.)或(left{egin{array}{l}{x<1}\{f(x)geqslant 0}end{array} ight.)

解读图像可知，解集为({xmid xleqslant 0或1<xleqslant 2})，故(xin (-infty，0]cup(1，2]).

大小比较中

例2已知(a_1，a_2in (0，1))，(M=a_1a_2)，(N=a_1+a_2-1)，比较(M)和(N)的大小；

分析：由于(a_1，a_2in (0，1))，则(a_1-a<0)，(a_2-1<0)，

(M-N=a_1a_2-(a_1+a_2-1)=a_1a_2-a_1-a_2+1=(a_1-1)(a_2-1)>0)，故(M>N).

导数的单调性中

用不等式性质判断导函数正负

例9【2019高三理科数学二轮复习用题】若存在(x_0in [e，e^2])，满足(cfrac{x}{lnx}-axleq cfrac{1}{4})，求实数(a)的取值范围；

分析：由于(x>0)，分离参数得到，(age cfrac{1}{lnx}-cfrac{1}{4x}=g(x))，需要求函数(g(x)_{min})，

(g'(x)=cfrac{-frac{1}{x}}{(lnx)^2}+cfrac{1}{4x^2}=-cfrac{1}{x(lnx)^2}+cfrac{1}{4x^2}=cfrac{-4x+(lnx)^2}{4x^2cdot (lnx)^2})

接下来利用不等式性质判断导函数的分子正负，

由于(xin [e，e^2])，则(-4xin [-4e^2，-4e])，又(lnxin [1，2])，((lnx)^2in [1，4])，

则必有(-4x+(lnx)^2<0)，即(g'(x)<0)，故(g(x))在区间([e，e^2])上单调递减，

故(g(x)_{min}=g(e^2)=cfrac{1}{2}-cfrac{1}{4e^2})，故(ain [cfrac{1}{2}-cfrac{1}{4e^2}，+infty))。

说明：本题目自然还可以使用二阶导来判断一阶导的正负；

在同一个坐标系中做出几个因子函数的图像，用几个因子函数的图像和符号法则判断导函数的正负

例4已知函数(f(x)=(x-2)e^x+a(x-1)^2)．讨论(f(x))的单调性．

分析：定义域为(R)，(f'(x)=1cdot e^x+(x-2)cdot e^x+2a(x-1)=e^x(x-1)+2a(x-1)=(x-1)(e^x+2a))，

在同一个坐标系中做出函数(y=x-1)[定图]和函数(y=e^x+2a)[动图]的图像，

根据动图(y=e^x+2a)是否与(x)轴有交点分类讨论如下：[^wh01]

[^wh01]: 注意分类标准和书写顺序， 先令$2a=0$，确定函数$y=e^x$的位置，然后让$2a>0$，再确定$y=e^x+2a$的位置，发现这两种情形下的$y=e^x+2a>0$恒成立，故可以合二为一； 等讨论完了这种情形后，在讨论$2a<0$，很显然$2ageqslant 0$要简单一些，故首先书写，先确定拿到一部分成绩，稳定心神；

①当(2age 0)时，即(age 0)时，恒有(e^x+2a>0)，

当(xin (-infty，1))上时，(x-1<0) ，则(f'(x)=(e^x+2a)(x-1)<0)，故(f(x))单调递减，

当(xin (1，+infty))上时，(x-1>0) ，则(f'(x)=(e^x+2a)(x-1)>0)，故(f(x))单调递增，

当(2a<0)时，即(a<0)时，(y=e^x+2a)与(x)轴有交点，令(e^x+2a=0)，解得(x=ln(-2a))，

然后针对(ln(-2a))与(1)的大小关系继续细分如下，主要是(ln(-2a))和(1)分别是两个因子函数的零点；

②当(ln(-2a)<1)时，即(-cfrac{e}{2}<a<0)时，

当(xin(-infty，ln(-2a)))时，(e^x+2a<0)，(x-1<0)，则(f'(x)>0)，(f(x))单调递增；

当(xin(ln(-2a)，1))时，(e^x+2a>0)，(x-1<0)，则(f'(x)<0)，(f(x))单调递减；

当(xin(1，+infty))时，(e^x+2a>0)，(x-1>0)，则(f'(x)>0)，(f(x))单调递增；

③当(ln(-2a)=1)时，即(a=-cfrac{e}{2})时，

当(xin(-infty，1))时，(e^x+2a<0)，(x-1<0)，则(f'(x)>0)，(f(x))单调递增；

当(xin(1，+infty))时，(e^x+2a>0)，(x-1>0)，则(f'(x)>0)，(f(x))单调递增；

即(xin (-infty，+infty))时，恒有(f'(x)ge 0)，当且仅当(x=1)时取到等号，故(f(x))单调递增；

④当(ln(-2a)>1)时，即(a<-cfrac{e}{2})时，

当(xin(-infty，1))时，(e^x+2a<0)，(x-1<0)，则(f'(x)>0)，(f(x))单调递增；

当(xin(1，ln(-2a)))时，(e^x+2a<0)，(x-1>0)，则(f'(x)<0)，(f(x))单调递减；

当(xin(ln(-2a)，+infty))时，(e^x+2a>0)，(x-1>0)，则(f'(x)>0)，(f(x))单调递增；

综上所述，

当(a<-cfrac{e}{2})时，单增区间为((-infty，1))和((ln(-2a)，+infty))，单减区间为((1，ln(-2a)))；

当(a=-cfrac{e}{2})时，只有单增区间为((-infty，+infty))；

当(-cfrac{e}{2}<a<0)时，单增区间为((-infty，ln(-2a)))和((1，+infty))，单减区间为((ln(-2a)，1))；

当(age 0)时，单减区间为((-infty，1))，单增区间为((1，+infty))；

导数中用图像判断单调性

• 用图像确定(f'(x))的正负，确定(f(x))的单调性，

例2【2017聊城模拟】已知函数(y=xf'(x))的图像如图所示(其中(f'(x))是函数(f(x))的导函数)，则下面四个图像中，(y=f(x))的图像大致是【】

分析：由图可知，

当(x<-1)时，(y<0)，故由符号法则可知(f'(x)>0)；

当(-1<x<0)时，(y>0)，故由符号法则可知(f'(x)<0)；

当(0<x<1)时，(y<0)，故由符号法则可知(f'(x)<0)；

当(x>1)时，(y>0)，故由符号法则可知(f'(x)>0)；

从而可知当(x<-1)时，(f'(x)>0)，(f(x) earrow)；

当(-1<x<1)时，(f'(x)<0)，(f(x)searrow)；

当(x>1)时，(f'(x)>0)，(f(x) earrow)；故选C。

充要条件中

例1【2019河南百校联盟模拟】设(a,bin R)，则((a-b)a^2geqslant 0)是(ageqslant b)的【】条件。

$A.充分不必要$ $B.必要不充分$ $C.充要$ $D.既不充分也不必要$

分析：当(a=0)时，即使(a-b)为正，为负，为零，都有((a-b)a^2geqslant 0)，即由((a-b)a^2geqslant 0)不能推出(ageqslant b)，即充分性不成立；

当(ageqslant b)时，即(a-bgeqslant 0)，由于(a^2geqslant 0)，则有((a-b)a^2geqslant 0)，故必要性成立；故选(B);

线性规划中

• 点((x_1,y_1))和点((x_2,y_2))在直线(Ax+By+C=0)的同侧的充要条件是((Ax_1+By_1+C)(Ax_2+By_2+C)>0)；在异侧的充要条件是((Ax_1+By_1+C)(Ax_2+By_2+C)<0)；

• 不等式((x-2y+1)(x+y-3)leqslant 0)在坐标系中表示的区域(用阴影部分表示)；