计数原理

前言

一、计数原理

• 分类加法计数原理：(N=m_1+m_2+cdots m_n)；

• 分步乘法计数原理：(N=m_1 imes m_2 imescdots imes m_n)；

• 区别：加法原理中，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；乘法原理中各个步骤中的方法是相互依存的，只有各个步骤都完成才能做完这件事；

二、解题策略：

①分清要完成的事情是什么，具体题目中需要我们认真分析确定。

②分清完成该事件是分类完成，还是分步完成；

③有无特殊条件的限制；

④检验是否有重复或遗漏。

二、廓清关系

• 计数原理和排列组合的关系

计数原理统管排列组合，排列组合简化计数原理的步骤。

如5人排成一排，应该用乘法计数原理，(Delta;;Delta;;Delta;;Delta;;Delta)

位置1有5种(或(C_5^1))，位置2有4种(或(C_4^1))，位置3有3种(或(C_3^1))，

位置4有2种(或(C_2^1))，位置5有1种(或(C_1^1))；

故共有不同的排列方法(N=5 imes 4 imes 3 imes 2 imes 1=120)种，

或(N=C_5^1 imes C_4^1 imes C_3^1 imes C_2^1 imes C_1^1=120)种，

但如果有了排列的模型，就可以简化为(N=A_5^5=120)种。

三、典例剖析

例1

乘积((a_1+a_2)(b_1+b_2+b_3)(c_1+c_2+c_3+c_4)(d_1+d_2+d_3+d_4))的展开式中共有不同的项的个数为_____个。

分析：使用分步乘法计数原理，$N=C_2^1cdot C_3^1cdot C_4^1cdot C_4^1=96 $个。

引申例((x^2+2x+3y)^5)的展开式中，含(x^5y^2)的项的系数是多少？

法1：将三项式转化为二项式的形式来处理。

((x^2+2x+3y)^5=[(x^2+2x)+3y]^5)，其通项公式为(T_{r+1}=C_5^r(x^2+2x)^{5-r}(3y)^r)，

由此式可知令(r=2)，则有(T_{2+1}=C_5^2(x^2+2x)^{5-2}(3y)^2=9C_5^2(x^2+2x)^3y^2)，

以下确定(x)的次数，再令((x^2+3x)^3)的通项公式为(T_{k+1}=C_3^k(x^2)^{3-k}(2x)^k=2^kC_3^kx^{6-k})，

由此式可知令(k=1)，则(T_{1+1}=C_3^1(x^2)^{3-1}(2x)^1=2 imes3 x^5)，

故含有(x^5y^2)的项的系数应该是(9C_5^2 imes2 imes3=540).

法2：排列组合法，

((x^2+2x+3y)^5=(x^2+2x+3y)(x^2+2x+3y)(x^2+2x+3y)(x^2+2x+3y)(x^2+2x+3y))，

先分析(x^5y^2)的项的构成方式，在本题中，只能是2次(x^2)，1次(x)，2次(y)构成，

故按照多项式乘法法则可知，我们可以先从5个因式中任意选取二个有(C_5^2)种，在取出的这个因式种只选取项(x^2)；

然后再从剩余的3个因式中任意选取一个有(C_3^1)种，在取出的这个因式中只选取项(2x)；

最后将剩余的2个因式全部选取，有(C_2^2)种，在取出的每个因式种只选取项(3y)；

故有(C_5^2cdot x^2 cdot x^2 cdot C_3^1cdot 2xcdot C_2^2cdot 3ycdot 3y)

(=C_5^2cdot C_3^1cdot C_2^2cdot 2cdot 9cdot x^5y^2=540x^5y^2)。

例2

【映射个数和函数个数模型】给定集合(A={1，2，3})，集合(B={a，b，c，d}) ，求映射(f:A ightarrow B)的个数和映射(f:B ightarrow A)的个数。

分析：依据映射的概念，映射(f:A ightarrow B)需要给集合(A)中的每一个元素(原像)，都找一个确定的对应对象(像)。

此时注意，原像必须有与之对应的唯一的像，但是像不一定必须有原像和她对应。

我们分步完成：先给元素(1)分配对象，每次取一个有(a、b、c、d)四种选择；

再给元素(2)分配对象，每次取一个也有(a、b、c、d)四种选择；

最后给元素(3)分配对象，每次取一个也有(a、b、c、d)四种选择，

允许出现元素(1、2、3)都对应到元素(a)上而其他元素没有原像与之对应的情形出现；

利用乘法原理，映射(f:A ightarrow B)共有(4 imes 4 imes4=4^3)个，即((cardB)^{cardA})个。

同理，映射(f:B ightarrow A)共有(3^4)个，即((cardA)^{cardB})个。

【引申】：若集合(B)为数集，则能构成的函数(f:A ightarrow B)共有(4 imes 4 imes4=4^3)个，

能构成的函数(f:B ightarrow A)共有(3^4)个，若集合(B)不为数集，则所求的函数个数都是(0)个。

原因是：函数是非空数集到非空数集的映射。

例3

(x)，(y)是两个正整数，则满足(x+yleq 10)的数对((x，y))的个数有多少？

分析：使用分类计数原理，

当(x=1)时，(y=1，2，3，4，5，6，7，8，9)，有数对9个；

当(x=2)时，(y=1，2，3，4，5，6，7，8)，有数对8个；

同理可得，当(x=3，4，5，6，7，8，9)时分别有数对(7，6，5，4，3，2，1)个，

根据加法计数原理，共有数对(9+8+cdots 2+1=45)个。

例4

正整数(180)的正约数的个数有_____________个。

分析：(180=2^2 imes 3^2 imes 5)，其正约数的构成是(2^icdot 3^jcdot 5^k)形式的数，其中(i=0，1，2)，(j=0，1，2)，(k=0，1)，故其不同的正约数有(3 imes 3 imes 2=18)个。