Euclid算法（欧几里得算法）

线性组合与GCD
现在我们证明一个重要的定理：gcd(a,b)是a和b的最小的正线性组合。
证明：
设gcd(a,b)为d，a和b的最小的正线性组合为s
∵d|a且d|b，
∴d|s。
而a mod s=a-[a/s]s
         =a-[a/s](ax+by)
         =a(1-[a/s]x)-b[a/s]y
亦为a和b的线性组合
∵a mod s<s，a mod s不能是a和b的最小的正线性组合
∴a mod s=0，即s|a
同理由s|b
∴s为a,b的公约数
∴s<=d
∵d|s
∴d=s。证毕。

由这条定理易推知：若d|a且d|b，则d|gcd(a,b)

Euclid算法
现在的问题是如何快速的求gcd(a,b)。穷举明显不是一个好方法（O(n)），所以需要一个更好的方法。
首先我们先提出一个定理：gcd(a,b)=gcd(b,a-bx)（x为正整数）。

证明：
设gcd(a,b)=d,gcd(b,a-bx)=e,则
∵d|a,d|b
∴d|a-bx
∴d|gcd(b,a-bx)，即d|e
∵e|b,e|a-bx
∴e|bx+(a-bx)，即e|a
∴e|gcd(a,b)，即e|d
∴d=e。证毕。

这个定理非常有用，因为它能快速地降低数据规模。
当x=1时，gcd(a,b)=gcd(b,a-b)。这就是辗转相减法。
当x达到最大时，即x=[a/b]时，gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)。这个就是Euclid算法。它是不是Euclid提出的我不知道，但听说是在Euclid时代形成的，所以就叫Euclid算法了。程序非常的简单：

function Euclid(a,b:longint):longint;
 begin
  if b=0 then exit(a)
         else exit(Euclid(b,a mod b));
 end;

Euclid算法比辗转相减法好，不仅好在速度快，而且用起来也方便。两种算法都有一个隐含的限制：a>=b。用辗转相减法时，必须先判断大小，而Euclid算法不然。若a<b，则一次递归就会转为gcd(b,a)，接着就能正常运行了。