符号法则
符号语言
:$ab=0Leftrightarrow $ 自然语言
:(a=0)或(b=0);
符号语言
:$ab
eq 0Leftrightarrow $ 自然语言
:(a
eq 0)且(b
eq0);
符号语言
:$abge 0Leftrightarrow $ 自然语言
:(egin{cases}age 0\bge0 end{cases})或(egin{cases}aleq 0\bleq 0 end{cases});
符号语言
:$ableq 0Leftrightarrow $ 自然语言
:(egin{cases}age 0\bleq 0 end{cases})或(egin{cases}aleq 0\bge 0 end{cases});
符号语言
:$a^2+b^2=0Leftrightarrow $ 自然语言
:(a=0)且(b=0); 自然语言
:(a、b)全为零;
符号语言
:$a^2+b^2
eq 0Leftrightarrow $ 自然语言
:(a
eq 0)或(b
eq 0); 自然语言
:(a、b)不全为零;
符号语言
:(a>0,b>0) $Rightarrow $ 自然语言
:(a+b>0); 即正+正=正;
符号语言
:(a<0,b<0) $Rightarrow $ 自然语言
:(a+b<0); 即负+负=负;
解不等式中
分析:由题目可知,(left{egin{array}{l}{x-1>0}\{f'(x)>0}end{array} ight.)或(left{egin{array}{l}{x-1<0}\{f'(x)<0}end{array} ight.)
则得到,当(x>1)时,(f'(x)>0),即函数(f(x))在区间((1,+infty))上单调递增;
当(x<1)时,(f'(x)<0),即函数(f(x))在区间((-infty,1))上单调递减;
法1:穿根法,略;
法2:分析,原不等式等价于(left{egin{array}{l}{x^2-3x+2>0}\{x+1<0}end{array} ight.)或(left{egin{array}{l}{x^2-3x+2<0}\{x+1>0}end{array} ight.)
解集为((-infty,-1)cup(1,2));
不等式性质中
用图像解不等式
解法思路:利用条件先做出抽象函数的图像,然后读图解不等式
法1:自己作图如右,读图即可解答,解集为((-1,0)cup(1,3));
法2:利用积的符号法则求解,
原不等式等价于(egin{cases}x>0\f(x)>0end{cases})或(egin{cases}x<0\f(x)<0end{cases}),
读图即可解答,解集为((-1,0)cup(1,3));
感悟反思:1、学图像,用图像,天经地义。2、熟练掌握分段函数的图像,对解题很有帮助。
分析:由于(f(x+1))为偶函数,故其满足(f(-x+1)=f(x+1)),则函数(f(x))的对称轴为(x=1),
可以先做出函数(y=f(x+1))的示意图,再向右平移一个单位得到函数(y=f(x))的示意图如下,
不等式((x-1)cdot f(x)leqslant 0)可化为(left{egin{array}{l}{x>1}\{f(x)leqslant 0}end{array} ight.)或(left{egin{array}{l}{x<1}\{f(x)geqslant 0}end{array} ight.)
解读图像可知,解集为({xmid xleqslant 0或1<xleqslant 2}),故(xin (-infty,0]cup(1,2]).
大小比较中
分析:由于(a_1,a_2in (0,1)),则(a_1-a<0),(a_2-1<0),
(M-N=a_1a_2-(a_1+a_2-1)=a_1a_2-a_1-a_2+1=(a_1-1)(a_2-1)>0),故(M>N).
导数的单调性中
用不等式性质判断导函数正负
分析:由于(x>0),分离参数得到,(age cfrac{1}{lnx}-cfrac{1}{4x}=g(x)),需要求函数(g(x)_{min}),
(g'(x)=cfrac{-frac{1}{x}}{(lnx)^2}+cfrac{1}{4x^2}=-cfrac{1}{x(lnx)^2}+cfrac{1}{4x^2}=cfrac{-4x+(lnx)^2}{4x^2cdot (lnx)^2})
接下来利用不等式性质判断导函数的分子正负,
由于(xin [e,e^2]),则(-4xin [-4e^2,-4e]),又(lnxin [1,2]),((lnx)^2in [1,4]),
则必有(-4x+(lnx)^2<0),即(g'(x)<0),故(g(x))在区间([e,e^2])上单调递减,
故(g(x)_{min}=g(e^2)=cfrac{1}{2}-cfrac{1}{4e^2}),故(ain [cfrac{1}{2}-cfrac{1}{4e^2},+infty))。
说明:本题目自然还可以使用二阶导来判断一阶导的正负;
在同一个坐标系中做出几个因子函数的图像,用几个因子函数的图像和符号法则判断导函数的正负
分析:定义域为(R),(f'(x)=1cdot e^x+(x-2)cdot e^x+2a(x-1)=e^x(x-1)+2a(x-1)=(x-1)(e^x+2a)),
在同一个坐标系中做出函数(y=x-1)[定图]和函数(y=e^x+2a)[动图]的图像,
根据动图(y=e^x+2a)是否与(x)轴有交点分类讨论如下:[^wh01]
①当(2age 0)时,即(age 0)时,恒有(e^x+2a>0),
当(xin (-infty,1))上时,(x-1<0) ,则(f'(x)=(e^x+2a)(x-1)<0),故(f(x))单调递减,
当(xin (1,+infty))上时,(x-1>0) ,则(f'(x)=(e^x+2a)(x-1)>0),故(f(x))单调递增,
当(2a<0)时,即(a<0)时,(y=e^x+2a)与(x)轴有交点,令(e^x+2a=0),解得(x=ln(-2a)),
然后针对(ln(-2a))与(1)的大小关系继续细分如下,主要是(ln(-2a))和(1)分别是两个因子函数的零点;
②当(ln(-2a)<1)时,即(-cfrac{e}{2}<a<0)时,
当(xin(-infty,ln(-2a)))时,(e^x+2a<0),(x-1<0),则(f'(x)>0),(f(x))单调递增;
当(xin(ln(-2a),1))时,(e^x+2a>0),(x-1<0),则(f'(x)<0),(f(x))单调递减;
当(xin(1,+infty))时,(e^x+2a>0),(x-1>0),则(f'(x)>0),(f(x))单调递增;
③当(ln(-2a)=1)时,即(a=-cfrac{e}{2})时,
当(xin(-infty,1))时,(e^x+2a<0),(x-1<0),则(f'(x)>0),(f(x))单调递增;
当(xin(1,+infty))时,(e^x+2a>0),(x-1>0),则(f'(x)>0),(f(x))单调递增;
即(xin (-infty,+infty))时,恒有(f'(x)ge 0),当且仅当(x=1)时取到等号,故(f(x))单调递增;
④当(ln(-2a)>1)时,即(a<-cfrac{e}{2})时,
当(xin(-infty,1))时,(e^x+2a<0),(x-1<0),则(f'(x)>0),(f(x))单调递增;
当(xin(1,ln(-2a)))时,(e^x+2a<0),(x-1>0),则(f'(x)<0),(f(x))单调递减;
当(xin(ln(-2a),+infty))时,(e^x+2a>0),(x-1>0),则(f'(x)>0),(f(x))单调递增;
综上所述,
当(a<-cfrac{e}{2})时,单增区间为((-infty,1))和((ln(-2a),+infty)),单减区间为((1,ln(-2a)));
当(a=-cfrac{e}{2})时,只有单增区间为((-infty,+infty));
当(-cfrac{e}{2}<a<0)时,单增区间为((-infty,ln(-2a)))和((1,+infty)),单减区间为((ln(-2a),1));
当(age 0)时,单减区间为((-infty,1)),单增区间为((1,+infty));
导数中用图像判断单调性
- 用图像确定(f'(x))的正负,确定(f(x))的单调性,
分析:由图可知,
当(x<-1)时,(y<0),故由符号法则可知(f'(x)>0);
当(-1<x<0)时,(y>0),故由符号法则可知(f'(x)<0);
当(0<x<1)时,(y<0),故由符号法则可知(f'(x)<0);
当(x>1)时,(y>0),故由符号法则可知(f'(x)>0);
从而可知当(x<-1)时,(f'(x)>0),(f(x) earrow);
当(-1<x<1)时,(f'(x)<0),(f(x)searrow);
当(x>1)时,(f'(x)>0),(f(x) earrow);故选C。
充要条件中
分析:当(a=0)时,即使(a-b)为正,为负,为零,都有((a-b)a^2geqslant 0),即由((a-b)a^2geqslant 0)不能推出(ageqslant b),即充分性不成立;
当(ageqslant b)时,即(a-bgeqslant 0),由于(a^2geqslant 0),则有((a-b)a^2geqslant 0),故必要性成立;故选(B);
线性规划中
-
点((x_1,y_1))和点((x_2,y_2))在直线(Ax+By+C=0)的同侧的充要条件是((Ax_1+By_1+C)(Ax_2+By_2+C)>0);在异侧的充要条件是((Ax_1+By_1+C)(Ax_2+By_2+C)<0);
-
不等式((x-2y+1)(x+y-3)leqslant 0)在坐标系中表示的区域(用阴影部分表示);