The Preliminary Contest for ICPC Asia Nanjing 2019

传送门

参考资料：

　　[1]:官方题解（提取码：w6ny）

A.The beautiful values of the palace（思维+树状数组+扫描线）

•题意

　　给你一个 $n imes n$ 的矩阵，从右上角开始转圈填充 1~n×n；
　　给你 m 个坐标，只有这 m 个坐标对应的位置有权值；
　　有 q 次询问，每次询问给出两个点的坐标 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$；
　　求由这两个点形成的矩形所包围的区域中，经过处理后的权值加和；
　　处理的方法是，将原权值所有数位上的数相加；

•题解

　　对于每次询问，都可以处理成四部分来处理：
　　　　$ans=f(x_2,y_2)-f(x_{1}-1,y_2)-f(x_2,y_{1}-1)+f(x_{1}-1,y_{1}-1)$;
　　其中 f(x,y) 指的是由 (1,1)和(x,y) 形成的矩形中的经处理后的权值加和；
　　但是由于 n 很大，所以我们不能够通过开数组预处理出所有的前缀和；
　　因为没有修改操作，所以我们可以将所有询问离线处理；
　　用如下数据结构存储信息：

struct Point
{
    int x,y;
    int f;
    int id;
}p[maxn];

　　其中，f 指的是当前区间是加上还是减去，如果需要加上，令 f = 1，反之，令 f = -1；
　　id 指的是当前询问的编号；
　　定义好数据结构后，对于第 i 次询问，我们需要记录 4 个信息：
　　　　1.$(x=x_2,y=y_2,f=1,id=i)$
　　　　2.$(x=x_{1}-1,y=y_{1}-1,f=1,id=i)$
　　　　3.$(x=x_{1}-1,y=y_2,f=-1,id=i)$
　　　　4.$(x=x_2,y=y_{1}-1,f=-1,id=i)$
　　f 取值分别对应上述 f(x,y) 前的符号，如果是加入到 ans 中，f 就取值为 1，反之，取值 -1；
　　除了记录询问的信息外，还需要记录 m 个有权值的坐标；
　　当然，此处要将这 m 个信息和上述 4*q 个信息区分，区分的方式就是将这 m 个信息的 f 取值为 2；
　　将这 q*4+m 个信息记录好后，按照 先x,在y,最后f 的规则排序，就像扫描线求矩形周长并的那道题一样；
　　排序策略不对的话直接就导致整个程序 wa；
　　排序策略如下：

bool operator < (const Point& obj)const
{
    if(x != obj.x)
        return x < obj.x;
    else if(y != obj.y)
        return y < obj.y;
    else
        return f > obj.f;
}

　　离线好这些信息后，还需要一个重要的信息，如何快速求出 m 个有用坐标对应的值；
　　你可以参考这篇博客：题解 P2239 【螺旋矩阵】
　　根据对称性，很容易求出 (x,y) 所处的圈数 t=min(x,y,n+1-x,n+1-y)；
　　令 a₁=第一圈的维数-1,a₂=第二圈的维数-1,...,a_i=第i圈的维数-1;
　　易得 a₁=n-1,a₂=n-1-2,.....,a_i=n-1-2*(i-1)，构成了等差数列；
　　令 num₁=第一圈右上角的值,num₂=第二圈右上角的值,...,num_i=第i圈右上角的值；
　　易得
　　　　num₁=1;
　　　　num₂=num₁+4*a₁;
　　　　num₃=num₁+4*(a₁+a₂);
.　　　　..........
　　　　num_i=num₁+4*(a₁+a₂+...+a_i-1);

　　因为 a 构成了等差数列，所以 num_i=1+4*(a的前i-1项和)
　　有了右上角的值，很容易求出当前圈数对应的左下角的值；
　　　　leftDown=numi+2*ai;
　　假设 (x,y) 在第 t 圈，其对应的值用 ans 记录；
　　根据上述讲解求出 leftDown 后，找到 (x,y)与(t,t) 的曼哈顿距离，记为 cnt；
　　那么 ans=leftDown+(x >= y ? -cnt:cnt);
　　求出 ans 后，将其各个位的数字加起来就得到了所需的权值；
　　然后，从 1 开始枚举 p 中的值，如果当前的 f = 2，那么，就将当前的权值加入到树状数组中；
　　反之，更新相应的 ans=f*Sum();
　　Sum() 求的是 (1,1)与当前的(x,y) 形成的矩形所包含的权值和；

•Code

　　2019ICPC南京网络赛A.cpp

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B.super_log

•题意

　　$log_{a}^{*} (x)=egin{cases} -1 , if x < 1 \1+log_{a}^{*} (log_{a}x),if x ge 1 end{cases}$

　　给出你 a,b,m，让你求解使得 $log_{a}^{*} (x) ge b$ 最小的 x，因为 x 可能很大，所以输出结果对 m 取模；

•题解

　　易得 $log_{a}^{*} (a^a)=2 , log_{a}^{*} (a^{a^a})=3$，那么满足上述条件的最小的 x 为：

　　　　$x=underbrace{a^{a^{a^{cdots}}}}_{b}$;

　　那么问题就转化为了求解 $underbrace{a^{a^{a^{cdots}}}}_{b} mod m$ 的值；

　　经过这两天的脑补，终于学会了这一类问题的解决方法--欧拉降幂，具体详见我的这篇博客；

　　因为此题中指数可能小于 $varphi(p)$，所以需要采取实战2的策略，在快速幂中判断 x 与 $varphi(p)$ 的大小关系；

•Code

　　2019ICPC南京网络赛B.cpp

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 F.Greedy Sequence（set+upper_bound()+思维）

•题意

　　给你一个包含 n 个数的序列 a，其中 a 中存的数为 1~n 的排列；

　　定义一个二维数组 s；

　　s 中一共有 n 行，每行有 n 个数；

　　定义 s 数组：

　　　　① $s_{i}[1]=i$

　　　　②$forall  i in[1,n],j in [2,n],s_{i,j} le s_{i,j-1}$，即 $s_i$是个非增序列；

　　　　③对于 $s_i$ 中的第 j( j > 1 ) 个数，$s_{i,j}$ 在 a 中的位置与 $s_{i,j-1}$ 在 a 中的位置之差的绝对值不能超过 k；

　　　　④ $s_i$ 中的第 j( j > 1) 个数，要尽可能的大；

　　　　⑤如果 $s_{i,j}$ 后，在 a 中找不到满足条件 ②③ 的数，并且 $s_i$ 不足 n 个数，用 0 填充剩余的数；

　　输出 |s₁|,|s₂|,...,|s_n|，|s_i|表示 s 中第 i 行包含的数的个数；

•题解（by官方）

　　

•Code

　　2019ICPC南京网络赛F.cpp