ZOJ 1276 "Optimal Array Multiplication Sequence"（最优矩阵链乘问题+区间DP）

传送门

•题意

　　矩阵 A(n×m) 和矩阵 B(m×k) 相乘，共做 n×m×k 次乘法运算；

　　给你 n 个矩阵，求这 n 个矩阵的最优结合方式，使得做的总乘法运算次数最少；

•题解

　　定义dp(i,j)表示第[i,...j]个矩阵的最小的乘法运算次数；

　　定义d(i,j)表示第[i,...j]个矩阵的最优解从d(i,j)分开，即(A_i×A_i+1×......×A_d(i,j))×(A_d(i,j)+1×......×A_j)；

　　求解dp(i,j)的时候，求出最优解，并记录是从那个位置分开使得其最优；

　　输出时递归输出即可；

•Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
const int maxn=100;

int n;
int p[maxn];
int dp[maxn][maxn];
int d[maxn][maxn];

void DP()
{
    for(int len=2;len <= n;++len)
    {
        for(int i=1,j=i+len-1;j <= n;++i,++j)
        {
            for(int k=i;k < j;++k)
            {
                int cur=dp[i][k]+dp[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
                if(dp[i][j] > cur)
                {
                    d[i][j]=k;
                    dp[i][j]=cur;
                }
            }
        }
    }
}
void Print(int l,int r)
{
    if(l == r)
    {
        printf("A%d",l);
        return ;
    }
    if(l > r)
        return ;
        
    printf("(");
    Print(l,d[l][r]);///[l,r]在d[l][r]处分割
    printf(" x ");
    Print(d[l][r]+1,r);
    printf(")");
}
void Solve()
{
    for(int i=0;i <= n;++i)
        for(int j=0;j <= n;++j)
            dp[i][j]=(i == j ? 0:INF);
    DP();
    Print(1,n);
    printf("
");
}
int main()
{
    int kase=1;
    while(~scanf("%d",&n) && n)
    {
        for(int i=1;i <= n;++i)///第i个矩阵的行和列为p[i-1],p[i]
        {
            int a,b;
            scanf("%d%d",&a,&b);
            p[i-1]=a;
            p[i]=b;
        }
        printf("Case %d: ",kase++);
        Solve();
    }
    return 0;
}