水塔流量问题

 

一、问题重述

某居民区有一供居民用水的圆形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量。但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间是无法测量水塔的水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水一两次，每次约两小时。水塔是一个高12.2米、直径17.4米的正圆柱。按照设计，水塔水位降到约8.2米时，水泵自动启动，水位升到约10.8米时水泵停止工作。 

某一天的水位测量记录如表1所示，试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量。

二、问题分析

1）拟合水位与时间函数

      对非供水时段进行多项式（3~6）拟合。

2）确定流量与时间函数

在水泵不工作时段，流量通过水位与时间的变化率求解；

在水泵工作时段，流量通过供水时段流量拟合得到。

3）估计一天总用水量

总水量等于供水时段和非供水时段流量对时间的函数积分之和。

三、模型求解

1、拟合非供水时段的水位，导出其流量

拟合第一段水位

>> t=[0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.9 7.01 7.93 8.97 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 19.04 19.9 20.84 23.88 24.99 25.91];

h=[968 948 931 913 898 881 869 852 839 822 1082 1050 1021 994 965 941 918 892 866 843 822 1059 1035 1018];

>> c1=polyfit(t(1:10),h(1:10),3)

a1=polyder(c1)

c1 =

   -0.0785    1.3586  -22.1079  967.7356

a1 =

   -0.2356    2.7173  -22.1079

%其中a1系数为流量函数系数

>> tp1=0:0.1:9;

x1=-polyval(a1,tp1);

>> plot(tp1,x1,'c.')

>> axis([0 25  12  34])

xlabel('小时')

ylabel('厘米/小时')

>> hold on

 

拟合第二段水位

>> t=[0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.9 7.01 7.93 8.97 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 19.04 19.9 20.84 23.88 24.99 25.91];

h=[968 948 931 913 898 881 869 852 839 822 1082 1050 1021 994 965 941 918 892 866 843 822 1059 1035 1018];

>> c2=polyfit(t(10.9:21),h(10.9:21),4)

a2=polyder(c2)

c2 =

   1.0e+03 *

   -0.0000    0.0003   -0.0044   -0.0018    1.3644

a2 =

   -0.0186    0.7529   -8.7512   -1.8313

%其中a2系数为流量函数系数

>> tp2=10.9:0.1:21;

x2=-polyval(a2,tp2);

plot(tp2,x2,'c.')

>> hold on

 

2、拟合供水时段的流量

1）拟合第一供水时段

>> xx1=-polyval(a1,[8 9]);

xx2=-polyval(a2,[11 12]);

xx12=[xx1 xx2];

a12=polyfit([8 9 11 12],xx12,3)

a12 =

   1.0e+03 *

   -0.0012    0.0368   -0.3551    1.1363

%其中a12系数为流量函数系数

>> tp12=9:0.05:11;

x12=polyval(a12,tp12);

plot(tp12,x12,'R.')

>> hold on

 

2）拟合第二供水时段

>> dt3=diff(t(22:24));

dh3=diff(h(22:24));

dht3=-dh3./dt3;

t3=[20 20.8 t(22) t(23)];

xx3=[-polyval(a2,t3(1:2)),dht3];

a3=polyfit(t3,xx3,3)

a3 =

    0.0468   -3.6538   91.8283 -725.3839

%其中a3系数为流量函数系数

>> tp3=20.8:0.05:24;

x3=polyval(a3,tp3);

plot(tp3,x3,'R.');

hold on

 

 

3、估计一天总用水量

>> y1=0.1*trapz(x1)

y2=0.1*trapz(x2)

y12=0.1*trapz(x12)

y3=0.1*trapz(x3)

y=(y1+y2+y12+y3)*237.8*0.01

y1 =

  146.5150   %第一非供水时段用水量

y2 =

  265.0009   %第二非供水时段用水量

y12 =

   47.4086   %第一供水时段用水量

y3 =

   68.2422   %第二供水时段用水量

y =

   1.2536e+03  %总用水量检验模型可信度

1）根据非供水时段水位差与所得相等进行估计。

#第一非供水时段：

968-822=146 ~  146.5150

#第二非供水时段：

1082-822=260 ~265.0009

2）根据供水时段泵水功率相等进行估计。

#第一供水时段：

功率为：（47.406+260）/1.98=155.28

#第二供水时段：

功率为：（68.2422+237）/1.87=163.23

四、结果分析

本题根据已给数据通过曲线拟合的方式绘制了居民用水曲线，通过观察图像，可看出用水在中午及晚上出现两个高峰，与生活实际相符。