转自：http://www.acmerblog.com/suffix-array-6150.html
在字符串处理当中，后缀树和后缀数组都是非常有力的工具，其中后缀树大家了解得比较多，关于后缀数组则很少见于国内的资料。其实后缀数组是后缀树的一个非常精巧的替代品，它比后缀树容易编程实现，能够实现后缀树的很多功能而时间复杂度也不太逊色，并且，它比后缀树所占用的空间小很多。
后缀树组是一个字符串的所有后缀的排序数组。后缀是指从某个位置 i 开始到整个串末尾结束的一个子串。字符串 r 的从 第 i 个字符开始的后缀表示为 Suffix(i) ，也就是Suffix(i)=r[i..len(r)] 。
例子：
1 字符串： "banana"的所有后缀如下：
2
3 0 banana 5 a
4 1 anana 对所有后缀排序 3 ana
5 2 nana ----------------> 1 anana
6 3 ana 字典序 0 banana
7 4 na 4 na
8 5 a 2 nana
9
10 所以 "banana" 的后缀数组SA为： {5, 3, 1, 0, 4, 2}
名次数组：名次数组Rank[i]保存的是以i开头的后缀的排名，与SA互为逆。简单的说，后缀数组是“排在第几的是谁”，名次数组是“你排第几”。
构造算法
求解后缀数组的算法主要有两种：倍增算法和DC3算法。在这里使用的是许智磊的倍增算法，复杂度为nlogn。
关于详细求解后缀数组的算法，详见许智磊2004国家集训队论文。
这里只给出最直接的求解算法，就是先求得所有的后缀子串，再进行一次排序。
1 // 朴素的后缀树组构造算法
2 #include <iostream>
3 #include <cstring>
4 #include <algorithm>
5 using namespace std;
6
7 // 表示一个后缀，index是后缀的开始下标位置
8 struct suffix
9 {
10 int index;
11 char *suff;
12 };
13
14 // 字典序比较后缀
15 int cmp(struct suffix a, struct suffix b)
16 {
17 return strcmp(a.suff, b.suff) < 0? 1 : 0;
18 }
19
20 // 构造txt的后缀数组
21 int *buildSuffixArray(char *txt, int n)
22 {
23 //结果
24 struct suffix suffixes[n];
25
26 for (int i = 0; i < n; i++)
27 {
28 suffixes[i].index = i;
29 suffixes[i].suff = (txt+i);
30 }
31
32 // 排序
33 sort(suffixes, suffixes+n, cmp);
34
35 // 排在第几的是谁
36 int *suffixArr = new int[n];
37 for (int i = 0; i < n; i++)
38 suffixArr[i] = suffixes[i].index;
39
40 return suffixArr;
41 }
42
43 //打印
44 void printArr(int arr[], int n)
45 {
46 for(int i = 0; i < n; i++)
47 cout << arr[i] << " ";
48 cout << endl;
49 }
50
51 int main()
52 {
53 char txt[] = "banana";
54 int n = strlen(txt);
55 int *suffixArr = buildSuffixArray(txt, n);
56 cout << "Following is suffix array for " << txt << endl;
57 printArr(suffixArr, n);
58 return 0;
59 }
输出：
1 Following is suffix array for banana
2 5 3 1 0 4 2
如何利用后缀数组来匹配字符串？
在回到那个经典的字符串匹配问题，如何在text中查找模式串pattern？有了后缀数组，我们就可以用二分查找来进行搜索。下面是具体的算法：
1 void search(char *pat, char *txt, int *suffArr, int n)
2 {
3 int m = strlen(pat);
4
5 int l = 0, r = n-1;
6 while (l <= r)
7 {
8 // 查看 'pat'是否是中间的那个后缀的前缀字串
9 int mid = l + (r - l)/2;
10 int res = strncmp(pat, txt+suffArr[mid], m);
11
12 if (res == 0)
13 {
14 cout << "Pattern found at index " << suffArr[mid];
15 return;
16 }
17 if (res < 0) r = mid - 1;
18 else l = mid + 1;
19 }
20 cout << "Pattern not found";
21 }
22
23 int main()
24 {
25 char txt[] = "banana"; // text
26 char pat[] = "nan"; // 模式串
27
28 // 构造后缀数组
29 int n = strlen(txt);
30 int *suffArr = buildSuffixArray(txt, n);
31
32 // 在txt中搜索pat是否出现
33 search(pat, txt, suffArr, n);
34 return 0;
35 }
上面这个搜索算法的复杂度为O(mLogn)，其实还有更高效的基本后缀数组的算法，后续再做讨论。
后缀数组的应用
先定义height数组，height[i] = suffix(SA[i-1])和suffix(SA[i])的最长公共前缀，也就是排名相邻的两个后缀的最长公共前缀。
例1：最长公共前缀
给定一个串，求任意两个后缀的最长公共前缀。
解：先根据rank确定这两个后缀的排名i和j(i<j)，在height数组i+1和j之间寻找最小值。(可以用rmq优化)
例2：最长重复子串(不重叠)(poj1743)
解：二分长度，根据长度len分组，若某组里SA的最大值与最小值的差>=len，则说明存在长度为len的不重叠的重复子串。
例3：最长重复子串(可重叠)
解：height数组里的最大值。这个问题等价于求两个后缀之间的最长公共前缀。
例4：至少重复k次的最长子串(可重叠)(poj3261)
解：二分长度，根据长度len分组，若某组里的个数>=k，则说明存在长度为len的至少重复k次子串。
例5：最长回文子串(ural1297)
给定一个串，对于它的某个子串，正过来写和反过来写一样，称为回文子串。
解：枚举每一位，计算以这个位为中心的的最长回文子串(注意串长要分奇数和偶数考虑)。将整个字符串反转写在原字符串后面，中间用$分隔。这样把问题转化为求某两个后缀的最长公共前缀。
例6：最长公共子串(poj2774)
给定两个字符串s1和s2，求出s1和s2的最长公共子串。
解：将s2连接到s1后，中间用$分隔开。这样就转化为求两个后缀的最长公共前缀，注意不是height里的最大值，是要满足sa[i-1]和sa[i]不能同时属于s1或者s2。
例7：长度不小于k的公共子串的个数(poj3415)
给定两个字符串s1和s2，求出s1和s2的长度不小于k的公共子串的个数(可以相同)。
解：将两个字符串连接，中间用$分隔开。扫描一遍，每遇到一个s2的后缀就统计与前面的s1的后缀能产生多少个长度不小于k的公共子串，这里s1的后缀需要用单调栈来维护。然后对s1也这样做一次。
例8：至少出现在k个串中的最长子串(poj3294)
给定n个字符串，求至少出现在n个串中k个的最长子串。
将n个字符串连接起来，中间用$分隔开。二分长度，根据长度len分组，判断每组的后缀是否出现在不小于k个原串中。
相关文章：
1. http://www.geeksforgeeks.org/suffix-array-set-1-introduction/