判断欧拉回路是否存在的方法

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正文：
判断一个图中是否存在欧拉回路（每条边恰好只走一次，并能回到出发点的路径），在以下三种情况中有三种不同的算法：

一、无向图
每个顶点的度数都是偶数，则存在欧拉回路。

二、有向图（所有边都是单向的）
每个节顶点的入度都等于出度，则存在欧拉回路。

以上两种情况都很好理解。其原理就是每个顶点都要能进去多少次就能出来多少次。

三、混合图（有的边是单向的，有的边是无向的。常被用于比喻城市里的交通网络，有的路是单行道，有的路是双行道。）
找到一个给每条无向的边定向的策略，使得每个顶点的入度等于出度，这样就能转换成上面第二种情况。这就可以转化成一个二部图最大匹配问题。网络模型如下：

1. 新建一个图。
2. 对于原图中每一条无向边i，在新图中建一个顶点e（i）；
3. 对于原图中每一个顶点j，在新图中建一个顶点v（j）。
4. 如果在原图中，顶点j和k之间有一条无向边i，那么在新图中从e（i）出发，添加两条边，分别连向v（j）和v（k），容量都是1。
5. 在新图中，从源点向所有e（i）都连一条容量为1的边。
6. 对于原图中每一个顶点j，它原本都有一个入度in、出度out和无向度un。显然我们的目的是要把所有无向度都变成入度或出度，从而使它的入度等于总度数的一半，也就是(in + out + un) / 2（显然与此同时出度也是总度数的一半，如果总度数是偶数的话）。当然，如果in已经大于总度数的一半，或者总度数是奇数，那么欧拉回路肯定不存大。如果in小于总度数的一半，并且总度数是偶数，那么我们在新图中从v（j）到汇点连一条边，容量就是(in + out + un) / 2 – in，也就是原图中顶点j还需要多少入度。

按照这个网络模型算出一个最大流，如果每条从v（j）到汇点的边都达到满流量的话，那么欧拉回路成立。