PCA算法另外一种理解角度是:最小化点到投影后点的距离平方和.
假设我们有m个样本点,且都位于n维空间 中,而我们要把原n维空间中的样本点投影到k维子空间W中去(k<n),并使得这m个点到投影点的距离(即投影误差)的平方和最小.我们假设投影到的k维子空间的标准正交基(orthonormal basis)为 ,这组标准正交基组成了一个的矩阵U:
则称为子空间W 的投影矩阵(projection matrix)。
如果我们不从标准正交基出发,如何求得W的投影矩阵?设是W 的任意一组基,形成一个的矩阵则W的投影矩阵是
投影矩阵具有如下性质:
记每一个点对应的投影误差为,且投影误差的表达式为,那么我们要最小化的表达式为:
为了后面的推导方便,我将上式除以即样本个数),由于其是定值,所以不影响我们问题的求解
由于是预先给定的样本点,故上式中第一项是定值,因此我们的问题转化为了求第二项的最大值,即
由于(其中U是以子空间W的标准正交基为列构成的矩阵),上面的问题等价于
对其进一步化简得:
求解上面的要用到最大方差解释中使用的Lagrangian Multiplier,在此不再赘述,而最后求得的就是协方差矩阵的前k个特征向量