BZOJ3994: [SDOI2015]约数个数和
题目描述
题目分析
求的东西简明扼要，
[sum_{i=1}^{N}sum_{j=1}^{m}d(ij)
]
但是有个需要知道的是
[d(ij)=sum_{xmid i}sum_{ymid j}[gcd(x,y)=1]
]
然后可以开始开心的推式子。
根据反演套路，设两个函数
[f(d)=sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m[gcd(i,j)=d]
]
[F(n)=sum_{nmid d}f(d)=lfloor frac Nd
floor lfloor frac Md
floor
]
根据莫比乌斯反演可以得到：
[f(n)=sum_{nmid d}mu(frac dn)F(d)
]
把(d(i,j))代回原来的式子并化简：
[egin{align}
Ans&=sum_{i=1}^{N}sum_{j=1}^{M}d(ij) \
&=sum_{i=1}^{N}sum_{j=1}^{M}sum_{xmid i}sum_{ymid j}[gcd(x,y)=1] 根据mu的性质把它代进去\
&=sum_{i=1}^{N}sum_{j=1}^{M}sum_{xmid i}sum_{ymid j}sum_{dmid gcd(x,y)}mu(d) 然后更换枚举约数为枚举d \
&=sum_{i=1}^{N}sum_{j=1}^{M}sum_{xmid i}sum_{ymid j}sum_{d=1}^{min(N,M)}mu(d) imes [dmid gcd(x,y)]\
&=sum_{d=1}^{min(N,M)}mu(d)sum_{i=1}^{N}sum_{j=1}^{M}sum_{xmid i}sum_{ymid j}[dmid gcd(x,y)]\
&=sum_{d=1}^{min(N,M)}mu(d)sum_{x=1}^{N}sum_{y=1}^{M}[dmid gcd(x,y)]lfloor frac {N}{x}
floor lfloor frac{M}{y}
floor \
&=sum_{d=1}^{min(N,M)}mu(d)sum_{x=1}^{lfloorfrac{N}{d}
floor}sum_{y=1}^{lfloorfrac{M}{y}
floor}lfloorfrac{N}{dx}
floorlfloorfrac{M}{dy}
floor\
&=sum_{d=1}^{min(N,M)}mu(d)(sum_{x=1}^{lfloorfrac{n}{d}
floor}lfloorfrac{n}{dx}
floor)(sum_{y=1}^{lfloorfrac{m}{d}
floor}lfloorfrac{m}{dy}
floor)
end{align}
]
明显，推到这里了之后就可以在(O(n))的时间内求出了。
对于多组数据，可以进行整除分块，再将这个式子优化成(O(sqrt n))的。
是代码呢
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=1e5+7;
#define ll long long
ll sum[MAXN],g[MAXN];
int mu[MAXN],prime[MAXN];
bool vis[MAXN];
int n,m;
inline void get_mu(int N)
{
mu[1]=1;
for(int i=2;i<=N;i++){
if(!vis[i]){
mu[i]=-1;
prime[++prime[0]]=i;
}
for(int j=1;j<=prime[0];j++){
if(prime[j]*i>N) break;
vis[prime[j]*i]=1;
if(i%prime[j]==0) break;
else mu[i*prime[j]]=-mu[i];
}
}
for(int i=1;i<=N;i++) sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
for(int i=1;i<=N;i++){
ll ans=0;
for(int l=1,r;l<=i;l=r+1){
r=(i/(i/l));
ans+=1ll*(r-l+1)*(i/l);
}
g[i]=ans;
}
}
inline int read()
{
int x=0,c=1;
char ch=' ';
while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
while(ch=='-')c*=-1,ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
return x*c;
}
int main()
{
int T=read();
get_mu(50000);
while(T--){
n=read(),m=read();
int r=0,mx=min(n,m);
ll ans=0;
for(int l=1;l<=mx;l=r+1){
r=min((n/(n/l)),(m/(m/l)));
ans+=1ll*(sum[r]-sum[l-1])*(g[n/l])*g[m/l];
}
printf("%lld
", ans);
}
}