源
《分治算法在树的路径问题中的应用》Orz
例题
给出一棵(n)个结点的有根树，每个结点有颜色。
有若干询问，询问有多少种颜色，在(v)为根的子树中至少有(k)个结点属于该颜色。
算法1
莫队（好像都是这么叫的）离线方法Orz。时间复杂度(O(n sqrt n))。
算法2
这个算法基于一个简单的结论：每个询问的答案不会超过(frac n k)。这样，我们确定一个阀值(x=sqrt n)，当(kleq x)时的答案可以预处理出来，如果(k > x)，我们也要预处理，不过对于每个点，数量大于(x)的颜色最多只有(frac n x)个，不会太多。
这样的时间复杂度是(O(n sqrt n))的，是一个在线算法。
算法3
离线算法，启发式合并，时间复杂度(O(n (log n)^2))。
算法4 重点
假设现在树退化成了链，你会怎么做呢？
当然是开两个数组，(num[i])表示(i)颜色出现的次数，(cnt[i])表示(k=i)时的答案。这样，我们从链尾到链头扫一遍就可以(O(n))解决了。
现在是树，我们先把它剖成若干条链（其实是小于(log n)条），然后对于一条链，同样采用上面的方法，只不过有个问题，这条链上可能带有若干其他的链（如图），这样对于长度为(m)的链，我们统计的复杂度并不是(O(m))的。
1 2 3 4 这条链就连着一些其他链。
其实，我们直接暴力统计其他的链，由于每个点到根最多只会遇到(log n)条链，所以每个点只会被拿去统计(log n)次。所以我们得到一个漂亮而简洁的算法，时间复杂度(O(n log n))。
估计代码非常短，速度非常快！