圆的方程

方程推导

常见给出方式

• 定义式：(|OA|=r)

• 标准式方程((x-a)^2+(y-b)^2=r^2)；

• 一般式方程(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0(D^2+E^2-4F>0))；

• 直径式方程((x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0)[其中(A(x_1，y_1))、(B(x_2，y_2))是圆直径的两端点坐标]^[1]

• 参数式：(left{egin{array}{l}{x=rcdot cos heta}\{y=rcdot sin heta}end{array} ight.quad) (( heta)为参数) 或((rcdot cos heta，rcdot sin heta))

• 极坐标式：( ho=3， hetain [0，2pi))

• 向量式：已知点(M)为曲线上的动点，点(A,B)为两个定点，且满足关系(overrightarrow{MA}cdotoverrightarrow{MB}=0)，则点(M)的轨迹方程是圆。

运算技巧

配方法，普通方程，极坐标式方程，参数式方程的互化；

典例剖析

例1已知过原点的动直线(l)与圆(C_1：x^2+y^2-6x+5=0)相交于不同的两点(A，B)，

(1)、求直线(l)的斜率(k)的取值范围；

分析：圆的标准方程为((x-3)^2+y^2=2^2)，

故圆心坐标(C_1(3，0))，半径为(r=2)，

设直线(l)的方程为(y=kx)，即(kx-y=0)，

则圆心(C_1)到直线(l)的距离(d=cfrac{|3k|}{sqrt{k^2+1}}< 2)，

解得(-cfrac{2sqrt{5}}{5}< k< cfrac{2sqrt{5}}{5})；

(2)、求线段(AB)的中点(M)的轨迹(C)的方程。

分析【法1】：设直线(AB)的方程为(y=kx)，点(A(x_1，y_1))，(B(x_2，y_2))

与圆(C_1)联立，消(y)得到，((1+k^2)x^2-6x+5=0)，

由(Delta =(-6)^2-4 imes 5(1+k^2)>0)，可得(k^2<cfrac{4}{5})，

由韦达定理可得，(x_1+x_2=cfrac{6}{1+k^2})，

则线段(AB)的中点(M)的轨迹(C)的参数方程为(left{egin{array}{l}{x=cfrac{3}{1+k^2}①}\{y=cfrac{3k}{1+k^2}②}end{array} ight.)，其中(-cfrac{2sqrt{5}}{5}<k<cfrac{2sqrt{5}}{5})，

如何消参数呢？两式相比，得到(y=kx)，即(k=cfrac{y}{x})，代入①变形整理后得到，((x-cfrac{3}{2})^2+y^2=cfrac{9}{4})，

又由于(k^2<cfrac{4}{5})，得到(cfrac{5}{3}<xleq 3)，

故线段(AB)的中点(M)的轨迹(C)的方程为((x-cfrac{3}{2})^2+y^2=cfrac{9}{4})，其中(cfrac{5}{3}<xleq 3)。

【法2】有空，再思考补充 点差法。 ((x_1+x_2)[(x_1-x_2)-6]=-(y_1+y_2)(y_1-y_2))。

例2已知过原点的动直线(l)与圆(C_1：x^2+y^2-6x+5=0)相交于不同的两点(A，B)，已知两点(A(1，0))，(B(0，2))，点(P)是圆((x+1)^2+y^2=1)上的任意一点，则(Delta PAB)的面积的最小值为_______________。

分析：设(Delta PAB)底边(AB)上的高线为(h)，则(S_{Delta PAB}=cfrac{1}{2}cdot AB cdot h)，由于(AB)是定长的，故其面积的最小值取决于(h)的最小值。

【法1】：利用圆的特殊性，用几何方法求解高线的最小值；

【法2】：平行线法，

【法3】：三角函数法+圆的参数方程法

例3【2020宝鸡市质检三文科第10题】已知(F_{1})，(F_{2})是双曲线(cfrac{x^{2}}{a^{2}}-cfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0))的左、右焦点，(P)是双曲线右支上任意一点，(M)是线段(PF_{1})的中点，则以(PF_{1})为直径的圆与圆(x^{2}+y^{2}=a^{2})的位置关系是【】

$A.相离$ $B.相切$ $C.相交$ $D.以上都有可能$

分析：由于点(P)在双曲线右支上，故满足(|PF_1|-|PF_2|=2a)，

又由于(M)是线段(PF_{1})的中点，则(|MF_{1}|=|PM|=cfrac{1}{2}|PF_{1}|)，

又由于(O)是线段(F_{1}F_{2})的中点，则(|MO|=cfrac{1}{2}|PF_{2}|)，则(cfrac{1}{2}|PF_{1}|-cfrac{1}{2}|PF_{2}|=a)，

即得到(|MF_{1}|-|OM|=a)，从而有(|OM|=|MF_{1}|-a)，

即圆心距等于两圆的半径之差，故以线段(PF_{1})为直径的圆与圆(x^{-2}+y^{2}=a^{2})的位置关系是相内切，故选(B).

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1. 可以用向量式证明。设圆上动点为(P(x，y))，则当点(P)不同于点(A)和点(B)时，总有(overrightarrow{AP}cdotoverrightarrow{BP}=0)
   
   而(overrightarrow{AP}=(x-x_1，x-x_2))，(overrightarrow{BP}=(y-y_1，y-y_2))，
   当点(P)和点(A)重合，或和点(B)重合时，也满足上述条件；
   故有((x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0)，即其为圆的直径式方程。[其中圆的直径的端点是(A(x_1，y_1))、(B(x_2，y_2))] ↩︎