机器数
机器数
各种数据在计算机内部的表示和存储形式称为机器数。
特点：
- 采用二进制计数；
- 数的符号（正负）用“0、1”表示；
- 小数点隐含表示二不占位置。
机器数的真值
机器数所对应的实际数值。
机器数的分类
无符号机器数和带符号机器数。
无符号机器数（表示正数）
无符号(无正负号)机器数表示正数，全部二进制位均代表数值，没有符号位。
- 若约定小数点的位置在机器数的最低位之后，则是纯整数(正整数)。
- 若约定小数点的位置在机器数的最高位之前，则是纯小数(正小数)。
- 不能用原码、反码、补码等编码方法表示。
带符号机器数(表示实数)
带符号机器数既可以表示正数，也可以表示负数。
最高位是符号位("0"表示“+”。“1”表示“-”)，其余位表示数值。
- 若约定小数点的位置在机器数的最低位之后，则是纯整数。
- 若约定小数点的位置在机器数的最高位之前，则是纯小数。
- 可采用原码、反码、补码等编码方法表示。
码制
为了运算方便，带符号的机器数可采用原码、反码、补码、移码等不同的编码方式表示。
这些编码方法被称为码制。
原码表示
规则：
- 数值X的原码记为[X]原；
- 机器字长为n,即采用n个二进制位表示数据。
- 最高位为符号位，“0”表示正号，“1”表示负号。
- 其余的n-1位表示数值的绝对值。
- 对数“0”有“+0”和“- 0”两种表示形式。
- 对于机器字长为n+1位的机器，原码表示法可表示的整型数值范围为：-2n+1 ≤ X ≤ 2n-1。
- 当X ≥ 0时，[X]原 = 0X； eg：[+7]原 = 00000111 (设机器字长为8)。
- 当X ≤ 0时，[X]原 = 1X； eg：[- 7]原 = 10000111 (设机器字长为8)。
- [+0]原 = 00000000；
- [- 0]原 = 10000000；
Example-1：
[+1]原 = 00000001； [-1]原 = 10000001。
[+127]原 = 01111111； [-127]原 = 11111111。注：(127)D = (1111111)B。
[+45]原 = 00101101； [-45]原 = 10101101。 注：(45)D = (101101)B。
反码表示
规则：
- 数值X的反码记为[X]反；
- 机器字长为n,即采用n个二进制位表示数据。
- 最高位为符号位，“0”表示正号，“1”表示负号。
- 其余的n-1位表示数值。
- 对数“0”有“+0”和“-0”两种表示形式。
- 对于机器字长为n+1位的机器，反码表示法可表示的整型数值范围为：-2n+1 ≤ X ≤ 2n-1。
- 正数的反码与原码相同。即当X ≥ 0时，[X]反 = [X]原 = 0X。
- 负数的反码则是要将除符号位外的绝对值按位取反。
- 当X ≥ 0时，[X]反 = 0 X； eg：[+7]反 [+7]原 = 00000111 (设机器字长为8)。
- 当X ≤ 0时，[X]反 = 1 |X|； eg：[- 7]反 = 11111000 (设机器字长为8)。
- [+0]反 = 00000000；
- [- 0]反 = 11111111；
Example-1：
[+1]反 = 00000001； [-1]反 = 11111110。
[+127]反 = 01111111； [-127]反 = 10000000。注：(127)D = (1111111)B。
[+45]反 = 00101101； [-45]反 = 11010010。 注：(45)D = (101101)B。
补码表示
规则：
- 数值X的补码记为[X]补；
- 机器字长为n,即采用n个二进制位表示数据。
- 最高位为符号位，“0”表示正号，“1”表示负号。
- 其余的n-1位表示数值。
- 对数“0”只有唯一的“0”一种表示形式。
- [+0]补 = 00000000；
- [- 0]补 = 00000000；
- 对于机器字长为n+1位的机器，反码表示法可表示的整型数值范围为：-2n ≤ X ≤ 2n-1。
- 正数的补码与其反码和原码相同。即当X ≥ 0时，[X]补 = [X]反 = [X]原 = 0X。
- 负数的补码则等于在其反码的末尾加1(将其原码除符号位外的其他位按位取反后加1)。
- 当X ≥ 0时，[X]补 = [X]反 = [X]原 = 0X； eg：[+7]补 = [+7]反 = [+7]原 = 00000111 (设机器字长为8)。
- 当X < 0时，[X]补 = 1 |X| +1 eg：[- 7]补 = 11111001 [- 7]反 = 11111000(设机器字长为8)。
Example-1：
[+1]补 = 00000001； [- 1]反 = 11111110； [- 1]补 = 11111111。
[+127]补 = 01111111； [- 127]反 = 10000000； [- 127]补 = 10000001。注：(127)D = (1111111)B。
[+45]补 = 00101101； [- 45]反 = 11010010； [- 45]补 = 11010011。 注：(45)D = (101101)B。
补码运算的优点(功能)
将减法运算变成加法运算(因为运算器中只有加法器)。
例如计算96 - 20 = ？。
| 96 | -20 | 76 | |
| 无符号位二进制表示 | 1100000 | -10100 | 1001100 |
| 原码 | 01100000 | 10010100 | 01001100 |
| 反码 | 01100000 | 11101011 | 01001100 |
| 补码 | 01100000 | 11101100 | 01001100 |
将96-20转换为[96]补 + [-20]补，计算过程如下：
最高位的进位1自然丢失。
补码表示的一个另外情况(原码、反码表示无此情况)
对于n位补码表示法，当符号位为1而数值位全部为0时，它表示整数 -2n-1,即此时符号位的1，既表示负数又表示数值。
Eg:当机器字长为8时，符号位为1而数值位全部为0为数值 10000000，(10000000)B = (128)D = 28-1 = 27 = 128。且符号位还表示负号。
所以[- 128]补 = 10000000。
补码的另一特点
用补码表示时，由于符号位和数值位一起编码，难以从补码码值形式判断真值大小。如45 > - 45，然而，[45]补 = 00101101 < [- 45]补 = 11010011。
移码(增码)表示
移码（又叫增码）是符号位取反的补码，将补码的符号位取反即可得到移码表示；一般用做浮点数的阶码，引入的目的是为了保证浮点数的机器零为全0。
采用移码表示时，码值与真值大小成正比，码值大者对应的真值也大。
规则：
- 最高位为符号位，“1”表示正号，“0”表示负号。
- 机器字长为n,即采用n个二进制位表示数据。
- 当-2n ≤ X ≤ 2n时，[X]移 = 2n+X。
特点：
- 保持了数据原有的大小顺序，便于进行比较操作。
机器数的运算
机器数的加减运算
在计算机中，可以只设置加法器，而将减法运算转换为加法运算来实现。
原码加、减法
- 两个符号相同的原码数相加时，只需将数值部分直接相加，运算结果的符号与两个加数的符号相同。
- 若两个加数的符号相异，则应进行减法运算。方法：先比较两个数绝对值的大小，然后用绝对值大者的绝对值减去绝对值小者的绝对值，结果的符号取绝对值大者的符号。
原码表示的机器数进行减法运算是很烦的，所以在计算机中的加、减法运算主要采用补码表示的机器数。
补码加、减法
计算机中的加、减法运算一般用补码来实现。
在补码表示中，可将减法运算转换成加法运算。
补码加法：
和的补码等于补码求和。 [X+Y]补 = [X]补+[Y]补
补码减法：
差的补码等于被减数的补码加上减数取负后的补码。 [X-Y]补 = [X]补+[-Y]补
- 由[X]补求[-X]补的方法：
- 将[X]补的各位取反(包括符号位)，末尾加1。
总结：
X±Y → [X+Y]补=[X]补+[±Y]补
Example-1:
设二进制整数X = +1000100, Y = +1110,求X+Y与X-Y的值。
解：
设用8位补码表示带符号机器数
因为X和Y都是正数
所以[X]补 = 01000100，[Y]补 = 00001110；
溢出及其判定
机器数的乘除运算
机器数的乘除法运算，通常有如下3种实现形式：
1.纯软件方案。在只有加法器的低档计算机中，没有乘、除法指令，乘除运算使用程序来实现的。这种方案的硬件结构简单，但作乘除法运算时速度缓慢。
2.在现有的能够完成加减运算的算术逻辑单元ALU的基础上，通过增加少量的左、右移位的逻辑电路，来实现乘除运算。与纯软件方案相比，这种方案增加硬件不多，而乘除法的运算速度有了较大提高。
3.设置专用的硬件阵列乘法器(或除法器)，完成乘除法运算。该方案需付出较高的硬件代价，可获得最高的执行速度。