方向向量和法向量

前言

直线方向向量

直线的方向向量有两个，其单位向量自然也有两个；与向量(vec{a})共线的单位向量为两个，(pmcfrac{vec{a}}{|vec{a}|})；

• 直线的斜截式为(y=kx+b)，则其一个方向向量可以是(overrightarrow{s}=(1，k))，

解释：直线(y=kx+b)和(y=kx)平行，则其方向向量是一致的，故只研究直线(y=kx)的方向向量，如图所示，

在其图像上取一点(P(1，k))，则(overrightarrow{OP}=vec{s})即为其一条方向向量；其坐标为(vec{s}=(1，k))；自然也可以是((-1,-k))；

• 直线的一般式为(Ax+By+C=0)，则其一个方向向量可以为(overrightarrow{s}=(1，-cfrac{A}{B}))，或(overrightarrow{s}=(B，-A))，或(overrightarrow{s}=(-B，A))

平面的法向量

例1【2017凤翔中学第三次月考理科第19题】如图所示，四棱锥(P-ABCD)中，底面(ABCD)是个边长为2的正方形，侧棱(PAperp)底面(ABCD)，且(PA=2)，(Q)是(PA)的中点。

(1).证明：(BDperp)平面(PAC)；

证明：由于侧棱(PAperp)底面(ABCD)，(BDsubsetneqq)底面(ABCD)，故(PAperp BD)；

又由于(AC)和(BD)是正方形的对角线，则(ACperp BD)，

则(BDperp AC)，(BDperp PA)，(PAcap AC=A)，

(PAsubsetneqq)平面(PAC)，(ACsubsetneqq)平面(PAC)，

故(BDperp)平面(PAC)；

(2).求二面角(C-BD-Q)的余弦值。

分析：由题可知，(AB、AP、AD)两两垂直，以(A)为坐标原点，分别以(AB、AD、AP)所在直线为(x，y，z)轴建立空间直角坐标系，如图所示。

则点(B(2，0，0))，(C(2，2，0))，(D(0，2，0))，(Q(0，0，1))，

所以(overrightarrow{BD}=(-2，2，0))，(overrightarrow{BQ}=(-2，0，1))，

设平面(BDQ)的法向量为(vec{m}=(x，y，z))，则有

(egin{cases}vec{m}perpoverrightarrow{BD}\vec{m}perpoverrightarrow{BQ}end{cases}) (Longrightarrow egin{cases}vec{m}cdotoverrightarrow{BD}=0\vec{m}cdotoverrightarrow{BQ}=0end{cases})

即(egin{cases}-2x+2y=0\-2x+z=0end{cases})，可以取(vec{m}=(1，1，2))

平面(BDC)的法向量为(vec{n}=(0，0，1))，

设二面角(C-BD-Q)为( heta)，由图可知，( heta)为钝角，则有

(cos heta=-|cos<vec{m}，vec{n}>|=-cfrac{vec{m}cdotvec{n}}{|vec{m}||vec{n}|}=-cfrac{2}{sqrt{6}}=-cfrac{sqrt{6}}{3})

所以二面角(C-BD-Q)的余弦值为(-cfrac{sqrt{6}}{3})。

典例剖析

例1若直线(l_1:xcos heta+2y=0)与直线(l_2:3x+ysin heta+3=0)垂直，求值(sin2 heta)=____________.

法1：直线(l_1:xcos heta+2y=0)的斜率(k_1=-cfrac{cos heta}{2})，

直线(l_2:3x+ysin heta+3=0)的斜率(k_2=-cfrac{3}{sin heta})，

由两条直线相互垂直可知，(k_1 imes k_2=-1)，即((-cfrac{cos heta}{2})(-cfrac{3}{sin heta})=-1)

则可以得到，( an heta=-cfrac{3}{2})，

而(sin2 heta=cfrac{2sin hetacos heta}{sin^2 heta+cos^2 heta}=cfrac{2 an heta}{ an^2 heta+1})，

则可得(sin2 heta=cfrac{2 imes (-frac{3}{2})}{(-frac{3}{2})^2+1}=-cfrac{12}{13}).

法2：直线(l_1:xcos heta+2y=0)的方向向量为(vec{u}=(-cos heta，2))，

直线(l_2:3x+ysin heta+3=0)的方向向量为(vec{v}=(-3，sin heta))，

由两条直线相互垂直可知，(vec{u}cdot vec{v}=0)，即((-cos heta) imes (-3)+2 imessin heta=0)

则可以得到，(2sin heta+3cos heta=0)，即( an heta=-cfrac{3}{2})，

而(sin2 heta=cfrac{2sin hetacos heta}{sin^2 heta+cos^2 heta}=cfrac{2 an heta}{ an^2 heta+1})，

则可得(sin2 heta=cfrac{2 imes (-frac{3}{2})}{(-frac{3}{2})^2+1}=-cfrac{12}{13}).

例2[上例变式]若直线(l_1:xcos heta+2y=0)与直线(l_2:xsin heta+3y+3=0)平行，求值(sin2 heta)=____________.

法1：直线(l_1:xcos heta+2y=0)的斜率为(k_1=-cfrac{cos heta}{2})，

直线(l_2:xsin heta+3y+3=0)的斜率(k_2=-cfrac{sin heta}{3})，

由两条直线相互平行可知，(k_1=k_2)，即(-cfrac{cos heta}{2}=-cfrac{sin heta}{3})

则可以知道，( an heta=cfrac{3}{2})，

而(sin2 heta=cfrac{2sin hetacos heta}{sin^2 heta+cos^2 heta}=cfrac{2 an heta}{ an^2 heta+1})，

则可得(sin2 heta=cfrac{2 imes frac{3}{2}}{(frac{3}{2})^2+1}=cfrac{12}{13}).

法2：直线(l_1:xcos heta+2y=0)的方向向量为(vec{u}=(-cos heta，2))，

直线(l_2:xsin heta+3y+3=0)的方向向量为(vec{v}=(-sin heta，3))，

由两条直线相互平行可知，(vec{u}//vec{v})，即(-3cos heta-2(-sin heta)=0)

则可以得到，即( an heta=cfrac{3}{2})，

而(sin2 heta=cfrac{2sin hetacos heta}{sin^2 heta+cos^2 heta}=cfrac{2 an heta}{ an^2 heta+1})，

则可得(sin2 heta=cfrac{2 imes frac{3}{2}}{(frac{3}{2})^2+1}=cfrac{12}{13}).

案例【2016衡水金卷】已知函数(f(x)=lnx-ax^2)，且函数(f(x))在点((2，f(2)))处的切线的一个方向向量是((2，-3)).

分析：(f'(x)=cfrac{1}{x}-2ax)，由函数(f(x))在点((2，f(2)))处的切线的一个方向向量是((2，-3))，

即(f'(2)=cfrac{1}{2}-4a=-cfrac{3}{2})，解得(a=cfrac{1}{2})，

例3【2016年宝鸡市质量检测二理科数学第7题】已知两条直线(l_1:(m+3)x+4y+3m-5=0)，(l_2:2x+(m+6)y-8=0)，且(l_1perp l_2)，则直线(l_1)的一个方向向量是【】

$A.(1，-cfrac{1}{2})$ $B.(-1，-1)$ $C.(1，-1)$ $D.(-1，-cfrac{1}{2})$

分析：由于(k_{l_1}=-cfrac{m+3}{4})，(k_{l_2}=-cfrac{2}{m+6})，又由于(k_{l_1}cdot k_{l_2}=-1)，

解得(m=-5)，即(l_1： x-2y+10=0)，即(k_{l_1}=cfrac{1}{2})，

故其一个方向向量可以是((1，k))，即((1，cfrac{1}{2}))，无此选项；

可以调整为与其共线的反向向量((-1，-cfrac{1}{2}))；故选(D);

例3与直线(3x+4y+5=0)的方向向量共线的一个单位向量是【】

$A.(3，4)$ $B.(4，-3)$ $C.(cfrac{3}{5}，cfrac{4}{5})$ $D.(cfrac{4}{5}，-cfrac{3}{5})$

分析：直线(3x+4y+5=0)的一个方向向量为(vec{s}=(4,-3))，

故与此方向向量共线的一个单位向量为(cfrac{vec{s}}{|vec{s}|}=cfrac{1}{5}(4,-3)=(cfrac{4}{5}，-cfrac{3}{5}))

故选(D).