体育赛事中的概率计算问题

前言

了解常用的比赛赛制：三局二胜制，五局三胜制，七局四胜制的规则；理解和掌握文字语言到符号语言，再到概率用语的转化。

赛制理解

引例甲、乙两人进行乒乓球比赛，已知每一局甲胜的概率为(0.4)，乙胜的概率为(0.6)，比赛时可以采用”三局两胜制“和”五局三胜制“两种赛制，问在哪一种赛制下甲获胜的可能性大？

分析：在三局两胜制中，甲获胜的事件包含：只比赛两局“甲胜甲胜”，和比赛三局甲获胜两次，即"甲胜乙胜甲胜"和“乙胜甲胜甲胜”；各局比赛之间相互独立，

故甲胜的概率为(P=0.4 imes 0.4+0.4 imes 0.6 imes 0.4+0.6 imes 0.4 imes 0.4=0.352)；

在五局三胜制中，甲获胜的事件包含：只比赛三局“甲胜甲胜甲胜”，和比赛四局甲获胜三次，即"甲胜乙胜甲胜甲胜"和“乙胜甲胜甲胜甲胜”和“甲胜甲胜乙胜甲胜”，和比赛五局甲获胜三次，即"甲胜乙胜甲胜乙胜甲胜"和“乙胜甲胜乙胜甲胜甲胜”和“甲胜甲胜乙胜乙胜甲胜”和“乙胜乙胜甲胜甲胜甲胜”和“甲胜乙胜乙胜甲胜甲胜”和“乙胜甲胜甲胜乙胜甲胜”；各局比赛之间相互独立，

故甲胜的概率为(P=0.4 imes 0.4 imes 0.4)(+0.4 imes 0.6 imes 0.4 imes 0.4)(+0.6 imes 0.4 imes 0.4 imes 0.4+0.4 imes 0.4 imes 0.6 imes 0.4)(+0.4 imes 0.6 imes 0.4 imes 0.6 imes 0.4+0.6 imes 0.4 imes 0.6 imes 0.4 imes 0.4)(+0.4 imes 0.4 imes 0.6 imes 0.6 imes 0.4+0.6 imes 0.6 imes 0.4 imes 0.4 imes 0.4)(+0.4 imes 0.6 imes 0.6 imes 0.4 imes 0.4+0.6 imes 0.4 imes 0.4 imes 0.6 imes 0.4)

(=0.4^3+3 imes 0.4^3 imes 0.6+6 imes 0.4^2 imes 0.6^2 imes 0.4=0.31744)；

由于(0.352>0.31744)，故三局两胜制下甲获胜的概率更大一些。

我们也可以这样理解，在一局比赛中，甲是出于劣势的，比赛局数越多，劣势累计越明显，故如果采用一把定输赢，相比三局两胜制要更有利于甲。

【思维提升】 上述的解法，我们的思维层次还是比较低的，故会感觉比较繁琐，那么怎么改进这种解法呢？我们借助“排列组合法求二项展开式中项的系数”的求解思路，来模式化简化思维和运算。

比如在甲(underline{2:1})乙(三局两胜制中甲胜两局且甲胜出)中，可以依托((0.4+0.6)^3=(0.4+0.6))((0.4+0.6))((0.4+0.6))的展开式这样思考计算，最后一个括号中必须取(0.4)，剩余的前两个括号中取为(C_2^1 imes 0.4 imes C_1^1 0.6)，即为(C_2^1 imes 0.4 imes 0.6 imes 0.4=2 imes 0.4^2 imes 0.6)；

另解如下：在三局两胜制下，甲获胜的比分为甲(underline{2:0})乙或甲(underline{2:1})乙，

[则分别借助((0.4+0.6)^2)和((0.4+0.6)^3)的展开式来计算]，

故(P_{甲胜}=C_1^1 imes 0.4 imes 0.4+C_2^1 imes 0.4 imes 0.6 imes 0.4=0.352)；

同理，在五局三胜制下，甲获胜的比分为甲(underline{3:0})乙或甲(underline{3:1})乙或甲(underline{3:1})乙，

[则分别借助((0.4+0.6)^3)和((0.4+0.6)^4)和((0.4+0.6)^5)的展开式来计算]，

故(P_{甲胜}=C_2^2 imes 0.4 imes 0.4+C_3^2 imes 0.4^2 imes 0.6 imes 0.4+C_4^2 imes 0.4^2 imes 0.6^2 imes 0.4=0.31744)；

由于(0.352>0.31744)，故三局两胜制下甲获胜的概率更大一些。

同理，在七局四胜制下，甲获胜的比分为甲(underline{4:0})乙或甲(underline{4:1})乙或甲(underline{4:2})乙或甲(underline{4:3})乙，

[则分别借助((0.4+0.6)^4)和((0.4+0.6)^5)和((0.4+0.6)^6)和((0.4+0.6)^7)的展开式来计算]，

故(P_{甲胜}=C_3^3 imes 0.4^3 imes 0.4+C_4^3 imes 0.4^3 imes 0.6 imes 0.4+C_5^3 imes 0.4^3 imes 0.6^2 imes 0.4)

(+C_6^3 imes 0.4^3 imes 0.6^3 imes 0.4=0.289792)；

典例剖析

例1【2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第18题】11分制乒乓球比赛，每赢一个球得(1)分，当某局达成(10：10)平后，每球交换发球权，先多得(2)分的一方获胜，该局比赛结束。甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为(0.5)，乙发球时甲得分的概率为(0.4)，各球的结果相互独立，在某局双方(10：10)平后，甲先发球，两人打了(X)个球该局比赛结束。

(1).求(P(X=2))；

分析：先需要弄清楚(X=2)的含义，然后考虑其对应的实际比赛情形，再对应到概率的计算中。(X=2)意味着(10：10)平后，甲、乙两人又打了(2)个球该局比赛结束，此时的比分为(12：10)或者(10：12)，要么情形一：甲领先乙为(12：10)，要么情形二：乙领先甲为(12：10)；当为情形一时，甲先发球且赢球比分为(11：10)，然后乙发球甲赢球得分(12：10)，比赛结束；当为情形二时，甲先发球且输球比分为(10：11)，然后乙发球且甲输球得分(10：12)，比赛结束；

情形一对应的事件为"甲先发球甲赢球"且“乙发球甲赢球”，这涉及的两个小事件“甲先发球甲赢球”和“乙发球甲赢球”是相互独立事件，则应该相乘，故概率为(0.5 imes0.4)；

情形二对应的事件为"甲先发球甲输球"且“乙发球甲输球”，这涉及的两个小事件“甲先发球甲输球”和“乙发球甲输球”是相互独立事件，则应该相乘，故概率为((1-0.5) imes(1-0.4))；

• 详细正规的解析过程如下，

解析：(X=2)意味着(10：10)平后，甲、乙两人又打了(2)个球该局比赛结束，

令事件(A：)为"甲先发球甲赢球"，事件(B：)为“乙发球甲赢球”，事件(C：)为"甲先发球甲输球"，事件(D：)为“乙发球甲输球”，

则事件(A)，(B)相互独立，(C)，(D)相互独立，且积事件(AB)和(CD)是彼此互斥，且事件(A)，(C)相互对立，事件(B，)D$相互对立，

故(P(x=2)=P(AB+CD)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B)+P(C)P(D))

(=P(A)P(B)+[1-P(A)][1-P(B)]=0.5 imes0.4+(1-0.5) imes(1-0.4)=0.5)；

(2).求事件“(X=4)且甲获胜”的概率。

分析：“(X=4)且甲获胜”，意味着甲乙两人又打了(4)个球，且最后两个球一定必须是甲连续两次赢球，那么前面的两个球可能是“甲赢球乙输球”和“甲输球乙赢球”，故这(4)个球的输赢组合一定只有“甲赢+甲输+甲赢+甲赢”或者“甲输+甲赢+甲赢+甲赢”两种情况，再详细分析得到“甲发球甲赢+乙发球甲输+甲发球甲赢+乙发球甲赢”或者“甲发球甲输+乙发球甲赢+甲发球甲赢+乙发球甲赢”，接下来就可以定义事件，并利用事件关系求解了。

• 详细正规的解析过程如下，

解析：“(X=4)且甲获胜”，意味着甲乙两人又打了(4)个球，且前两个球中甲输一个赢一个，最后两个球一定必须是甲连续两次赢球，

令“甲发球甲赢球”为事件(A)，“乙发球甲赢球”为事件(B)，则“甲发球甲输球”为事件(ar{A})，“乙发球甲输球”为事件(ar{B})，

则事件(A)，(B)相互独立，则(X=4)对应事件(Aar{B}AB+ar{A}BAB)，且事件(Aar{B}AB)和(ar{A}BAB)互斥，

故(P(X=4)且甲赢()=P(Aar{B}AB+ar{A}BAB)=P(A)P(ar{B})P(A)P(B)+P(ar{A})P(B)P(A)P(B))

(=0.5 imes (1-0.4) imes 0.5 imes 0.4+(1-0.5) imes 0.4 imes 0.5 imes 0.4=0.1)

• 更加精简和高效的解答过程组织如下：

解析：设双方(10：10)后的第(k)个球甲获胜为事件(A_k(k=1，2，3，4))，

(1).则(X=2)对应事件“(A_1A_2+ar{A_1}ar{A_2})”，(A_1)，(A_2)相互独立，(A_1A_2)和(ar{A_1}ar{A_2})互斥，

故(P(X=2)=P(A_1A_2+ar{A_1}ar{A_2})=P(A_1)P(A_2)+P(ar{A_1})P(ar{A_2})=0.5 imes0.4+(1-0.5) imes(1-0.4)=0.5)

(2).“(X=4)且甲赢球”对应事件“(A_1ar{A_2}A_3A_4+ar{A_1}A_2A_3A_4)”，(A_1)，(A_2)，(A_3)，(A_4)相互独立，(A_1ar{A_2}A_3A_4)和(ar{A_1}A_2A_3A_4)互斥，

(P(X=4且甲赢)=P(A_1ar{A_2}A_3A_4+ar{A_1}A_2A_3A_4)=P(A_1)P(ar{A_2})P(A_3)P(A_4)+P(ar{A_1})P(A_2)P(A_3)P(A_4))

(=0.5 imes (1-0.4) imes 0.5 imes 0.4+(1-0.5) imes 0.4 imes 0.5 imes 0.4=0.1)

解后反思：相比较而言，我们对概率问题的理解还是不太到位，求解不太顺畅，所以建议做好文字语言到数学语言，再到概率符号语言的转化。训练次数多了，就习惯了。

例3甲乙两人轮流投篮，每人每次投篮一次，先投中者获胜。投篮进行到有人获胜或每人都已经投球3次时结束。设甲每次投篮命中的概率为(cfrac{2}{5})，乙每次投篮命中的概率为(cfrac{2}{3})，且各次投篮互不影响，现由甲先投。

⑴求甲获胜的概率；

⑵求投篮结束时甲的投篮次数(X)的分布列和数学期望。

分析：⑴甲乙每次的投篮结果都是两个，则甲乙两人最多的投篮可能结果列举如下：

甲	乙	甲	乙	甲	乙
Y	Y	Y	Y	Y	Y
N	N	N	N	N	N

由表格可以看出，甲获胜有这些事件：

(A_1:)一次投中；(A_2:)前两次甲乙都未投中，第三次甲投中；

(A_3:)前四次甲乙都未投中，第五次甲投中；

这些事件彼此互斥，甲获胜的事件为(A_1+A_2+A_3)

且(P(A_1)=cfrac{2}{5})，(P(A_2)=cfrac{3}{5} imes cfrac{1}{3} imescfrac{2}{5}=cfrac{2}{25}) ，

(P(A_3)=cfrac{3}{5} imes cfrac{1}{3} imescfrac{3}{5} imes cfrac{1}{3} imescfrac{2}{5}=cfrac{2}{125}) ，

所以(P(A_1+A_2+A_3)=cfrac{2}{5}+cfrac{2}{25}+cfrac{2}{125}=cfrac{62}{125})；

⑵(X)的所有可能取值为(1，2，3).

(X=1)包含甲投篮一次命中和甲第一次未命中而乙命中，(P(X=1)=cfrac{2}{5}+cfrac{3}{5} imescfrac{2}{3}=cfrac{4}{5})；

(X=2)包含前两次甲乙未命中而第三次甲投中和前三次甲乙未命中而第四次乙命中，(P(X=2)=cfrac{3}{5} imescfrac{1}{3} imescfrac{2}{5}+cfrac{3}{5} imescfrac{1}{3} imescfrac{3}{5} imescfrac{2}{3}=cfrac{4}{25})；

(X=3)包含前四次甲乙未命中而第五次甲投中和前五次甲乙未命中而第六次乙命中和六次投篮两人都未投中导致结束，

(P(X=3)=cfrac{3}{5} imescfrac{1}{3} imescfrac{3}{5} imescfrac{1}{3} imescfrac{2}{5})

(+cfrac{3}{5} imescfrac{1}{3} imescfrac{3}{5} imescfrac{1}{3} imescfrac{3}{5} imescfrac{2}{3})

(+cfrac{3}{5} imescfrac{1}{3} imescfrac{3}{5} imescfrac{1}{3} imescfrac{3}{5} imescfrac{1}{3})

(=cfrac{1}{25})；

分布列略；故数学期望为(E(X)=1 imescfrac{4}{5}+2 imescfrac{4}{25}+3 imescfrac{1}{25}=cfrac{31}{25}).

例4甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用七局四胜制，现在的情形是甲胜(3)局，乙胜(2)局，若两人每局获胜的概率相同，则甲获得冠军的概率为【】

$A.cfrac{3}{4}$ $B.cfrac{3}{5}$ $C.cfrac{2}{3}$ $D.cfrac{1}{2}$

分析：由于比分已经是(甲3：2乙)，故只需要甲胜一局为(甲4：2乙)则甲获胜，或者乙胜一局且甲胜一局则比分为(甲4：3乙)则甲胜，

当比分为(甲4：2乙)时，不需要比赛第七局，故此时甲胜的概率为(cfrac{1}{2})，或者(cfrac{1}{2} imes cfrac{1}{2}+cfrac{1}{2} imes cfrac{1}{2}=cfrac{1}{2})；

当比分为(甲3：2乙)时，若甲输一局，进入抢七比赛，此时抢七局中甲必须获胜，故此时甲获胜的概率为(cfrac{1}{2} imes cfrac{1}{2}=cfrac{1}{4})；

以上两种情形是互斥的，故(P_{甲胜}=cfrac{1}{2}+cfrac{1}{2} imes cfrac{1}{2}=cfrac{3}{4})，故选(A).

例5甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用五局三胜制，即五局中先胜三局为赢，若每场比赛中甲获胜的概率为(cfrac{2}{3})，乙获胜的概率为(cfrac{1}{3})，则比赛以甲三胜一负而结束的概率为____________.

分析：在五局三胜制下，以甲三胜一负而结束比赛，意味着比分为(3:1)，即前三次比赛中甲获胜两次失败一场，比分为(甲2：1乙)，但第四场比赛必须甲获胜，

故依托((cfrac{2}{3}+cfrac{1}{3})^4)，可得甲(3:1)获胜的概率为(P=C_3^2 imes (cfrac{2}{3})^2 imes cfrac{1}{3} imes cfrac{2}{3}=cfrac{8}{27}).

例6甲乙两人下棋比赛，规定谁比对方先多胜两局谁就获胜，比赛立即结束；若比赛进行完(6)局还没有分出胜负则判第一局获胜着为最终获胜且结束比赛。比赛过程中，每局比赛中甲获胜的概率为(cfrac{2}{3})，乙获胜的概率为(cfrac{1}{3})，每局比赛相互独立。求下列概率：

(1).比赛两局就结束且甲获胜的概率；

分析：由题可知，总共比赛两局，且着两局都是甲获胜，故(P=cfrac{2}{3} imescfrac{2}{3} imes=cfrac{4}{9});

(2).恰好比赛四局结束的概率；

分析：由题意可知，前两局比赛为平手，第三第四局比赛为同一个人获胜，

甲获胜为(P_1=C_2^1 imes cfrac{2}{3} imes cfrac{1}{3} imes (cfrac{2}{3})^2)；

乙获胜为(P_2=C_2^1 imes cfrac{1}{3} imes cfrac{2}{3} imes (cfrac{1}{3})^2)；

又甲获胜和乙获胜彼此互斥，

故恰好比赛四局结束的概率为(P=P_1+P_2=C_2^1 imes cfrac{2}{3} imes cfrac{1}{3}[(cfrac{1}{3})^2+ (cfrac{2}{3})^2]=cfrac{20}{81});

例7甲乙两个乒乓球选手进行比赛，他们的水平相当，采用七局四胜制比赛，即先赢四局者为胜方，若已知甲先赢了前两局。求下列概率：

(1).乙取胜的概率；

分析：在甲先赢两局的前提下，乙还要取胜包括两种情形：其一，第三局到第六局乙赢四局；其二，第三局到第六局中乙胜三局负一局且第七局乙胜；

第一种情形下，(P_1=cfrac{1}{2} imes cfrac{1}{2} imescfrac{1}{2} imescfrac{1}{2}=cfrac{1}{16});

第二种情形下，(P_2=c_4^3 imes(cfrac{1}{2})^3 imescfrac{1}{2} imescfrac{1}{2}=cfrac{1}{8});

以上两种情形彼此互斥，故所求概率为(P=P_1+P_2=cfrac{3}{16}).

(2).比赛打满七局的概率；

分析：比赛打满七局的结果无外乎甲胜和乙胜，

令“比赛打满七局且甲胜”为事件(A)，“比赛打满七局且乙胜”为事件(B)，且事件(A)，(B)互斥，

则(P(A)=C_4^1 imes (cfrac{1}{2})^1 imes(cfrac{1}{2})^3 imes cfrac{1}{2}=cfrac{1}{8})；

(P(B)=C_4^3 imes (cfrac{1}{2})^3 imes(cfrac{1}{2})^1 imes cfrac{1}{2}=cfrac{1}{8})；

以上两种情形彼此互斥，故所求概率为(P=P(A)+P(B)=cfrac{1}{4}).

(3).设比赛的局数为(X)，则求(X)的分布列和数学期望。

分析：随机变量(X)的所有可能取值为(4)，(5)，(6)，(7)，则

(P(X=4)=cfrac{1}{2} imes cfrac{1}{2}=cfrac{1}{4})；此时为甲胜；

(P(X=5)=C_2^1 imes (cfrac{1}{2})^2 imes cfrac{1}{2}=cfrac{1}{4})；此时为甲胜；

(P(X=6)=C_3^1 imes (cfrac{1}{2})^3 imes cfrac{1}{2}+(cfrac{1}{2})^4=cfrac{1}{4})；此时为甲胜或乙胜；

(P(X=7)=C_4^1 imes (cfrac{1}{2})^1 imes(cfrac{1}{2})^3 imes cfrac{1}{2}+C_4^3 imes (cfrac{1}{2})^3 imes(cfrac{1}{2})^1 imes cfrac{1}{2}=cfrac{1}{4})；此时为甲胜或乙胜；

分布列略，(E(X)=cfrac{11}{2})。

例8【2020届宝鸡市质量检测1理科数学第18题】2019年女排世界杯比赛中，中国女排以(11)战全胜的傲人战绩强势夺冠，充分展现了团结协作、顽强拼搏的女排精神。为了备战(2020)年世界女排联赛分站赛与日本的比赛，根据以往比赛的数据分析可知，前四局比赛中国队获胜的概率都是(cfrac{3}{4})，第五届中国队获胜的概率为(cfrac{2}{3})。假设各局比赛结果相互独立。(赛制规定：两只排球队比赛使用五局三胜制，即先胜三局者获胜，比赛随即结束)

(1).求中国队获胜的概率；

思考：回想生活中的比赛的情形可知，中国队获胜分为以下情形：中(underline{3:0})日；中(underline{3:1})日；中(underline{3:2})日；

[为了能顺利快速写出相关情形，我们建立一个小模型，以中(underline{3:2})日为例，其第五场[最后一场]比赛必须是中国队胜利，故第五场[最后一场]的概率为(cfrac{2}{3})，那么前四场中必然是日本队胜利了两场，具体是哪两场，又成了(4)次独立重复实验中日本队胜利恰好发生(2)次的模型，其他以此类推思考计算即可]，故由此模型得到

(P(中underline{3:0}日)=[C_2^2 imes (cfrac{3}{4})^2 imes (cfrac{1}{4})^0] imes cfrac{3}{4}=cfrac{3}{4} imescfrac{3}{4} imescfrac{3}{4}=cfrac{27}{64}=cfrac{108}{256})，

[注意，为了书写不出错，我们先写第三场的概率(cfrac{3}{4})，前两场看成(2)次独立重复实验中，中国队胜利的事件恰好发生了(2)次，具体计算方式就是上述中括号中的形式，又由于各局比赛是相互独立的，故使用概率乘法公式，其实我们知道各局的比赛多少会有士气上的影响，但此题目是将其作为数学模型来处理，故不需要思考这些情形]

思考清楚了这些情形之后，我们正式作答如下：

解答：设“中国队获胜”为事件(A)，“中国队以(3:0)胜利”为事件(A_1)，“中国队以(3:1)胜利”为事件(A_2)，“中国队以(3:2)胜利”为事件(A_3)，由题目可知各局比赛相互独立，故(A=A_1+A_2+A_3)，

(P(中underline{3:0}日)=[C_2^2 imes (cfrac{3}{4})^2 imes (cfrac{1}{4})^0] imes cfrac{3}{4}=cfrac{3}{4} imescfrac{3}{4} imescfrac{3}{4}=cfrac{27}{64}=cfrac{108}{256})，

(P(中underline{3:1}日)=[C_3^2 imes (cfrac{3}{4})^2 imes (cfrac{1}{4})^1] imes cfrac{3}{4}=cfrac{81}{256})，

(P(中underline{3:2}日)=[C_4^2 imes (cfrac{3}{4})^2 imes (cfrac{1}{4})^2] imes cfrac{2}{3}=cfrac{36}{256})，

所以(P(A)=P(A_1+A_2+A_3)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)=cfrac{225}{256})，

(2).若比赛结果为(3:0)或(3:1)，则胜利方得(3)分，对方得(0)分；若比赛结果为(3:2)，则胜利方得(2)分，对方得(1)分，求日本队得分(X)的分布列和数学期望；

分析：日本队得分(X=0)，即日(underline{0:3})中，日本败即中(underline{3:0})日，中国胜；或日(underline{1:3})中，日本败即中(underline{3:1})日，中国胜；

日本队得分(X=1)，即日(underline{2:3})中，日本败；

日本队得分(X=2)，即日(underline{3:2})中，日本胜；

日本队得分(X=3)，即日(underline{3:0})中，日本胜；或日(underline{3:1})中，日本胜；

故(P(X=0)=P(A_1)+P(A_2)=cfrac{108}{256}+cfrac{81}{256}=cfrac{189}{256})，(P(X=1)=P(A_3)=cfrac{36}{256})，

(P(X=2)=[C_4^2 imes (cfrac{1}{4})^2 imes (cfrac{3}{4})^2] imes cfrac{1}{3}=cfrac{18}{256})，

(P(X=3)=[C_2^2 imes (cfrac{1}{4})^2 imes (cfrac{3}{4})^0] imes cfrac{1}{4}+[C_3^2 imes (cfrac{1}{4})^2 imes (cfrac{3}{4})^1] imes cfrac{1}{4}=cfrac{13}{256})，

故(X)的分布列为

(X)	(0)	(1)	(2)	(3)
(P)	(cfrac{189}{256})	(cfrac{36}{256})	(cfrac{18}{256})	(cfrac{13}{256})

(E(X)=0 imes cfrac{189}{256}+1 imes cfrac{36}{256}+2 imes cfrac{18}{256}+3 imes cfrac{13}{256}=cfrac{111}{256})