最长上升子序列问题(LCS)

　　问题描述：给出两个字符串X， Y，求一个串同时是X， Y的子串并且是所有满足条件里的最长的串。

分析：题目是一个动态规划问题。设c[i][j]表示 x = {x₀, x₁, x₂, .. x_i-1}和 y = {y₀, y₁, y₂, .... y_j-1},的最长子序列长度， x， y的字串为 z= {z₀, z₁, z₂, ... z_k}。所以有一下规律：

当x[i-1] = y[j-1]时，z[k] = x[i-1] = y[j - 1], c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;

当x[i-1] != y[j-1] 且 z[k] != x[i-1], c[i][j] = c[i-1][j]

当x[i-1] != y[j-1] 且 z[k] != y[i-1], c[i][j] = c[i][j-1]

所以:

    c[i][j] = c[i-1][j-1] (x[i-1] == y[i-1])

    c[i][j] = max(c[i-1][j], c[i][j-1]) (x[i-1] != y[i-1])

　　这里只是求出了最长公共子序列的长度。至于完整序列可以用一下方法：

设dir[i][j] 表示(i-1, j-1)处的最长公共序列的来路（就是通过哪个过程来的）

比如：当x[i-1] = y[j-1]时，c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1; 说明c[i][j]是从c[i-1][j-1] 方向来的。所以用dir[i][j]做一个标记（比如记为0）

当x[i-1] != y[j-1] 且 z[k] != x[i-1], c[i][j] = c[i-1][j] 时记dir[i][j] = 1

当x[i-1] != y[j-1] 且 z[k] != y[i-1], c[i][j] = c[i][j-1] 时记dir[i][j] = -1;

具体过整如图：

 ps：前文都是看了一些资料，按照自己的理解写得一点总结。如有错误，欢迎指正。

代码实现：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int N = 1000;

char x[N], y[N];
int c[N][N], d[N][N];

int LCS_l(int n, int m) {
    int i, j;

    for(i = 0; i <= n; i++) c[i][0] = 0;
    for(j = 0; j <= m; j++) c[0][j] = 0;
    
    for(i = 1; i <= n; i++) {
        for(j = 1; j <= m; j++) {
            if(x[i-1] == y[j-1]) {
                c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
                d[i][j] = 0;
            } else if(c[i][j-1] >= c[i-1][j]) {
                c[i][j] = c[i][j-1];
                d[i][j] = 1;
            } else {
                c[i][j] = c[i-1][j];
                d[i][j] = -1;
            }
        }
    }
    return c[n][m];
}

void LCS_p(int i, int j) {
    if(i == 0 || j == 0)     return ;
    if(d[i][j] == 0) {
        LCS_p(i-1, j-1);
        printf("%c %c\n", x[i-1], y[j-1]);
    } else if(d[i][j] == 1) {
        LCS_p(i, j-1);
    } else {
        LCS_p(i-1, j);
    }
}

int main() {
    //freopen("data.in", "r", stdin);

    int t, n, m;
    while(~scanf("%d", &t)) {
        while(t--) {
            scanf("%d", &n); getchar();
            scanf("%s", x);
            scanf("%d", &m); getchar();
            scanf("%s", y);
            memset(c, 0, sizeof(c));
            cout << LCS_l(n, m) << endl;
            LCS_p(n, m);
        }
    }
    return 0;
}

练习题目：Human Gene Functions：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1080

题解:思路就是最长上升子序列，不过稍微变化了一下。

My Code:

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int N = 1000;

char x[N], y[N];
int c[N][N];
int map[5][5] = {
        {5, -1, -2, -1, -3},
        {-1, 5, -3, -2, -4},
        {-2, -3, 5, -2, -2},
        {-1, -2, -2, 5, -1},
        {-3, -4, -2, -1, 0},
    };

int p(char x) {
    if(x == 'A')    return 0;
    else if(x == 'C')    return 1;
    else if(x == 'G')    return 2;
    else if(x == 'T')    return 3;
    else    return 4;
}


int LCS_l(int n, int m) {
    int i, j;

    for(i = 1; i <= n; i++) c[i][0] = c[i-1][0] + map[p(x[i-1])][4];
    for(i = 1; i <= m; i++)    c[0][i] = c[0][i-1] + map[4][p(y[i-1])];

    for(i = 1; i <= n; i++) {
        for(j = 1; j <= m; j++) {
            c[i][j] = max(c[i-1][j-1] + map[p(x[i-1])][p(y[j-1])],
                    max(c[i][j-1] + map[4][p(y[j-1])], c[i-1][j] + map[p(x[i-1])][4]));
            //printf("%d %d %d\n", i, j, c[i][j]);
        }
    }
    return c[n][m];
}

/*void LCS_p(int i, int j) {
    if(i == 0 || j == 0)     return ;
    if(d[i][j] == 0) {
        LCS_p(i-1, j-1);
        printf("%c %c\n", x[i-1], y[j-1]);
    } else if(d[i][j] == 1) {
        LCS_p(i, j-1);
    } else {
        LCS_p(i-1, j);
    }
}*/

int main() {
    //freopen("data.in", "r", stdin);

    int t, n, m;
    while(~scanf("%d", &t)) {
        while(t--) {
            scanf("%d", &n); getchar();
            scanf("%s", x);
            scanf("%d", &m); getchar();
            scanf("%s", y);
            //puts(x); puts(y);
            memset(c, 0, sizeof(c));
            cout << LCS_l(n, m) << endl;
        }
    }
    return 0;
}