洛必达法则求极限

洛必达法则求极限

洛必达法则

未定式：如果当 (x ightarrow a( ext{或 } x ightarrow infty)) 时两个函数 (f(x)) 与 (F(x)) 都趋于零或都趋于无穷大，那么极限 (displaystyle lim_{x ightarrow a \(x ightarrow infty)}{cfrac{f(x)}{F(x)}}) 可能存在、也可能不存在，通常把这种极限叫做 未定式 ，分别简记为 (cfrac{0}{0}) 或 (cfrac{infty}{infty}) 。

洛必达法则（L'Hôpital's rule） 主要是以下两个定理：

定理1：

1. 当 (x ightarrow a) 时，函数 (f(x)) 及 (F(x)) 都趋于零；
2. 在点 (a) 的某去心邻域内， (f'(x)) 及 (F'(x)) 都存在且 (F'(x) eq 0) ；
3. (displaystyle lim_{x ightarrow a}{cfrac{f'(x)}{F'(x)}}) 存在（或为无穷大），则有

[lim_{x ightarrow a}{cfrac{f(x)}{F(x)}} = lim_{x ightarrow a}{cfrac{f'(x)}{F'(x)}}. ]

证明如下图：

定理2：

1. 当 (x ightarrow infty) 时，函数 (f(x)) 及 (F(x)) 都趋于零或无穷；
2. 当 (lvert x vert > N) 时， (f'(x)) 及 (F'(x)) 都存在且 (F'(x) eq 0) ；
3. (displaystyle lim_{x ightarrow infty}{cfrac{f'(x)}{F'(x)}}) 存在（或为无穷大），则有

[lim_{x ightarrow infty}{cfrac{f(x)}{F(x)}} = lim_{x ightarrow infty}{cfrac{f'(x)}{F'(x)}}. ]

维基百科上对洛必达法则的描述为：

令实数 (displaystyle cin {ar {mathbb {R} }}) ，函数 (f(x),g(x)) 在以 (x = c) 为端点的开区间可微 ， (displaystyle lim_{x ightarrow c}{cfrac{f'(x)}{g'(x)}} in ar{mathbb {R}}) ，且 (g'(x) eq 0) ，如果 (displaystyle lim_{x ightarrow c}{f(x)} = lim_{x ightarrow c}{g(x)} = 0) 或 (displaystyle lim_{x ightarrow c}{lvert f(x) vert} = lim_{x ightarrow c}{lvert g(x) vert} = infty) 其中一者成立，则有：

[lim_{x ightarrow c}{cfrac{f(x)}{g(x)}} = lim_{x ightarrow c}{cfrac{f'(x)}{g'(x)}} ]

洛必达法则应用

类型A： (displaystyle cfrac{pm infty}{pm infty})

例题：

（1）求 (displaystyle lim_{x ightarrow +infty}{cfrac{ln x}{x^n}} \, (n > 0).)

解：(displaystyle lim_{x ightarrow +infty}{cfrac{ln x}{x^n}} = lim_{x ightarrow +infty}{cfrac{cfrac{1}{x}}{nx^{n - 1}}} = lim_{x ightarrow +infty}{cfrac{1}{nx^n}} = 0)

（2）求 (displaystyle lim_{x ightarrow +infty}{cfrac{x^n}{mathrm{e}^{lambda x}}} \, (n ext{为正整数，}lambda > 0).)

解：相继应用洛必达法则 n 次，得

[lim_{x ightarrow +infty}{cfrac{x^n}{mathrm{e}^{lambda x}}} = lim_{x ightarrow +infty}{cfrac{nx^{n - 1}}{lambda mathrm{e}^{lambda x}}} = lim_{x ightarrow +infty}{cfrac{n(n - 1)x^{n - 2}}{lambda^2 mathrm{e}^{lambda x}}} = cdots = lim_{x ightarrow +infty}{cfrac{n!}{lambda^n mathrm{e}^{lambda x}}} = 0. ]

类型B1： (displaystyle infty - infty)

例题：求 (displaystyle lim_{x ightarrow frac{pi}{2}}{(sec x - an x)}.)

解：(displaystyle lim_{x ightarrow frac{pi}{2}}{(sec x - an x)} = lim_{x ightarrow frac{pi}{2}}{cfrac{1 - sin x}{cos x}} = lim_{x ightarrow frac{pi}{2}}{cfrac{- cos x}{-sin x}} = 0)

类型B2： (0 cdot pm infty)

例题：求 (displaystyle lim_{x ightarrow 0^+}{x^n ln x} \, (n>0).)

解：

[ lim_{x ightarrow 0^+}{x^n ln x} = lim_{x ightarrow 0^+}{cfrac{ln x}{x^{-n}}} = lim_{x ightarrow 0^+}{cfrac{cfrac{1}{x}}{-nx^{-n-1}}} = lim_{x ightarrow 0^+}{cfrac{-x^n}{n}} = 0 ]

类型C： (1^{pm infty}, 0^0, infty ^0)

例题：求 (displaystyle lim_{x ightarrow 0^+}{x^x}.)

解：设 (displaystyle y = x^x) ，取对数得

[ln y = x ln x ]

当 (displaystyle x ightarrow 0^+) 时，上式右端是 (0 cdot infty) 型未定式

[lim_{x ightarrow 0^+}{ln y} = lim_{x ightarrow 0^+}{(x ln x)} = 0 ]

因为 (displaystyle y = mathrm{e}^{ln y}) ，而 (displaystyle lim y = lim{mathrm{e}^{ln y}} = mathrm{e}^{lim ln y}) （当 (x ightarrow 0^+)），所以

[lim_{x ightarrow 0^+}{x^x} = lim_{x ightarrow 0^+}{y} = mathrm{e}^0 = 1. ]

洛必达法则类型的总结

• 类型A 如果极限是分子式的形式，例如 (displaystyle lim_{x ightarrow a}{cfrac{f(x)}{g(x)}}) ，应先检查是否为不定式。若为 (displaystyle cfrac{0}{0}) 或 (displaystyle cfrac{pm infty}{pm infty}) 型，则可以使用洛必达法则。

• 类型B1 如果是求差的极限，如 (displaystyle lim_{x ightarrow a}{(f(x) - g(x))}) ，可以通过通分或同时除以一个共轭表达式从而转化为类型A。

• 类型B2 如果极限是乘积的形式，如 (displaystyle lim_{x ightarrow a}{f(x)g(x)}) ，应选择两个表达式中较简单的一个取倒数把它移到分母（尽量不要选用对数作分母），就可以转化为 (displaystyle lim_{x ightarrow a}{cfrac{g(x)}{1/f(x)}}) 。

• 类型C 如果极限为指数形式，且该指数的底和指数部分都含变量，如 (displaystyle lim_{x ightarrow a}{f(x)^{g(x)}}) ，应先对其取对数：

  [lim_{x ightarrow a}{ln{f(x)^{g(x)}}} = lim_{x ightarrow a}{g(x) ln{f(x)}} ]

  这样就转化为类型 B2 或 A ，这时有：

  [lim_{x ightarrow a}{ln{f(x)^{g(x)}}} = L ]

  r然后两边取指数，可得：

  [lim_{x ightarrow a}{f(x)^{g(x)}} = mathrm{e}^L ]