推理与证明

归纳推理

• 涉及表达式类的归纳推理，

• 涉及数列类的归纳推理，常常考查二阶等差数列(({a_{n+1}-a_n})为等差数列)和斐波那契数列，

类比推理

• 元素之间的类比结论：点(Rightarrow)线，线(Rightarrow)面，面(Rightarrow)体，

• 几何体之间的类比结论：三角形(Rightarrow)四面体，正三角形(Rightarrow)正四面体，(Rt riangle)三角形(Rightarrow)直三面角的四面体(墙角)，内切圆(Rightarrow)内切球，

• 几何体位置关系之间的类比结论：平面内平行(Rightarrow)空间内平行，平面内垂直(Rightarrow)空间内垂直，

• 运算符号之间的类比结论：差(Rightarrow)比，和(Rightarrow)积，积(Rightarrow)乘方，商(Rightarrow)开方，取对数(Rightarrow)取指数，

• 测度之间的类比结论：长度(Rightarrow)面积，面积(Rightarrow)体积，圆的半径(Rightarrow)椭圆的焦半径，，内切圆(外接圆)面积(Rightarrow)内切球(外接球)体积，

• 运算法则之间的类比结论：有理数运算法则(Rightarrow)实数运算法则，实数运算法则(Rightarrow)复数运算法则，

• 证明方法之间的类比结论：等面积法(Rightarrow)等体积法，

• 对应数字之间的类比结论：(2Rightarrow 3)，(sqrt[2]{??}Rightarrow sqrt[3]{??})，(3Rightarrow 4)，(cfrac{1}{3}Rightarrow cfrac{1}{4})，

• 涉及数列类的类比推理，由等差数列的性质类比到等比数列的性质。

演绎推理

• 演绎推理的主要形式：三段论。

典例有理数是无限循环小数(大前提)，整数是有理数(小前提)，所以整数是无限循环小数(结论)。

分析：上述的推理形式就是演绎推理，但是结果却是错误的。原因是大前提不正确。

典例剖析

例1【归纳推理】【2018青岛模拟】【与数式有关的归纳推理】观察下列等式：

(cfrac{3}{1 imes 2} imes cfrac{1}{2}=1-cfrac{1}{2^2})，

(cfrac{3}{1 imes 2} imes cfrac{1}{2}+cfrac{4}{2 imes 3} imes cfrac{1}{2^2}=1-cfrac{1}{3 imes 2^2})，

(cfrac{3}{1 imes 2} imes cfrac{1}{2}+cfrac{4}{2 imes 3} imes cfrac{1}{2^2}+cfrac{5}{3 imes 4} imes cfrac{1}{2^3}=1-cfrac{1}{4 imes 2^3})，

(cdots)，(cdots)，

由以上等式推测到一个一般性的结论为：？

(cfrac{3}{1 imes 2} imes cfrac{1}{2}+cfrac{4}{2 imes 3} imes cfrac{1}{2^2}+cfrac{5}{3 imes 4} imes cfrac{1}{2^3}+cdots+cfrac{n+2}{n imes(n+1)} imes cfrac{1}{2^n}=1-cfrac{1}{(n+1) imes 2^n})。

例2【2018揭阳校级模拟】观察以下式子：

(1+cfrac{1}{2^2}<cfrac{3}{2})；

(1+cfrac{1}{2^2}+cfrac{1}{3^2}<cfrac{5}{3})；

(1+cfrac{1}{2^2}+cfrac{1}{3^2}+cfrac{1}{4^2}<cfrac{7}{4})；

(cdots)，(cdots)，

由以上等式推测到一个一般性的结论为：？

(1+cfrac{1}{2^2}+cfrac{1}{3^2}+cfrac{1}{4^2}+cdots+cfrac{1}{n^2}<cfrac{2n-1}{n}(nge 2，nin N^*))；

例3【2018·山东省滕州第二中学模拟】在( riangle ABC)中，不等式(cfrac{1}{A}+cfrac{1}{B}+cfrac{1}{C}ge cfrac{9}{pi})成立；

在凸四边形(ABCD)中，不等式(cfrac{1}{A}+cfrac{1}{B}+cfrac{1}{C}+cfrac{1}{D}ge cfrac{16}{2pi})成立；

在凸五边形(ABCDE)中，不等式(cfrac{1}{A}+cfrac{1}{B}+cfrac{1}{C}+cfrac{1}{D}+cfrac{1}{E}ge cfrac{25}{3pi})成立；

(cdots)，(cdots)，以此类推，?

在凸(n)边形(A_1A_2A_3cdots A_n)中，不等式(cfrac{1}{A_1}+cfrac{1}{A_2}+cfrac{1}{A_3}+cdots+cfrac{1}{A_n}ge cfrac{n^2}{(n-2)pi}(nge 3，nin N^*))成立；

例4【与斐波那契数列有关的归纳推理】某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为(1，1，2，3，5)，则预计第10年树的分枝数为

$A.21$ $B.34$ $C.52$ $D.55$

分析：本题目涉及到的数列为“斐波那契数列”，其构成规律为：(a_1)，(a_2)已知，其他项由递推公式(a_{n+2}=a_{n+1}+a_n，nin N^*)得到，

故(a_6=8)，(a_7=13)，(a_8=21)，(a_9=34)，(a_{10}=55)，(a_{11}=89)，故选(D)。

例5-题组01【与二阶等差数列有关的归纳推理】【2018·大庆校级模拟】蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有(1)个蜂巢，第二个图有(7)个蜂巢，第三个图有(19)个蜂巢，按此规律，第(6)幅图的蜂巢总数为【 】

$A.61$ $B.90$ $C.91$ $D.127$

法1：注意到蜂巢个数所成的数列是二阶等差数列，我们可以这样做：

(1stackrel{+6}{longrightarrow}7)； (7stackrel{+2 imes 6}{longrightarrow}19)；(19stackrel{+3 imes 6}{longrightarrow}37)；(37stackrel{+4 imes6}{longrightarrow}61)；(61stackrel{+5 imes6}{longrightarrow}91)；(91stackrel{+6 imes6}{longrightarrow}127)；故选(C)。

法2：利用二阶等差数列和累加法求解；令蜂巢个数为(f(n))，则(f(1)=1)，(f(2)=7)，(f(3)=19)，(f(4)=37)，由于

(f(2)-f(1)=7-1=1 imes 6)；

(f(3)-f(2)=19-7=2 imes 6)；

(f(4)-f(3)=37-19=3 imes 6)；

(f(5)-f(4)=61-37=4 imes 6)；

$cdots $，

(f(n)-f(n-1)=6 imes (n-1))；

因此，当(nge 2)时，由累加法可知，

(f(n)-f(1)=6 imes [1+2+3+cdots+(n-1)]=3n(n-1))；

故(f(n)=3n^2-3n+1)；

当(n=1)时，(f(1)=1=3 imes1^2-3 imes1+1)，符合上式，

故蜂巢个数为(f(n)=3n^2-3n+1)，

故可以计算(f(6)=91)，当然也可以得到(f(10)=271)；

例6-题组02【与二阶等差数列有关的归纳推理】在平面内有(n(nin N*))条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若这(n)条直线把平面分成(f(n))个平面区域，

求(f(1))，(f(2))，(f(3))，(f(4))，(f(5))的值；并总结(f(n))的表达式。

解析：由题意知，则(f(1)=2)，(f(2)=4)，(f(3)=7)，(f(4)=11)，(f(5)=16)，

(f(2)-f(1)=4-2=2)；

(f(3)-f(2)=7-4=3)；

(f(4)-f(3)=11-7=4)；

(f(5)-f(4)=16-11=5)；

$cdots $，

(f(n)-f(n-1)=n)；

因此，当(nge 2)时，由累加法可知，

(f(n)-f(1)=2+3+cdots+n=cfrac{(n+2)(n-1)}{2})

即(f(n)=cfrac{n^2+n+2}{2})

当(n=1)时，(f(1)=2)，也满足上式，故

(f(n)=cfrac{n^2+n+2}{2})。

例7-题组03【与累加法有关的归纳推理】下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第(n)个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为(f(n))．

(1)求出(f(2))，(f(3))，(f(4))，(f(5))；

分析：由题意可知，

(f(1)=3)，

(f(2)=f(1)+3+3 imes 2=12)，

(f(3)=f(2)+3+3 imes 4=27)，

(f(4)=f(3)+3+3 imes 6=48)，

(f(5)=f(4)+3+3 imes 8=75)，

(2)找出(f(n))与(f(n＋1))的关系，并求出(f(n))的表达式．

分析：由题意及(1)可知，

(f(n+1)=f(n)+3+3 imes 2n=f(n)+6n+3)，

即(f(n+1)-f(n)=6n+3)，

则(f(2)-f(1)=6 imes 1+3)，

(f(3)-f(2)=6 imes 2+3)，

(f(4)-f(3)=6 imes 3+3)，

(cdots)，(cdots)，

(f(n)-f(n-1)=6 imes (n-1)+3)，

利用累加法可知，当(nge 2)时，

(f(n)-f(1)=6[1+2+cdots+(n-1)]+3(n-1)=6 imes cfrac{n(n-1)}{2}+3(n-1)=3n^2-3)，

即(f(n)=3n^2)，当(n=1)时，满足上式，

故(f(n)=3n^2(nin N^*))。

例8【类比推理】将平面内的直角三角形中的结论(a^2+b^2=c^2)，类比到空间会得到什么结论？

分析：平面内的直角三角形中，两条直角边的平方之和等于斜边的平方，

空间内的直三面角中，三个侧面的面积平方之和为斜底面的面积的平方，

即(S_1^2+S_2^2+S_3^2=S^2)，

例9【类比推理】

平面内正三角形的内切圆的圆心、外接圆的圆心，是正三角形的内心；在正三角形的高线的靠近底边的三等分点处；

空间内正四面体的内切球的球心、外接球的球心，是正四面体的(类内心)；在正四面体的高线的靠近底面的四等分点处；

注意：等面积法，等体积法；

例10【类比推理】【等和数列】数列({a_n})满足(a_n+a_{n+1}=cfrac{1}{2}(nin N^*))，(a_2=2)，(S_n)试数列({a_n})的前(n)项和，则(S_{21})为【】

$A.5$ $B.cfrac{7}{2}$ $C.cfrac{9}{2}$ $D.cfrac{13}{2}$

分析：由题目可知，数列({a_n})是等和数列，也是周期数列，由(a_n+a_{n+1}=cfrac{1}{2})得到数列的前(21)项如下：

(-cfrac{3}{2}，2，-cfrac{3}{2}，2，-cfrac{3}{2}，2，cdots，-cfrac{3}{2})，

则(S_{21}=10 imes (-cfrac{3}{2}+2)-cfrac{3}{2}=cfrac{7}{2})。

小结：等和数列大多表现为摆动数列或常数列。

例11【类比推理】【等积数列】在一个数列({a_n})中，如果(forall nin N^*)，都有(a_na_{n+1}a_{n+2}=k(k)为常数，那么这个数列叫做等积数列，(k)叫其公积，已知数列({a_n})是等积数列，且(a_1=1)，(a_2=2)，公积为(8)，则(a_1+a_2+a_3+cdots+a_{12}=)_____________。

分析：由等积数列的定义和已知条件，可以计算得到数列的各项如下，数列为周期数列，周期为(3)，一个周期内的三项分别为(1，2，4)；

(-1，2，4，-1，2，4，-1，2，4，cdots，-1，2，4，)，

故(S_{12}=(1+2+4) imes 4=28)。

例12【类比推理】

• (1)圆内接正方形的中心就是圆心，正方形的对角线的长度就是圆的直径；球内接正方体的中心就是球心，正方体的体对角线的长度就是球的直径。

• (2)正方形的棱长设为(2a)，则正方形的内切圆半径为(a)，正方形的外接圆半径为(sqrt{2}a)，三者的关系之比为(2：1：sqrt{2})；

正方体的棱长设为(2a)，则正方体的内切球半径为(a)，正方体的外接球半径为(sqrt{3}a)，三者的关系之比为(2：1：sqrt{3})；

• (3)正三角形的棱长设为(2a)，则正三角形的内切圆半径为(cfrac{sqrt{3}}{3}a)，正三角形的外接圆半径为(cfrac{2sqrt{3}}{3}a)，三者的关系之比为(2sqrt{3}：1：2)；

正四面体的棱长设为(2a)，则正四面体的内切球半径为(cfrac{sqrt{6 }}{6}a)，正四面体的外接球半径为(cfrac{sqrt{6 }}{2}a)，三者的关系之比为(2sqrt{6}：1：3)；

例13【归纳推理】【2018山西四校联考】已知(xin (0，+infty))，观察下列各式：(注意，我们有意将其竖行书写)

(x+cfrac{1}{x}ge 2)；

(x+cfrac{4}{x^2}=cfrac{x}{2}+cfrac{x}{2}+cfrac{4}{x^2}ge 3)；

(x+cfrac{27}{x^2}=cfrac{x}{3}+cfrac{x}{3}+cfrac{x}{3}+cfrac{27}{x^3}ge 4)；

(cdots)，类比得到

(x+cfrac{a}{x^n}ge n+1)，则(a)=__________。

分析：第一个式子是(n=1)的情形，此时(a=1^1=1)；

第二个式子是(n=2)的情形，此时(a=2^2=4)；

第三式子是(n=3)的情形，此时(a=3^3=27)；

归纳可知， (a=n^n)；

延伸阅读：上述表达式其实是均值不等式的拓展情形，

二元均值不等式：(x+cfrac{1}{x}ge 2sqrt{x imes cfrac{1}{x}}=2)；

三元均值不等式：(x+cfrac{4}{x^2}=cfrac{x}{2}+cfrac{x}{2}+cfrac{4}{x^2}ge 3sqrt[3]{cfrac{x}{2} imescfrac{x}{2} imescfrac{4}{x^2}}=3)；

四元均值不等式：(x+cfrac{27}{x^2}=cfrac{x}{3}+cfrac{x}{3}+cfrac{x}{3}+cfrac{27}{x^3}ge 4sqrt[4]{cfrac{x}{3} imescfrac{x}{3} imescfrac{x}{3} imescfrac{27}{x^3}}=4)；

例14【类比性质的类比推理】半径为(r)的圆的面积(S=pi r^2),周长(C=2pi r)，若将(r)看作((0，+infty))上的变量,则((pi r^2)′=2pi r)，即圆的面积函数的导数等于圆的周长函数；

对于半径为(R)的球，若将(R)看作((0，+infty))上的变量，类比圆的上述性质,可得球的相关性质为________________________(语言叙述).

分析：半径为(R)的球体积(V= cfrac{4}{3}pi R^3)，表面积(S=4pi R^2)，显然$ (cfrac{4}{3}pi R^3)′=4pi R^2$，

即球的体积函数的导数等于球的表面积函数。

例15【类比性质的类比推理】

• 已知等差数列({a_n})中，(cfrac{a_{11}+a_{12}+cdots+a_{20}}{10}=cfrac{a_1+a_2+cdots+a_{30}}{30})，

则在等比数列中：(sqrt[10]{b_{11}cdot b_{12}cdots b_{20}}=sqrt[30]{b_1cdot b_2cdots b_{30}})。

• 由圆(x^2+y^2=r^2)的面积(S=pi r^2)，类比得到

椭圆(cfrac{x^2}{a^2}+cfrac{y^2}{b^2}=1)的面积(S=pi ab)。

例16【类比性质的类比推理】在圆中有结论：如图所示，“(AB)是圆(O)的直径，直线(AC)，(BD)是圆(O)过(A)，(B)的切线，(P)是圆(O)上任意一点，(CD)是过(P)的切线，则有(PO^2＝PCcdot PD)”。类比到椭圆：“ (AB)是椭圆的长轴，直线(AC)，(BD)是椭圆过(A)，(B)的切线，(P)是椭圆上任意一点，(CD)是过(P)的切线，则有____________．”

分析：椭圆中的焦半径类比圆中的半径，有(PF_1cdot PF_2=PCcdot PD)

提示：左图中结论的证明，连结(OC)，(OD)，利用射影定理证明。

例17【2016湖南东部六校联考】对于问题“已知关于(x)的不等式(ax^2+bx+c>0)的解集为((-1，2))，解关于(x)的不等式(ax^2-bx+c>0)”，给出如下一种解法：由(ax^2+bx+c>0)的解集为((-1，2))，得到(a(-x)^2+b(-x)+c>0)的解集为((-2，1))，即关于(x)的不等式(ax^2-bx+c>0)的解集为((-2，1))。

参考上述解法，若关于(x)的不等式(cfrac{k}{x+a}+cfrac{x+b}{x+c}<0)的解集为((-1，-cfrac{1}{3})cup(cfrac{1}{2}，1))，则关于(x)的不等式(cfrac{kx}{ax+1}+cfrac{bx+1}{cx+1}<0)的解集为________.

分析：本题目对学生的思维的灵活性要求比较高，需要有一定的数学素养的储备。

关于(x)的不等式(cfrac{k}{x+a}+cfrac{x+b}{x+c}<0)的解集为(xin (-1，-cfrac{1}{3})cup(cfrac{1}{2}，1))，

所以用(cfrac{1}{x})代换解集中的(x)，(-1<cfrac{1}{x}<-cfrac{1}{3})或者(cfrac{1}{2}<cfrac{1}{x}<1)，可得(-3<x<-1)或(1<x<2)，

用(cfrac{1}{x})代换原不等式中的(x)，即为(cfrac{k(cfrac{1}{x})}{a(cfrac{1}{x})+1}+cfrac{b(cfrac{1}{x})+1}{c(cfrac{1}{x})+1}<0)的解集为(-3<x<-1)或(1<x<2)，

即就是(x)的不等式(cfrac{kx}{ax+1}+cfrac{bx+1}{cx+1}<0)的解集为(-3<x<-1)或(1<x<2)。

感悟思考：本题目的求解不是常规的求各个系数的值，然后按照常规解不等式，而是巧妙运用代换法求解，即将解集代换，将不等式代换。

于此类似的有下列问题，

如已知(f(x)+2f(-x)=2x+3)，求(f(x))的解析式；

再如已知(3f(x)+f(cfrac{1}{x})=x)，求(f(x))的解析式。