[noip2013 d2t2]花匠

题意：给定一串数，求最多可留下多少个呈波浪状排列的数

对于30%：最最朴素的暴力

对于70%：考虑O(n²) dp

设f[i][1]为以第i个数为结尾的序列，满足条件A的最优解；f[i][2]为以第i个数为结尾的序列，满足条件B的最优解

题目给出的两个条件，其实为状态转移提供了思路

不难得出方程

f[i][1]=max(f[j][2]+1)(j<i,h[i]>h[j])

f[i][2]=max(f[j][1]+1)(j<i,h[i]<h[j])

初始f[i][1]=f[i][2]=1;

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<ctype.h>
using namespace std;
const int maxn=100100;
int f[maxn][3],h[maxn];
int read(){
    int x=0;
    char ch=getchar();
    while (!isdigit(ch)) ch=getchar();
    while (isdigit(ch)){
        x=x*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return x;
}
int main(){
    int n=read();
    for (int i=1;i<=n;i++){
        h[i]=read();
        f[i][1]=f[i][2]=1;
    }
    int ans=1;
    for (int i=1;i<=n;i++){
        for (int j=1;j<i;j++){
            if (h[i]>h[j]) f[i][1]=max(f[i][1],f[j][2]+1);
            if (h[i]<h[j]) f[i][2]=max(f[i][2],f[j][1]+1);
        }
        ans=max(ans,max(f[i][1],f[i][2]));
    }
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}

然而这并不足以通过所有测试，n=10w的规模让我们考虑优化

观察可知 f数组是单调递增的，所以我们可以倒序查找，找到上一个有解的f就退出

亦可修改方程，每个点都保存此前的最优值，令i只和i-1有关

两种方法的时间均可视为O(n)级别，前者常数稍大些

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<ctype.h>
using namespace std;
const int maxn=100100;
int f[maxn][3],h[maxn];
int read(){
    int x=0;
    char ch=getchar();
    while (!isdigit(ch)) ch=getchar();
    while (isdigit(ch)){
        x=x*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return x;
}
int main(){
    int n=read();
    for (int i=1;i<=n;i++){
        h[i]=read();
        f[i][1]=f[i][2]=1;
    }
    int ans=1;
    for (int i=1;i<=n;i++){
        for (int j=i-1;j>0;j--){
            if (h[i]>h[j]) f[i][1]=max(f[i][1],f[j][2]+1);
            if (h[i]<h[j]) f[i][2]=max(f[i][2],f[j][1]+1);
            if (f[i][1]!=1&&f[i][2]!=1) break;
        }
    }
    printf("%d
",max(f[n][1],f[n][2]));
    return 0;
}

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<ctype.h>
using namespace std;
const int maxn=100100;
int f[maxn][3],h[maxn];
int read(){
    int x=0;
    char ch=getchar();
    while (!isdigit(ch)) ch=getchar();
    while (isdigit(ch)){
        x=x*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return x;
}
int main(){
    int n=read();
    for (int i=1;i<=n;i++){
        h[i]=read();
        f[i][1]=f[i][2]=1;
    }
    for (int i=2;i<=n;i++){
        if (h[i]==h[i-1]) {
            f[i][1]=f[i-1][1];
            f[i][2]=f[i-1][2];
        }
        if (h[i]>h[i-1]){
            f[i][1]=max(f[i-1][2]+1,f[i][1]);
            f[i][2]=f[i-1][2];
        }
        if (h[i]<h[i-1]){
            f[i][1]=f[i-1][1];
            f[i][2]=max(f[i-1][1]+1,f[i][2]);
        }
    }
    printf("%d
",max(f[n][1],f[n][2]));
    return 0;
}

还有一种更简洁的方法：对于一个单调序列中的所有点，可以缩为一个点，故只需统计原序列的拐点个数即可，也是O(n)