BZOJ1096: [ZJOI2007]仓库建设

Description

　　L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。由于这座山处于高原内
陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象
部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于
地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库
的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设
置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，
假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到
以下数据：1：工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;2：工厂i目前已有成品数量Pi;:3：在工厂i建立仓库的费用
Ci;请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

Input

　　第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

　　仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

Sample Output

32

HINT

在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。

【数据规模】

对于100%的数据， N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。 

Source

---

斜率优化

设f[i]表示第i个工厂建立仓库的前i个工厂得到解决的最小花费

则f[i]=min{f[k]+cost[k+1,i] | 0<=k<i } + C[i]

容易得出

cost[L,R]=P[L]+(x[R]-x[L])+P[L+1]*(x[R]-x[L+1])+……+P[R]*(x[R]-x[R])

=x[R]*(P[L~R])-(x[L]*P[L]+x[L+1]*P[L+1]+……+x[R]*P[R])

记sumP[i]=P[1~i]

sumPX[i]=x[1]*P[1]+x[2]*P[2]+……+x[i]*P[i]

则f[i]=min{f[k]+sumP[i]*x[i]-sumP[k]*x[i]-sumPX[i]+sumPX[k] | 0<=k<i } + C[i]

=min{f[k]-sumP[k]*x[i]+sumPX[k] | 0<=k<i } + sumP[i]*x[i]-sumPX[i]+C[i]

发现{}里面的是f[k]-sumP[k]*x[i]+sumPX[k]，拿出来研究

1)证明决策单调性

设在状态i下 j<k k比j更优 则有：

f[k]-sumP[k]*x[i]+sumPX[k]<f[j]-sumP[j]*x[i]+sumPX[j]             (1)

则在状态t下(t>i)若有

f[k]-sumP[k]*x[t]+sumPX[k]<f[j]-sumP[j]*x[t]+sumPX[j]

(发现x[i]是关于i的增函数,t>i则x[t]>x[i]，设x[t]=x[i]+v(v>0))

即f[k]-sumP[k]*(x[i]+v)+sumPX[k]<f[j]-sumP[j]*(x[i]+v)+sumPX[j]

即f[k]-sumP[k]*x[i]+sumPX[k]<f[j]-sumP[j]*[i]+sumPX[j] 且 -sumP[k]*v<-sumP[j]*v

由(1)及sumP[i]是增函数可知，命题成立

2)写出斜率方程

若f[k]-sumP[k]*x[i]+sumPX[k]<=[j]-sumP[j]*x[i]+sumPX[j]

则(f[k]-f[j]-sumPX[k]+sumPX[j])/(sumP[k]-sumP[j])<=x[i]

故当(f[k]-f[j]-sumPX[k]+sumPX[j])/(sumP[k]-sumP[j])<=x[i]时，若有j<k，那么k比j更优
由于是小于号，所以斜率越大，随着x[i]的增大，被选中的几乎更大，
所以l到r：     斜率 小——>大
优劣程度是：优劣 优——>劣

/**************************************************************
    Problem: 1096
    User: white_hat_hacker
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:1980 ms
    Memory:51604 kb
****************************************************************/
 
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<map>
#include<set>
#include<queue>
#include<vector>
#define INF 0x7f7f7f7f
#define pii pair<int,int>
#define ll long long
#define MAXN 1000005
using namespace std;
int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if('-'==ch)f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int n;
ll x[MAXN],P[MAXN],C[MAXN];
ll sumP[MAXN],sumPX[MAXN];
int q[MAXN];
ll f[MAXN];
double slope(int k,int j){
    return (f[k]-f[j]-sumPX[j]+sumPX[k])/(1.0*(sumP[k]-sumP[j]));
}
 
int main()
{
//  freopen("data.in","r",stdin);
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        x[i]=read();
        P[i]=read();
        C[i]=read();
        sumP[i]=sumP[i-1]+P[i];
        sumPX[i]=sumPX[i-1]+P[i]*x[i];
    }
    int l=1,r=0;
    q[++r]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        while(l<r&&slope(q[l],q[l+1])<=(double)x[i]) l++;
        int t=q[l];
        f[i]=f[t]-sumP[t]*x[i]+sumPX[t]+sumP[i]*x[i]-sumPX[i]+C[i];
        while(l<r&&slope(i,q[r])<slope(q[r-1],q[r])) r--;
        q[++r]=i;
    }
    printf("%lld
",f[n]);
    return 0;
}