dp入门

1.  01背包

状态转移方程  

int dp[MA][MA];
int v[mA],w[MA];
for(int i=1;i<=n;i++) {
    for(int j=0;j<=V;j++) {
        if(j<v[i]) dp[i][j]=dp[i-1][j];
        else dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i]);
    }
} 

优化代码  

dp[MA]={0};
for(int i=1;i<=n;i++) {
    for(int j=V;j>=v[i];j--){  // 剩余空间 j 肯定要比当前费用大 ,逆序 
        dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
    }
}

2.完全背包

状态转移方程

F[i,j]=max{F[i-1,j],F[i-1,j-k*wi]+k*vi}

int dp[MA][MA];//初始化为0 
for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=0;j<V;j++){
        for(int k=0;k*v[i]<=j;k++){
            dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
        }
    }
}

优化代码（和01背包不同的是 第二行循环为顺序，因为要不断更新dp[j]

dp[MA];
for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=v[i];j<=V;j++){   //顺序 
        dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
    }
}

3.    01背包  完全背包 恰好装满问题（这就是初始值的问题）

是否恰好装满的解法不同只在于初始值的不同

恰好装满：

　　求最大值时，除了dp[0] 为0，其他都初始化为无穷小  -0x3f3f3f3f

　　求最小值时，除了dp[0] 为0，其他都初始化为无穷大   0x3f3f3f3f

不必恰好装满： 

　　全初始化为0

why: dp数组的初始化的含义是当背包容量为 j 时，没有任何物品放入背包时的合法状态

1. 1. 当不必恰好装满时，对任意dp[ j ] 在没有物品放入时 价值最大值 都为0；
   2. 当恰好装满时，（求最大价值）dp[0] 肯定为 0，其为背包容量为0的合法状态，除此以外dp[ j ] 都为 负无穷，因为背包容量>0 在不装物品时无法装满，且求最大值需要进行max()比较，一旦有合法状态成立就改变 dp[ j ] 的值，因此初始化为 负无穷 
   3. 同理 恰好装满 ，求 最小值 ，需要进行 min() 比较，初始化为 无穷大

4.最长上升子序列

状态转移方程

    int ans=-1;
    for(int i=0;i<n;i++){
        a[i].dp=1;
        for(int j=i;j>=0;j--){
            if(a[j].x<a[i].x){
                a[i].dp=max(a[i].dp,a[j].dp+1);
            }
        }
        ans=max(a[i].dp,ans);
    }

　

5. 最长公共子序列

#include<iostream>
using namespace std;
const int MA=1005;
int dp[MA][MA]={0};
string a,b;
int main(){
    cin>>a>>b;
    int n=a.size();
    int m=b.size();
    a=' '+a;
    b=' '+b;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            if(a[i]==b[j])dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
            else dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i-1][j]);
        }
    }
    cout<<dp[n][m]<<endl;
    return 0;
}